2025届高考数学复习：压轴好题专项(切线问题)练习1．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数()xf x me x =-，R m ∈.(1)当2m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)试讨论函数()f x 的单调性.2．（2024届四川省成都市蓉城联盟高三上学期联考）已知函数1()e x f x x +=． (1)求()f x 过原点的切线方程；(2)证明：当2a -≤时，对任意的正实数x ，都有不等式()112sin f x ax x --+>恒成立．3．（2024届辽宁省名校联盟高三上学期9月联考）已知函数()321f x x x ax =--+，R a ∈．(1)若0x ∃>，()0f x <，求a 的取值范围；(2)设函数()()1g x f x ax =+-，()2h x x bx =+，若斜率为1的直线与曲线()y g x =，()y h x =都相切，求b的值．4．（2024届四川省成都市石室中学高三上学期开学考试）设()ln f x x =．(1)证明：()y f x =的图象与直线ex y =-有且只有一个横坐标为α的公共点，且1(,1)e α∈；(2)求所有的实数k ，使得直线y kx =与函数2()y f x =的图象相切；(3)设2,,((),)ea b c α∈+∞（其中α由（1）给出），且3a b c ++=，()ln 2g x x =+，求()()()222g a g b g c ++的最大值．5．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数()ln (,,0)f x a x bx a b a =-∈≠R ． (1)求证：曲线()y f x =仅有一条过原点的切线；(2)若20a b =>时，关于x 的方程2()f x m x =-有唯一解，求实数m 的取值范围．6．（2023届四川省成都市四七九名校高三全真模拟）已知函数2()(1)ex x f x b x a =-+-+在0x =处的切线与y轴垂直.（其中e 是自然对数的底数）(1)求实数b 的值； (2)设2()2ex x g x +=，,()0x ∈+∞，当1a =时，求证：函数()f x 在,()0x ∈+∞的图象恒在函数()g x 的图象的上方.7．（2024届陕西省汉中市高三上学期联考）已知函数()e 1sin ()x f x a x a =--∈R ． (1)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，求a 的值； (2)当2a =时，求()f x 在[0,π]上的最大值．8．（2024届西省赣州市第四中学高三上学期考试）设m 为实数，函数()()2ln 2R f x m x x m =-∈. (1)当12m =时，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值； (2)已函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x （120x x <<），若()12011x x x λλλ+=≠-+，且()00f x '<恒成立，求实数λ的范围.9．（2024届湖北省武汉市江汉区高三上学期考试）已知a ∈R ，函数21()ln 2f x x ax x =-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)求证：存在0a >，使得直线e xy =与函数21()()2g x f x a x =+-的图像相切． 10．（2023届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考）已知函数()ln f x x x ax b =++在e x =时取得极小值1e -,其中e 2.718= 是自然对数的底数.(1)求实数a 、b 的值；(2)若曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线过原点()0,0,求实数t 的值.11.已知()2()ln 1,()e =++=+xf x a x xg x x a （e 为自然对数的底数,e 2.72,R ≈∈a ）.(1)对任意R a ∈,证明：()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线始终过定点； (2)若()()f x g x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.12.已知函数()e e xf x =⋅(1)若()()()g x f x kx k k =--∈R 在1x =-时取得极小值,求实数k 的值； (2)若过点(,)a b 可以作出函数()y f x =的两条切线,求证：()0b f a << 13.已知函数()()eln 0a xF x a a -=+>,()lnG x x =-.(1)若()F x 与()G x 在1x =处有相同的切线,求实数a 的值； (2)当1a >,1x >时,求证：()()1F x G x ->. 14.已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若过点P (1,0)且与曲线()y f x =相切的直线有且仅有两条,求实数a 的取值范围. 15.函数3221(),()ln 2f x x ax bg x a x m =-+=+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时,设()()h x f x '=,()h x 与()g x 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,求实数m 的最大值．16.已知函数()2132f x x x =-,()()12ln g x a x a x =-+,a ∈R ． （1）若函数()()()h x f x g x =+在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,求实数a 的取值范围；（2）设曲线()y f x =在点P 处的切线为l ,是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）也相切？若存在,判断满足条件的点P 的个数,若不存在,请说明理由．参考答案1．（2024届福建省莆田哲理中学高三上学期月考）已知函数()xf x me x =-，R m ∈.(1)当2m =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)试讨论函数()f x 的单调性. 【过程详解】（1）因为2m =，所以()2e xf x x =-，则()02f =，切点为()0,2又因为()2e 1xf x '=-所以()0211f '=-=，即1k =所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程是()210y x -=-， 即2y x =+.（2）因为()xf x me x =-，R m ∈，所以()e 1xf x m '=-，当0m ≤时，()e 10xf x m '=-<，则()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0m >时，令()0f x '=，得ln x m =-，当ln x m <-时，()0f x '<，当ln x m >-时，()0f x ¢>， 所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当0m >时，()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增 2．（2024届四川省成都市蓉城联盟高三上学期联考）已知函数1()e x f x x +=． (1)求()f x 过原点的切线方程；(2)证明：当2a -≤时，对任意的正实数x ，都有不等式()112sin f x ax x --+>恒成立． 【过程详解】（1）因为x ∈R ，1()(1)e x f x x +'=+，设切点为0100(,e )x x x +，所以切线斜率为010(1)e x x ++，切线为011000e (1)e ()x x y x x x x ++-=+-，将点(0,0)代入切线解得00x =，故切线方程为e y x =；（2）令()(1)12sin (1)e 2sin 1x g x f x ax x x ax x =--+-=---+，[0,)x ∈+∞， 则原不等式即为()0g x ≥，显然(0)0g =， 又()e 2cos x g x x a x '=--，且(0)2g a '=--，再令()e 2cos x h x x a x =--，则()(1)e 2sin x h x x x '=++，当0πx ≤<时，(1)e 0x x +>，2sin 0x ≥，所以()0h x '>恒成立， 当πx ≥时，ππ()(1)e 2sin (π1)e 2sin (π1)e 20x h x x x x '=++≥++>+->， 所以当0x ≥时，恒有()0h x '>，所以()h x 在区间[0,)+∞上为增函数， 即()e 2cos x g x x a x '=--在区间[0,)+∞上为增函数， 因为当2a -≤时，有()(0)20g x g a >=--'≥'，所以()g x 在[0,)+∞上为增函数，所以()(0)0g x g >=，不等式恒成立．3．（2024届辽宁省名校联盟高三上学期9月联考）已知函数()321f x x x ax =--+，R a ∈．(1)若0x ∃>，()0f x <，求a 的取值范围；(2)设函数()()1g x f x ax =+-，()2h x x bx =+，若斜率为1的直线与曲线()y g x =，()y h x =都相切，求b的值．【过程详解】（1）解：由题意0x ∃>，()0f x <，得3210x x ax --+<，即321x x a x-+>在0x >时有解．设()321x x x x ϕ-+=，则()2121x x x ϕ'=--，易知()01ϕ'=．令()2121m x x x =--，则()3220m x x '=+>， 所以()x ϕ'单调递增，所以当()0,1x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增． 所以()()min 11x ϕϕ==，所以1a >．（2）由题意得()32g x x x =-，所以()232g x x x '=-，令()1g x '=，解得11x =，213x =-，所以直线与()y g x =的两个切点坐标分别为()1,0，14,327⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以切线方程分别为1y x =-和527y x =+． 令21x x bx -=+，得()2110x b x +-+=，令()21140b ∆=--=，解得3b =或1b =-．令2527x x bx +=+，得()251027x b x +--=，令()22201027b ∆=-+=，无解． 经检验，直线与()y h x =的两个切点坐标分别为()1,2--，()1,0， 综上，3b =或1b =-．4．（2024届四川省成都市石室中学高三上学期开学考试）设()ln f x x =．(1)证明：()y f x =的图象与直线ex y =-有且只有一个横坐标为α的公共点，且1(,1)e α∈；(2)求所有的实数k ，使得直线y kx =与函数2()y f x =的图象相切；(3)设2,,((),)ea b c α∈+∞（其中α由（1）给出），且3a b c ++=，()ln 2g x x =+，求()()()222g a g b g c ++的最大值．【过程详解】（1）考虑函数()ln e x u x x =+， ()u x 在(0,1)上单调递增，且(1)0u >，1()0eu <． 因此有且只有1(,1)eα∈使得()0u α=，即()y f x =的图象与直线exy =-有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为α． （2）()22()ln y f x x ==，22ln [()]x f x x'=．设200(,ln )P x x 是2()y f x =的图象上一点，则该点处的切线为20002ln ln ()x y x x x x -=-， 整理得200002ln 2ln ln x y x x x x =-+．令2002ln ln 0x x -+=，解得01x =或20e x =．因此0y =与24e y x =与函数2()y f x =的图象相切．因此所求实数k 的值为0或24e ． （3）设224()ln e h x x x =-，则22ln 4()ex h x x '=-．设ln ()x x x ϕ=，则21ln ()x x x ϕ'-=． 当2e x α<<时，()0x ϕ'>；当e x >时，()0x ϕ'<． 因此()ϕx 在2(,e)α上单调递增，在(e,)+∞上单调递减． 从而()h x '在2(,e)α上单调递增，(e,)+∞上单调递减．注意到2(e )0h '=，故当2e e x <<时()0h x '>，当2e x >时()0h x '<， 因此()h x 在2(e,e )上单调递减，在2(e ,)+∞上单调递增． 所以当[e,)x ∈+∞时，2()(e )0h x h ≤=．另一方面，注意到24(1)0e h '=-<， 故必然存在0(1,e)x ∈，使得0()0h x '=，且当20x x α<<时()0h x '<，当0e x x <<时()0h x '>． 因此()h x 在20(,)x α上单调递减，在0(,e)x 上单调递增．显然2(e)(e )0h h <=，而22222422()ln (2ln )(2ln )0e e eh ααααααα=-=+-=． 因此当2(,e)x α∈时，()0h x <．综上可知当2x α>时()0≤h x ，即224ln ex x ≤，当且仅当2e x =时等号成立． 由于222()ln (e )g x x =，故当22e x α>，即2()e x α>时，2224()(e )4eg x x x <⋅=，当且仅当22e e x =，即1x =时等号成立． 因此222()()()44412g a g b g c a b c ++≤++=， 当且仅当1a b c ===时等号成立． 因此222()()()g a g b g c ++的最大值为12．5．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数()ln (,,0)f x a x bx a b a =-∈≠R ． (1)求证：曲线()y f x =仅有一条过原点的切线；(2)若20a b =>时，关于x 的方程2()f x m x =-有唯一解，求实数m 的取值范围． 【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()af x b x'=-，设切点()000,ln x a x bx -， 则切线方程为()()0000ln a y a x bx b x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，当切线过原点时有()()00000ln 0a a x bx b x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，即000ln a x bx a bx -=-，故()0ln 10a x -=，因为0a ≠，所以0e x =，即切点有且只有一个，则曲线()y f x =仅有一条过原点的切线，即得证.（2）关于x 的方程()2f x m x =-有唯一解，即方程22ln b x bx m x -=-，22ln x mx x b b+-=有唯一解，令()22ln x g x x x b =+-，则()222221x x bx bg x b x bx-+'=+-=. 因为0b >，故当2160b b -≤，即016b <≤时，()0g x '≥，函数()y g x =单调递增，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+. 易知()g x 的图象与直线my b=有且仅有一个交点，满足题意，此时R m ∈； 当2160b b ->，即16b >时，设2220x bx b -+=有两个根12,x x ，12x x <，则1282bx x +=>，1216x x b =>，故120x x <<.①若1204x x <<<，则当120,x x x x <<>时()0g x '>，()g x 单调递增；当12x x x <<时()0g x '<，()g x 单调递减，且当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x ∞→+. 故要使得22ln x mx x b b+-=有唯一解，则()1m g x b >或()2m g x b <恒成立.此时211220x bx b -+=，即()21122x b x =-，21122x b x =-，1204x x <<<.则极大值()()2111111111112ln 22ln 2ln 122x g x x x x x x x x b=+-=--+=--，令()12ln 12h x x x =--，则()21422xh x x x -'=-=，故当()0,4x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()4,x ∞∈+时，()0h x '<，()h x 单调递减.所以()()()1142ln 4214ln 23g x h x h =<=--=-， 又()1mg x b>恒成立，故4ln 23m b ≥-，()()4ln 23164ln 2364ln 248m b ≥->⨯-=-；同理，极小值()22212ln 12g x x x =--，当24x >时无最小值，此时无实数m 使得()2mg x b <恒成立.②若14x =，则224420b b ⨯-+=，16b =，不满足2160b b ->；③若124<<x x ，由①可得64ln 248m ≥-；故当16b >时，64ln 248m ≥-. 综上所述：当016b <≤时，R m ∈；当16b >时，64ln 248m ≥-.6．（2023届四川省成都市四七九名校高三全真模拟）已知函数2()(1)ex x f x b x a =-+-+在0x =处的切线与y轴垂直.（其中e 是自然对数的底数）(1)求实数b 的值； (2)设2()2e xx g x +=，,()0x ∈+∞，当1a =时，求证：函数()f x 在,()0x ∈+∞的图象恒在函数()g x 的图象的上方.【过程详解】（1）由()()21e x x f x b x a =-+-+，求导可得()()()2222e e 211e e x x x xx x x xf x b b --'=-+-=+-，则()f x 在0x =处切线斜率为()01f b '=-，由()f x 在0x =处的切线与y 轴垂直，则10b -=，解得1b =.（2）要证：函数()f x 在,()0x ∈+∞的图象恒在函数()g x 的图象的上方， 只需证：()()0f x g x ->在()0,x ∈+∞恒成立，不等式()()0f x g x ->，由e 0x >，1a =，则2210e2ex xx x +-+->，化简为222e 20x x x -+-->， 令()2222e x h x x x =---+，求导可得()412e xh x x '=--+，令()()u x h x '=，则()()42e 2e 2x xu x '=-+=-，令()0u x '=，解得ln 2x =，x()0,ln 2ln 2()ln 2,+∞()u x '-+ ()u x最小值()()3mine ln 24ln 214ln 16h x u '==--+=，由3e 2016≈>，则()min 0h x '>，所以()h x 在()0,∞+单调递增，则()()0022e 0h x h >=-+=，故()()0f x g x ->在()0,x ∈+∞恒成立.7．（2024届陕西省汉中市高三上学期联考）已知函数()e 1sin ()x f x a x a =--∈R ． (1)若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，求a 的值； (2)当2a =时，求()f x 在[0,π]上的最大值．【过程详解】（1）由()e 1sin x f x a x =--，得()e cos x f x a x '=-， (0)1f a '∴=-，又曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-， 故(0)11f a '=-=-，2a ∴=．（2）当2a =时，()e 12sin ,()e 2cos x x f x x f x x '=--∴=-， 由e x y =、cos y x =在[0,]π上分别单调递增、单调递减可得： ()e 2cos x f x x '=-在[0,]π上单调递增，而π(0)10,(π)e 20f f ''=-<=+>， 0(0,π)x ∴∃∈，使得()00f x '=，故()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,πx 上单调递增， 又π(0)0(π)e 1f f =<=-， ()f x ∴在[0,]π上的最大值为πe 1-．8．（2024届西省赣州市第四中学高三上学期考试）设m 为实数，函数()()2ln 2R f x m x x m =-∈. (1)当12m =时，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，求a b +的最小值； (2)已函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x （120x x <<），若()12011x x x λλλ+=≠-+，且()00f x '<恒成立，求实数λ的范围.【过程详解】（1）当12m =时，()ln 2f x x x =-，∴()12f x x'=-， 设切点为()000,ln 2x x x -，则切线斜率()0012k f x x ==-'，∴切线方程为0012ln 1y x x x ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭，∴012a x =-，0ln 1b x =-，∴001ln 3a b x x +=+-， 令()1ln 3g x x x =+-，则()22111x g x x x x-=-+='， 由()0g x '<，可得01x <<；由()0g x '>，可得1x >，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()()min 12g x g ==-，即a b +的最小值为2-；（2）∵()f x 有两个不同的零点1x ，2x （120x x <<），∴11ln m x x =，22ln m x x =，124<<x x ，∴()1212ln ln m x x x x -=-，∴1122lnx m x x x =-， 设()120,1x t x =∈，则12ln x x m t-=， 又()22m f x x ='-， ∴()12120121211222201ln x x x x f x f m x x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'==-=⨯⋅-< ⎪+++⎝⎭'， 将12x tx =代入上式可得：()()1110ln t t t λλ+--<+恒成立， 又()0,1t ∈，则ln 0t <，∴()()11ln 0t t t λλ+-->+恒成立， 设()()()11ln t t t t λϕλ+-=-+，()0,1t ∈， 则()()()()()()2222111t t t t t t t λλϕλλ---+=='-++，()0,1t ∈， （ⅰ）当21λ≥时，20t λ-<，∴()0t ϕ'<，∴()t ϕ在()0,1上单调递减，()()10t ϕϕ>=恒成立，∴()[),11,λ∈-∞-⋃+∞； （ⅱ）当21λ<时，∵()0,1t ∈，∴()20,t λ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ在()20,λ上单调递减；()2,1t λ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ在()2,1λ上单调递增，∴()2,1t λ∈时，()()10t ϕϕ<=，综上可得()[),11,λ∈-∞-⋃+∞.9．（2024届湖北省武汉市江汉区高三上学期考试）已知a ∈R ，函数21()ln 2f x x ax x =-+． (1)讨论()f x 的单调性；(2)求证：存在0a >，使得直线e x y =与函数21()()2g x f x a x =+-的图像相切． 【过程详解】（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x ax f x a x x x-+=-+='， 当2a ≤时，22124()0x f x x a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=≥恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增； 当2a >时，令21()0x ax f x x -+'==，则2100x ax x ⎧-+=⎨>⎩，240a ∆=->显然成立，解得：1x =2x = 当()()120,,x x x ∞∈⋃+时，()0f x ¢>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<，()f x 的增区间是()10,x 和()2,x +∞，减区间是()12,x x ．（2）()ln g x x ax a =-+，则1()g x a x '=-，设切点坐标为()00,x y ． 由直线e x y =与函数()g x 的图象相切，则011e a x -=，解得：0e e 1x a =+． 显然直线e x y =过原点，则()0001e 0g x x --=，所以e e 1e ln 1e 1e 1e e 1a a a a ⎛⎫+-=⨯ ⎪+++⎝⎭． 整理得ln(e 1)a a =+，即：e e 1a a =+，得：11e0e a a ---=． 设11()e ex G x x -=--，1()e 1x G x -'=-． 当01x <<时，()0'<G x ，()G x 递减，当1x >时，()0G x '>，()G x 递增． 又1(1)0e G =-<，1(2)e 20eG =-->．所以存在(1,2)a ∈，使得()0=G a ． 存在0a >，使得直线e x y =与函数21()()2g x f x a x =+-的图像相切． 10．（2023届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考）已知函数()ln f x x x ax b =++在e x =时取得极小值1e -,其中e 2.718= 是自然对数的底数.(1)求实数a 、b 的值；(2)若曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线过原点()0,0,求实数t 的值.【过程详解】（1）解：因为()ln f x x x ax b =++,该函数的定义域为()0,∞+,则()ln 1f x x a '=++,由已知可得()()e 20e e e 1ef a f a b ⎧=+=⎪⎨=++=-'⎪⎩,解得21a b =-⎧⎨=⎩.此时()ln 21f x x x x =-+,()ln 1f x x '=-,由()0f x '=可得e x =,当0e x <<时,()0f x '<,此时函数()f x 单调递减,当e x >时,()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,合乎题意.综上,2a =-,1b =.（2）解：曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线方程为()()()ln 21ln 1y t t t t x t --+=--,将原点坐标代入切线方程可得ln 21ln t t t t t t -+-=-+,即10t -=,解得1t =.11.已知()2()ln 1,()e =++=+x f x a x x g x x a （e 为自然对数的底数,e 2.72,R ≈∈a ）.(1)对任意R a ∈,证明：()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线始终过定点；(2)若()()f x g x ≤恒成立,求实数a 的取值范围.【过程详解】 (1)因为2()ln 1f x a x x =++,所以2(1)1f a =+,21()f x a x'=+,所以2(1)1f a '=+. 所以()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线为()2y a 1x =+经过定点()0,0. 即()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线始终过定点.(2)因为()()f x g x ≤恒成立,即为2e ln 1x x x a a x--≤-对0x >恒成立. 记()()e ln 1,0x x x h x x x--=>,只需()2min a a h x ≤-. ()()ln e ln 1e ln 1e ln 111x x x x x x x x x x x h x x xx +-+------==+=+. 不妨设()ln ,0t x x x =+>. 因为110t x'=+>,所以ln t x x =+在()0,+∞上单增, 当1x =时,10t =>；当1e x =时,110e t =-<, 故ln t x x =+在()0,+∞存在唯一零点0x ,记()ln e ln 1e 1x t x y x x t +=-+-=--.因为e 1t y '=-.令0y '>,解得：0t >；令0y '<,解得：0t <；所以e 1t y t =--在(),0-∞上单减,在()0,+∞上单增,所以0min e 010y =--=.所以()ln e ln 10x x y x x +=-+-≥.而0x >,所以()ln e ln 10x x x x x +-+-≥,所以()ln e ln 111x x x x x+-+-+≥. 当且仅当ln 0x x +=即0x x =时等号成立,即()min 1h x =,所以21a a -≤.a ≤即实数a 的取值范围为1122⎡⎢⎣⎦. 12.已知函数()e e x f x =⋅(1)若()()()g x f x kx k k =--∈R 在1x =-时取得极小值,求实数k 的值；(2)若过点(,)a b 可以作出函数()y f x =的两条切线,求证：()0b f a <<【过程详解】 (1)解：()e e x g x k =⋅-'∴()110g k '-=-=,∴1k =当1k =时,令()e e 10x g x =⋅-=',得1x =-∴()g x 在(),1-∞-单调递减,()g x 在()1,-+∞单调递增,所以()g x 在1x =-时取得极小值,∴1k =(2)证明：设切点为()010,ex x +, ∴切线为00110e e ()x x y x x ++-=-,又切线过点(,)a b ,∴00110()x x b ee a x ++-=- ∴()010e 10x x a b +--+=,(*)设()()1e 1x h x x a b +=--+则()()1e x h x x a +'=- ∴()h x 在(,)a -∞单词递减,在(,)a +∞单调递增.∵过点(,)a b 可作()f x 的两条切线,∴方程(*)有两解∴()00h a b ⎧<⎪⎨>⎪⎩,由()()1e10a h a b +=⋅-+<,得1e a b +< ∴10e a b +<<,即()0b f a <<.13.已知函数()()e ln 0a x F x a a -=+>,()ln G x x =-.(1)若()F x 与()G x 在1x =处有相同的切线,求实数a 的值；(2)当1a >,1x >时,求证：()()1F x G x ->.【过程详解】 (1)()1G x x'=- ,()11G '∴=-； ()e a x F x -'=- ,()11e 1a F -'∴=-=-,解得：1a =.(2)由题意得：()()e ln ln a x F x G x a x --=++,令()()e ln ln 1a x f a a x a -=++>,e a x y -= 与ln y a =在()1,+∞上单调递增,()f a ∴在()1,+∞上单调递增, ()()11e ln x f a f x -∴>=+；令()()1e ln 1x g x x x -=+>,则()1111e ex x x g x x x ---'=-+=； 令()()11e 1x h x x x -=->,则()()11e 0x h x x -'=->,()h x ∴在()1,+∞上单调递增,()()10h x h ∴>=,即()0g x '>,()g x ∴在()1,+∞上单调递增,()()11g x g ∴>=,()()11f x g ∴>=. 综上所述：()()1F x G x ->.14.已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若过点P (1,0)且与曲线()y f x =相切的直线有且仅有两条,求实数a 的取值范围.【过程详解】 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),11()ax f x a x x +'=+=． ①当0a ≥时,()0f x '>,f (x )在(0,+∞)上单调递增；②当0a <时,10a ->,令()0f x '>可得10x a <<-,令()0f x '<可得1x a >-,∴f (x )在(0,1-a )上单调递增,在(1a-,+∞)上单调递减； 综上所述,当0a ≥时,f (x )在(0,+∞)上单调递增；当a <0时,f (x )在(0,1-a )上单调递增,在(1a-,+∞)上单调递减． (2)设切点为(,ln )Q m am m +,m >0,则在点Q 处的切线方程：1(ln )()()y am m a x m m -+=+-, 将P (1,0)的坐标代入得：1(ln )()(1)am m a m m -+=+-, 整理为：1ln 1m a m +=-+, 令1()ln g x x x=+,x >0, 若过点P (1,0)且与曲线(y f x =)相切的直线有且仅有两条,相当于函数y =g (x )的图像和函数y =-a +1的图像有两个交点．22111()x g x x x x-'=-+=, 当01x <<时,()0g x '<,g (x )单调递减；当1x >时,()0g x '>,g (x )单调递增； ∴min ()(1)1g x g ==,易知x →0时,g (x )→+∞；x →+∞时,g (x )→+∞,故g (x )如图：由图可知,11a -+>,则a <0,故实数a 的取值范围为(),0∞-．15.函数3221(),()ln 2f x x ax bg x a x m =-+=+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时,设()()h x f x '=,()h x 与()g x 有公共点,且在公共点处的切线方程相同,求实数m 的最大值．【过程详解】（1）321(),2f x x ax b x =-+∈R ,则2334()2223f x x ax x x a '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 当0a =时,23()02f x x '=≥,所以()f x 在R 上单调递增； 当0a <时,令()0f x '>0x ⇒>或43x a <,4()003f x a x '<⇒<<, 所以()f x 在4,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增； 当0a >时,令4()03f x x a '>⇒>或40,()003x f x x a <<⇒<<', 所以()f x 在(,0)-∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 综上所述：当0a =时,()f x 在R 上单调递增；当0a <时,()f x 在4,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增,4,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(0,)+∞上单调递增； 当0a >时,()f x 在(,0)-∞上单调递增,40,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,4,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）23()()22h x f x x ax '==-,因为()h x 与()g x 有公共点,设公共点为()00,x y , 所以2()32,()a h x x a g x x''=-=,则20032a x a x -=,且00,0x a >>,解得0x a =, 又因为2200032ln 2x ax a x m -=+,则221ln ,02m a a a a =-->, 令221()ln (0),()2(1ln )2x x x x x x x x ϕϕ=-'=-->+, 当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'>；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时,()0x ϕ'<, 故()ϕx 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减, 所以max 211()e 2ex ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭,故实数m 的最大值为212e ． 16.已知函数()2132f x x x =-,()()12lng x a x a x =-+,a ∈R ． （1）若函数()()()h x f x g x =+在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,求实数a 的取值范围； （2）设曲线()y f x =在点P 处的切线为l ,是否存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）也相切？若存在,判断满足条件的点P 的个数,若不存在,请说明理由．【过程详解】（1）因为()()()()2122ln 2h x f x g x x a x a x =+=-++, 则()()()()222x x a a h x x a x x --'=-++=.①当0a ≤时,若02x <<,则()0f x '<,此时函数()f x 单调递减, 若2x >,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意； ②当02a <<时,由()0f x '<,可得2a x <<,由()0f x '>,可得0x a <<或2x >. 此时函数()f x 的单调递增区间为()0,a 和()2,+∞,单调递减区间为(),2a ,因为函数()h x 在()0,1上单调递增,在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,则312a ≤≤； ③当2a =时,对任意的0x >,()()220x h x x -'=≥,则函数()f x 在()0,∞+上单调递增,不合乎题意； ④当2a >时,若02x <<,则()0f x '>,此时函数()f x 单调递增,不合乎题意.综上所述,实数a 的取值范围是31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）设20001,32P x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为()3f x x '=-,所以()003f x x =-'． 所以直线l 的方程为()()200001332y x x x x x -+=--,即()200132y x x x =--．① 假设直线l 与2ln y x =的图象也相切,切点为()11,2ln x x ． 因为2y x '=,所以直线l 的方程也可以写作()11122ln y x x x x -=-, 即1122ln 2y x x x =+-．② 又因为0123x x -=,即0123x x =+,代入①式得直线l 的方程为21121232y x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 由①②有211122ln 232x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭,即211122ln 2302x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭． 令()2111122ln 232x x x ϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,1>0x , 所以()()21112311112222332x x x x x x x ϕ'⎛⎫⎛⎫=++⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令()10x ϕ'>,得132x >,令()10x ϕ'<,可得1302x <<. 所以()1x ϕ在30,2⎛ ⎝⎭上递减,在3,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上递增,即()1min x ϕ3352ln 0224ϕ⎛+==+> ⎝⎭, 所以()10x ϕ>在()0,∞+上恒成立,即()10x ϕ=无解, 故不存在这样的点P 使得直线l 与曲线()y g x =（其中1a =）的图象也相切．。
