浙江省东阳中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试卷

2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（4分）已知点A（1，﹣2，3），则点A关于原点的对称点坐标为（）A．（﹣1，2，3）B．（﹣1，2，﹣3）C．（2，﹣1，3）D．（﹣3，2，﹣1）3．（4分）在圆x2+y2+2x﹣4y＝0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．4．（4分）用反证法证明命题“a、b∈R，若a2+b2＝0，则a＝b＝0”，其假设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为05．（4分）如图，在正方形ABCD内作内切圆O，将正方形ABCD、圆O绕对角线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1，V2，则V1：V2＝（）A．2：B．2：3C．2：D．：16．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥nC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βD．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n7．（4分）设a∈R，则“a＝2”是“直线l1：x+ay﹣a＝0与直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+1＝0垂直”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件8．（4分）已知函数f（x）＝x2+aln（1+x）有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2，则实数a的取值范围（）A．B．（0，2）C．D．9．（4分）点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8]B．C．D．（2，3]10．（4分）如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′上运动并且使∠MAC′＝∠P AC′，那么点P的轨迹是（）A．一段圆弧B．一段椭圆弧C．一段双曲线弧D．一段抛物线弧二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的体积为；侧面积为．12．（6分）设函数f（x）＝xlnx，则点（1，0）处的切线方程是；函数f（x）＝xlnx 的最小值为．13．（6分）圆锥的母线长为2，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的表面积为，若该圆锥内有一个内接圆柱（圆柱的底面在圆锥的底面上），则圆柱体积的最大值为．14．（6分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+，则f（x）＝，单调增区间为．15．（4分）已知长方形ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，DD1⊥面ABCD，AB ＝4，AA1＝2，点E在棱C1D1上，且D1E＝3，若动点F在底面ABCD内且AF＝2，则EF的最小值为．16．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，M为AB的中点，现将△ACM沿CM 折成三棱锥P﹣CBM，当二面角P﹣CM﹣B大小为60°时，＝．17．（4分）过点P（1，1）的直线l与椭圆交于点A和B，且．点Q满足，若O为坐标原点，则|OQ|的最小值为三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知圆M过两点A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圆心M在x+y﹣2＝0上．（1）求圆M的标准方程；（2）设P是直线3x+4y+8＝0上的动点，P A、PB是圆M的两条切线，A、B为切点，求四边形P AMB面积的最小值．19．（15分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．20．（15分）已知a≥2，函数F（x）＝min{x3﹣x，a（x+1）}，其中min{p，q}＝．（1）若a＝2，求F（x）的单调递减区间；（2）求函数F（x）在[﹣1，1]上的最大值．21．（15分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE＝．（Ⅰ）求证：DE⊥AC；（Ⅱ）求DE与平面BEC所成角的正弦值；（Ⅲ）直线BE上是否存在一点M，使得CM∥平面ADE，若存在，求点M的位置，不存在请说明理由．22．（15分）已知抛物线E：y＝ax2（a＞0）内有一点P（1，3），过点P的两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A、C和B、D两点，且满足，．已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k．（Ⅰ）求证：点M的横坐标为定值；（Ⅱ）如果k＝2，点M的纵坐标小于3，求△P AB的面积的最大值．2018-2019学年浙江省金华市东阳中学高二（下）开学数学试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D．2．【解答】解：∵点A（1，﹣2，3），∴点A关于原点的对称点坐标为（﹣1，2，﹣3）．故选：B．3．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2＝5，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r＝，∴过（0，1）的直径斜率为＝﹣1，∴与此直径垂直的弦的斜率为1，∴过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是故选：B．4．【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选：A．5．【解答】解：设AC＝BD＝2，则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，故V1＝2××π＝，圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为的球，故V2＝（）3＝，故V1：V2＝：1，故选：D．6．【解答】解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，若α∥β，m∥α，n∥β，则m，n可能平行，也可能异面，故B错误．对于C，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故C错误；对于D，根据线面平行的性质定理可知D正确．故选：D．7．【解答】解：当a＝0时，两条直线分别化为：x＝0，4y+1＝0，此时两条直线相互垂直；当a＝时，此时两条直线不垂直，舍去；当a≠0，时，由于两条直线相互垂直，则×＝﹣1，则a＝2．综上可得：a＝0或2．∴“a＝2”是“直线l1：x+ay﹣a＝0与直线l2：ax﹣（2a﹣3）y+1＝0垂直”的充分不必要条件．故选：A．8．【解答】解：∵f（x）定义域为（﹣1，+∞），又f′（x）＝2x+，令f'（x）＝0，则2x+＝0，∵函数在（﹣1，+∞）内有两个不同的实数根，∴a＝﹣2x（x+1），令y1＝a，y2＝﹣2x（x+1），如图示：∴0＜a＜．故选：C．9．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM＝PF1，PF1＝PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选：B．10．【解答】解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这个正圆锥面的中心轴即为AC'，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC'；以A′点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），C'（1，1，0），M（，1，1），＝（1，1，﹣1），＝（，1，0），∵cos∠MAC′＝＝＝＝设AC'与底面A'B'C'D'所成的角为θ，则cosθ＝＝＝＝＞∴θ＜∠MAC'，∴该正圆锥面和底面A'B'C′D'的交线是双曲线弧；同理可知，P点在平面CDD'C的交线是双曲线弧，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．【解答】解：由题意可知，这一几何体是一个四棱锥，且四棱锥的底面是一个长为8，宽为6的矩形，四棱锥的高为4，为×8×6×4＝64．侧面为等腰三角形，底边长分别为8，6；斜高分别为5，4∴侧面积为×8×5×2+×6×4×2＝40+24＝40+24故答案为64，40+24．12．【解答】解：求导函数，可得y′＝lnx+1x＝1时，y′＝1，y＝0∴曲线y＝xlnx在点x＝1处的切线方程是y＝x﹣1即x﹣y﹣1＝0．令lnx+1＝0，可得x＝，x∈（0，），函数是减函数，x＞时函数是增函数；所以x＝时，函数取得最小值：﹣．故答案为：x﹣y﹣1＝0；﹣．13．【解答】解：∵圆锥的母线长为2，它的侧面展开图为半圆，∴半圆的弧长为2π，即圆锥的底面周长为2π，设圆锥的底面径是R，则2πR＝2π，解得R＝1，∴圆锥的底面半径是1，∴圆锥的表面积S＝πR（R+l）＝3π；作出圆锥轴截面如图所示：圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，则圆锥的高h＝，当圆锥内部放置一个内接圆柱的底面半径为r时，圆柱的高x满足：，即，则x＝，故圆柱的体积V＝，得：V′＝，当r∈（0，）时，V′＞0，V随r的增大而增大；当r∈（，1）时，V′＜0，V随r的增大而减小．故当r＝时，V取最大值．故答案为：3π；．14．【解答】解：∵f（x）＝f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+，∴f′（x）＝f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，∴f′（1）＝f′（1）﹣f（0）+1，故f（0）＝1，又f（0）＝f′（1），故f′（1）＝e，∴f（x）＝e x﹣x+x2，f′（x）＝e x﹣1+x，f″（x）＝e x+1＞0，∴f′（x）在R上单调递增，又f′（0）＝0，故当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．故答案为：e x﹣x+x2，（0，+∞）．15．【解答】解：取CD的四等分点E1，使得DE1＝3，∵D1E∥DE1且D1E＝DE1，∴四边形D1EE1D为平行四边形，可得D1D∥EE1，∵DD1⊂平面D1DB，EE1⊄平面D1DB，∴EE1∥平面D1DB，∵AF＝2，∴点F在平面ABCD内的轨迹是以A为圆心、半径等于2的四分之一圆弧．∵EE1∥DD1，D1D⊥面ABCD，∴E1E⊥面ABCD，Rt△EE1F中，可得EF＝＝．∴当E1F的长度取最小值时，EF的长度最小，此时点F为线段AE1和四分之一圆弧的交点，即E1F＝E1A﹣AF＝5﹣2＝3，此时，EF＝＝．∴EF长度的最小值为．故答案为：．16．【解答】解：如图，取BC中点E，连接AE，设AE∩CM＝O，再设AC＝2，由∠C＝90°，tan A＝，可得BC＝，在Rt△MEC中，可得tan，在Rt△ECA中，求得tan，∴cot∠AEM═，则∠CME+∠AEM＝90°，有AE⊥CM．∴PO⊥CM，EO⊥CM，∠POE为二面角P﹣CM﹣B的平面角为60°，∵AE＝，OE＝1×sin∠CME＝，∴PO＝．在△POE中，由余弦定理可得PE＝＝．∴PE2+CE2＝PC2，即PE⊥BC．则PB＝PC＝2．在Rt△ACB中，求得AB＝2，∴＝．故答案为：．17．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），由P（1，1），，，则1﹣x1＝λ（x2﹣1），m﹣x1＝﹣λ（x2﹣m），即为x1+λx2＝1+λ，x1﹣λx2＝m（1﹣λ），相乘可得x12﹣（λx2）2＝m（1﹣λ2），同理可得y12﹣（λy2）2＝n（1﹣λ2），于是可得（+）﹣λ2（+）＝（1﹣λ2）（+），即1﹣λ2＝（1﹣λ2）（+），化简可得+＝1，即3m+4n＝12，即Q的轨迹方程，可得|OQ|的最小值为＝．故答案为：．三、解答题（本大题共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．【解答】解（1）设圆M的方程为：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），解得：a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4．（2）由题知，四边形P AMB的面积为S＝S△P AM+S△PBM＝|AM||P A|+|BM||PB|．又|AM|＝|BM|＝2，|P A|＝|PB|，所以S＝2|P A|，而，即，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝＝3，所以四边形P AMB面积的最小值为．19．【解答】证明：（1）＝+，＝+．因为BB1⊥平面ABC，所以•＝0，•＝0．又△ABC为正三角形，所以＜，＞＝π﹣＜，＞＝π﹣＝．因为•＝（+）•（+）＝•+•++•＝||•||•cos＜，＞+＝﹣1+1＝0，所以AB1⊥BC1．解：（2）由（1）知•＝||•||•cos＜，＞+＝﹣1．又||＝＝＝||，所以cos＜，＞＝＝，所以||＝2，即侧棱长为2．20．【解答】解：（1）令f（x）＝x3﹣x，g（x）＝a（x+1）＝2（x+1），令f（x）＝g（x），解得：x＝﹣1或x＝2，画出函数f（x），g（x）的图象，如图示：，显然x≤1时，f（x）≤g（x），x＞1时，f（x）＞g（x），故F（x）＝，故F（x）在在（﹣，）递减；（2）由（1）得：a≥2时，F（x）＝，而＞2，故在[﹣1，1]上，F（x）＝f（x）＝x3﹣x，而f（x）在[﹣1，﹣）递增，在（﹣，）递减，在（，1]递增，故F（x）的最大值是F（﹣）＝．21．【解答】解：（Ⅰ）以A为坐标原点AB，AD，AE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系则E（0，0，），B（2，0，0）D（0，2，0），做BD的中点F并连接CF，AF；由题意可得CF⊥BD且AF＝CF＝又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，所以C的坐标为C（1，1，）∴＝（0，﹣2，），＝（1，1，）∴＝（0，﹣2，）•（1，1，）＝0故DE⊥AC（Ⅱ）设平面BCE的法向量为＝（x，y，z）则，即∴令x＝1得＝（1，﹣1，）又＝（0，﹣2，）设平面DE与平面BCE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝（III）假设存在点M使得CM∥面ADE，则＝＝（2，0，﹣），∴＝（2λ，0，﹣）得M（2λ，0，）又因为AE⊥平面ABD，AB⊥AD所以AB⊥平面ADE因为CM∥面ADE，则即得2λ﹣1＝0∴λ＝故点M为BE的中点时CM∥面ADE．22．【解答】解：（Ⅰ）设CD的中点为点N，则由，，可推出，，这说明，且M、P、N三点共线，对A、B使用点差法，可得y A﹣y B＝a（x A﹣x B）（x A+x B），即k AB＝2a•x M，同理k CD＝2a •x N，于是x M＝x N，即MN⊥x轴，所以，x M＝x P＝1为定值；（Ⅱ）由k＝2得a＝1，设y M＝t∈（1，3），|PM|＝3﹣t，联立，得x2﹣2x+2﹣t＝0．由韦达定理可得x A+x B＝2，x A x B＝2﹣t．所以，＝．于是，．构造函数y＝（t﹣1）（3﹣t）2，其中1＜t＜3．y′＝（3﹣t）2+2（t﹣1）（t﹣3）＝（t﹣3）（3t﹣5）．令y′＝0，得．当时，y′＞0；当时，y′＜0．所以，当时，函数y＝（t﹣1）（3﹣t）2取得最大值．此时，△P AB的面积取到最大值．。

2017-2018学年 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若函数()f x 在区间上为单调函数，且图象是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间上不可能有零点B ．函数()f x 在区间上一定有零点C ．若函数()f x 在区间上有零点，则必有()()0f a f b <D ．若函数()f x 在区间上没有零点，则必有()()0f a f b > 【答案】D考点：函数的零点2.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是（ ）A ．57B ．56C ．49D ．8【答案】B 【解析】试题分析：若满足A S ⊆，那么S 的个数为6426=个，但其中有{}3,2,1的子集不满足条件，所以{}3,2,1的子集个数为823=个，所以共有568-64=个，故选B.考点：集合的子集3.函数()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，若()(3)f a f ≥，则实数a 的取值 范围是（ ）A ．(]0,3B ．(][),33,-∞-+∞C ．[]3,3-D ．[3,0)(0,3]- 【答案】C 【解析】试题分析：根据偶函数的性质，可将不等式转化为()()3f a f ≥，函数在区间[)+∞,0是减函数，所以3≤a ，所以33≤≤-a ，故选C. 考点：函数的性质4.设c b a ,,都是正数，且cba643==，那么（ ） A ．111c a b =+ B ．221c a b =+ C ．122c a b =+ D ．212c a b=+ 【答案】B 【解析】试题分析：设k cba===643，所以k a 3log =，k b 4log =，k c 6log =，变形为3log 1k a =，4log 1k b =，6log 1k c =，2log 21k b =，ba cb ac 1222111+=⇔+=，故选B. 考点：对数5.如果函数32()(4),()f x x ax a x a R =++-∈的导函数'()f x 是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程是（ ）A ．4y x =-B ．2y x =-C ．4y x =D ．2y x = 【答案】A 【解析】试题分析：()()4232-++='a ax x x f ，因为函数的导数是偶函数，所以满足0=a ，即()x x x f 43-=，()00=f ，()40-='f ，所以在原点处的切线方程为()040--=-x y ，即x y 4-=，故选A. 考点：导数的几何意义6.已知函数22()1xf x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在(0,)+∞上有最小值 B ．函数()f x 在(0,)+∞上没有最大值 C ．函数()f x 在R 上没有极小值 D ．函数()f x 在R 上有极大值【答案】D 【解析】 试题分析：()()()()()()22222211121412+-+-=+-+='xx x xx x x f ，当()0='x f 时，1=x 或1-=x ，并且当()1,-∞-∈x 时，()0<'x f ，函数单调递减，当()1,1-∈x 时，()0>'x f ，函数单调递增，当()+∞∈,1x 时，函数单调递减，所以1-=x 是函数的极小值点，1=x 是函数的极大值点，并且函数在区间()+∞,0没有最小值，但有最大值，就是极大值()11=f ，故选D. 考点：导数与函数的性质7.对于在R 上可导的任意函数()f x ，若其导函数为'()f x ，且满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ．(0)(2)2(1)f f f +≤B ．(0)(2)2(1)f f f +<C ．(0)(2)2(1)f f f +≥D ．(0)(2)2(1)f f f +>【答案】C 【解析】试题分析：当1>x 时，()0≥'x f ，当1<x 时，()0≤'x f ，所以当1=x 时，函数取得最小值，或是函数满足()0='x f ，函数是常函数，所以()()01f f ≤，()()21f f ≤，即()()()1220f f f ≥+，故选C.考点：导数与函数的单调性8.若函数b ax x x f ++=2)(有两个不同的零点21,x x ，且3121<<<x x ，那么在(1),(3)f f 两个函数值中（ ）A ．至多有一个小于1B ．至少有一个小于1C ．都小于1D ．都大于1 【答案】B【解析】试题分析：()()()21x x x x x f --=，()()()21111x x f --=，()()()21333x x f --=，所以()()()()()()()()()()221121213131331131x x x x x x x x f f ----=----=，根据基本不等式()()()()12313121111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤--x x x x ，同理()()()()12313122222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-≤--x x x x ，即()()131≤f f ，所以在(1),(3)f f 两个函数值中至少有一个小于1.考点：1.函数的零点；2.基本不等式.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.设全集U=R ，集合{|14},{|1,},A x x B y y x x A =-<<==+∈则A B = ▲ ；()()U U C A C B = ▲ ．【答案】(0,4) (,1][5,)-∞+∞ 【解析】试题分析：{}50<<=y y B ，所以{}()4,040=<<=x x B A ；()()()B A C B C A C U U U =,而{}51<<-=x x B A ，所以()()()B A C B C A C U U U ={1-≤=x x 或}5≥x (][)∞+∞=，，51--考点：集合的运算10.函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，则 3(())2f f -= ▲ ；若()3f x =，则x = ▲ ．【答案】14【解析】试题分析：2122323=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，所以412121232=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f f ；若()3f x =，转化为⎩⎨⎧=+-≤321x x φ，或⎩⎨⎧=<<321-2x x ，解得3=x ，或⎩⎨⎧=≥322x x φ，所以3=x .考点：分段函数11.已知直线y kx =与函数()x f x e =（其中e 为自然对数的底数）的图象相切，则实数k 的值为 ▲ ；切点坐标为 ▲ . 【答案】e (1,)e 【解析】试题分析：设切点坐标为()y x ,，那需满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===k xy k e y e xx ，所以解得：e k e y x ===,,1,所以e k =，切点坐标为()e ，1. 考点：导数的几何意义12.已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ▲ ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数13.已知函数()2log ,0839,84x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是 ▲ ．【答案】(8,12) 【解析】试题分析：如图，设c b a <<，那么()a a a f 212log log ==，而()b b b f 22log log ==，而()()b ab a b f a f 22221log 1log log log =⇔=⇔=，即11=⇔=ab b a ，所以c abc =，而根据图像可知()12,8∈c ，所以abc 的取值范围是()12,8.考点：分段函数14.若函数2()log (2)1x f x a x =-+-存在零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】a ≥【解析】试题分析：当()()xx xxxa x a x a 222212log 012log 122==-⇔-=-⇔=-+--,即x x a 222+=22≥，等号成立的条件为22222=⇔=xxx ，即21=x ，成立，所以实数a 的取值范围是22≥a .考点：1.对数；2.基本不等式.15.已知函数(),y f x x D =∈，若存在常数C ，对任意1,x D ∈存在唯一的2x D ∈，使得C ，则称常数C 是函数()f x 在D 上的 “湖中平均数” ．若已知函数()[]1,0,20162xf x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()f x 在[]0,2016上的“湖中平均数”是 ▲ ．【答案】10081()2【解析】试题分析：函数()xx f ⎪⎭⎫⎝⎛=21在定义域内是单调递减函数，若函数在区间[]2016,0存在“湖中平均数”，那么一定是最大值和最小值的几何平均数，即10082016212121⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C ,并且满足在定义域内的任意一个x ，总存在定义域内的x -2016，满足10082016212121⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-xx C ，所以()f x 在[]0,2016上的“湖中平均数”是100821⎪⎭⎫⎝⎛.考点：新定义三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.已知集合22{60}A x x ax a =+-≤，{2}B x x a =-<，（1）当1a =时，求A B 和A B ； （2）当B A ⊆时，求实数a 的取值范围．【答案】(1) (1,2]A B = ，[3,3)A B =- ;(2) 0a ≤或2a ≥. 【解析】试题分析：(1)当1=a 时，分别求解集合A 和B ;再利用数轴求两个集合的交集和并集；（2）若满足B A ⊆，讨论当0a ≤时，B =∅，显然符合B A ⊆，因为空集是任何集合的子集，若0a >时，分别求解两个不等式的解集，根据数轴讨论不等式的端点，使A B ⊆.试题解析：（1）当1a =时，2{60}[3,2]A x x x =+-≤=-，{21}(1,3)B x x =-<=所以(1,2]A B = ，[3,3)A B =- （2）当0a ≤时，B =∅，显然符合B A ⊆当0a >时，{(3)(2)0}[3,2]A x x a x a a a =+-≤=-，(2,2)B a a =-+因为B A ⊆，所以2322a a a a -≥-⎧⎨+≤⎩，得12a a ≥-⎧⎨≥⎩，得2a ≥综上所述，0a ≤或2a ≥考点：1.集合的运算；2.集合的关系.17.已知函数()sin cos 1f x x x x =-++，[0,2]x π∈（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 的极小值和最大值，并写明取到极小值和最大值时分别对应x 的值. 【答案】(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ23,;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）先求函数的导数，并且根据辅助角公式化简函数，并求导数在[]π2,0的零点，同时讨论零点两侧的单调性，确定函数的单调递减区间；（2）根据（1）的讨论，可求得极值点和极值以及端点值的大小，经比较可得函数的最大值以及极小值. 试题解析：（1）f′(x)＝cosx ＋sinx ＋1＝2sin(x ＋4π)＋1 ([0,2]x π∈) 令f′(x)＝0，即sin(x ＋4π)＝－22， 解之得x ＝π或x ＝23π. x ，f′(x)以及f(x)变化情况如下表：∴f(x)的单调减区间为(π，2π)． （2）由（1）知f (x) 极小＝f(π23)＝π23.而f(π)＝π＋2，(2)2f ππ=， 所以max ()(2)2f x f ππ==. 考点：导数的简单应用18.已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且2,1====AB DC AD PA ，M 是PB 的中点. （1）证明：面PAD ⊥面PCD ；（2）求直线AC 与PB 所成角的余弦值； （3）求二面角A MC B --的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）510；（3）32-.【解析】试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理，要证明面面垂直，先证明线面垂直，根据垂直关系，可证明⊥DC 平面PAD ；（2）几何法求异面直线所成的角，通过平移直线，将异面直线转化为相交直线所成的角，取PA 中点E ，AB 中点F ，连结EF ，则//EF PB ，长DC 至点G ，使得DC CG =，连结FG ，则//FG AC ，所以EFG ∠或其补角为直线AC 与PB 所成的角，在三角形EFG 内，根据余弦定理求角；（3）因为AMC ∆H 和BMC ∆全等，过A 点作AH CM ⊥，连结BH ，所以BH CM ⊥，故AHB ∠为二面角A CM B --的平面角，同样根据余弦定理求解；或是根据向量法求后两问.试题解析：（1）因为//AB DC 且90DAB ∠=，所以CD AD ⊥因为PA ⊥面ABCD ，所以PA CD ⊥，而PA AD A = ，所以CD ⊥面PA D ，又CD ⊂面PCD ，所以面PAD ⊥面PCD方法一：（2）取PA 中点E ，AB 中点F ，连结EF ，则//EF PB ，且12EF P B =。

诸暨中学2017学年第二学期期中考试高二年级数学试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合则（）A. （﹣9，1）B. （﹣9，1]C. [﹣1，1]D. [﹣1，1）【答案】D【解析】分析：先根据对数单调性解得集合M,再利用数轴求集合M与集合N的交集.详解：，所以从而选D.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 若，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据，以及积的导数运算法则：进行求解.详解：选B.点睛：导数运算法则：,，，常用函数导数：3. 已知等比数列的公比，，则的值是（）A. B. C. 4 D. 16【答案】D【解析】分析：先根据等比数列通项公式求首项，再根据等比数列通项公式求的值.详解：选D.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.4. 已知是定义在上的奇函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，解得，且，∴．选．5. 已知为两个不同的平面，为直线，则以下说法正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】分析：判断位置关系，一般举反例说明不成立的命题，而对于成立的命题，需结合相关定理进行证明.举反例时，注意线在面内这一位置关系.详解：若，，则或在内，A错；若，，则与位置关系不定；B错；若，，则或在内，D错；若，则平行内一条直线因为，所以,因此，C对，选C.点睛：线面垂直或平行关系转化过程中需注意定理条件，如线面平行判定定理中注意平面外一条直线与平面内一条直线平行，才得到平面外直线平行该平面，再如经过一平面的垂线的平面才垂直该平面.6. 已知，则“”是“直线和直线平行”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由题意可知，充分性：若，则直线可变形为当时，两直线重合，所以充分性不具备必要性：若两直线平行，则，所以必要性具备故选7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是直角三角形，则该双曲线离心率的值是（）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】分析：根据双曲线对称性得直线AM 斜率，再根据垂直于轴得A点坐标，最后根据两点间斜率公式得等量关系，解得双曲线离心率.详解：因为垂直于轴，所以不妨设A在x轴上方，则因为是直角三角形，根据双曲线对称性得因为（负舍），选C.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8. 已知是△内的一点，且，∠，若△，△和△的面积分别为，则的最小值是（）A. 16B. 18C. 20D. 22【答案】B【解析】分析：先根据向量数量积定义解得,再根据三角形面积公式得△面积，即得值，最后根据基本不等式求最值.详解：因为因此，因为△，△和△的面积和为从而因此当且仅当时取等号，即的最小值是18，选B.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9. 已知函数的图象上有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求关于轴对称曲线C,再研究射线与曲线C有两个不同交点的情况，根据数形结合先求切线时k的值，再根据图形确定实数的取值范围...................详解：关于轴对称曲线为,设射线与曲线,相切时切点为，因为的导函数为,所以，再根据图像可得实数的取值范围是，选C.点睛：已知函数零点情况求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．10. 若，都是定义在实数集上的函数，且有实数解，则以下函数①，②，③，④中，不可能是的有（）A. 个B. 2个C. 个D. 个【答案】C【解析】分析：先根据条件得，转化为验证是否有解，再根据解得情况进行选择.详解：因为，所以，因为有实数解，所以有实数解.因为，所以A可能是,因为，所以B不可能是,因为，所以C不可能是,因为，而所以D不可能是,综上，不可能是的有3个，选C.点睛：对应抽象函数，一般充分利用条件转化为对应方程的根或不等式的解或函数有关性质等可以操作的知识，如本题根据换元代换确定所求函数是否存在问题转化方程是否有解问题.二、填空题: 本大题共7小题, 多空题每小题6分, 单空题每小题4分，共,36分.11. 抛物线的准线方程是________．【答案】【解析】分析：根据抛物线标准方程求性质：的准线方程为详解：因为的准线方程为所以抛物线的准线方程是.点睛：的准线方程为焦点坐标为12. 已知函数，则____，的极小值_______．【答案】 (1). (2).【解析】分析：先求导数，再求，求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，根据极值定义确定极小值.详解：由得，列表如下：，极大值，极小值所以的极小值为.点睛：函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论.(3)已知极值求参数.若函数在点处取得极值，则，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.13. 已知实数满足约束条件，的最大值为__________，的取值范围为__________．【答案】 (1). 20 (2).【解析】分析：先作可行域，再根据目标函数的几何意义求最值，的最大值为直线在y轴上截距的最大值，表示坐标原点与可行域内任一点连线的斜率.详解：作可行域，则直线过点A(2,4)时取最大值20，的取值范围为点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 若一个底面为正三角形,侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如右图所示，则此棱柱的体积为______,它的外接球的体积为__________．【答案】 (1). (2).【解析】分析：先还原几何体，再根据棱柱体积公式求体积，根据棱柱形状确定外接球球心位置，求出球半径，再根据球的体积公式求解.详解：还原几何体为如图正三棱柱，则高为4，底面正三角形高为，即底边边长为6，因此棱柱的体积为外接球的球心为上下底面中心连线的中点，所以球半径为，所以外接球的体积为点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.15. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，甲所得为________．【答案】钱【解析】分析：根据条件列出等差数列相关条件，再根据基本量关系求首项.详解：等差数列前五项和为5，前两项和与后三项和相等，求首项，因为，所以，因此甲所得为钱.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.16. ，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】 (1). (2).【解析】分析：先对平方，利用向量数量积定义将式子转化为关于二次函数，再根据二次函数性质求最小值，同样对平方，利用向量数量积定义将式子转化为关于二次函数，再根据二次函数性质求最小值.详解：,即的最小值是.,,即的最小值是.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题. 关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题.17. 已知直角三角形的两条直角边,,为斜边上一点，沿将三角形折成直二面角，此时二面角的正切值为，则翻折后的长为______________.【答案】4【解析】分析：关键作出二面角的平面角，可利用面面垂直性质定理，即过B作CP 垂线BD即得线面垂直,再过D作A1C垂线，垂足为E，则根据三垂线定理可得角BDE为二面角的平面角，最后根据三角形相似解出.详解：过B作CP垂线，垂足为D; 再过D作A1C垂线，垂足为E，连BE.因为平面BCP垂直平面A1CP,所以有BD垂直平面A1CP,因为DE垂直A1C，所以BE垂直A1C，因此角BDE为二面角的平面角，即,设,因为,,点睛：立体几何中折叠问题,不仅要注重折叠前后不变量的关系，而且注意变化角中隐含垂直关系.二面角的寻找，主要找面的垂线，即需从面面垂直出发确定线面垂直，进而确定二面角.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. 在中，角所对的边分别为若（1）求角的大小；（2）若的面积为试求边的最小值．【答案】（1）；（2）2【解析】分析：（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据诱导公式以及两角和正弦公式化简得即得角的大小；（2）由三角形面积公式可得再根据余弦定理得，最后根据基本不等式求最值.详解：(1)点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.19. 已知函数，（1）求在处的切线方程；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）；（2）1【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得切线的斜率为，再根据点斜式求切线方程，(2)先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数单调性，根据单调性确定最小值取法.详解：,,(2),,,,点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．20. 如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，且面面,为的中点．（1）若点为中点，求证：平面；（2）线段（含端点）上是否存在点，使得与面所成角为？【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：(1) 取的中点，由平几知识得四边形为平行四边形，即, 再根据线面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得面一个法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余列方程，解得点坐标.详解：（1）取的中点，连，,,四边形为平行四边形，则,因为面,面,面.（2）面面,面面,,面,易得,如图建系.不妨设,则，.不妨设,,不妨设面的法向量，,则解得。

2017-2018学年浙江省杭州二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．展开式中的常数项是（）A．6 B． 4 C．﹣4 D．﹣62．用数学归纳法证明1+2+3+…+（3n+1）=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．（3k+2）B．（3k+4）C．（3k+2）+（3k+3）D．（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）3．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点4．用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3 B．（k+2）3 C．（k+1）3 D．（k+1）3+（k+2）35．四张卡片上分别标有数字“2”、“3”、“3”、“9”，其中“9”可以当“6”使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（）A．18 B．12 C．24 D．66．设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．2 B． 4 C．﹣D．﹣7学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种8．若函数f（x）=|a x+x2﹣xlna﹣m|﹣3（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（）A．（﹣2，4）B．（﹣4，2）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．计算1﹣3+9﹣27+…﹣39+310=．10．函数f（x）=x3﹣3x极大值为．11．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为．12．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）=．13．设（2x﹣1）5+（x+2）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a2|+|a4|=．14．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是．15．设m、n、t为整数，集合{a|a=3m+3n+3t，0≤m＜n＜t}中的数由小到大组成数列{a n}：13，31，37，39，…，则a21=．三．解答题（本大题共4题，共48分）16．求下列函数的导数：（1）f（x）=xtanx；（2）f（x）=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）；（3）f（x）=2sin3x．17．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．18．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈计算题．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解答：解：∵的展开式中的通项公式为T r+1=•x4﹣r•（﹣1）r•x﹣r=（﹣1）r••x4﹣2r，令4﹣2r=0，解得r=2，故展开式中的常数项是=6，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．2．用数学归纳法证明1+2+3+…+（3n+1）=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（）A．（3k+2）B．（3k+4）C．（3k+2）+（3k+3）D．（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）考点：数学归纳法．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．解答：解：当n=k时，等式左端=1+2+…+（3k+1），当n=k+1时，等式左端=1+2+…+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）+（3k+4），即当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）+（3k+4）．故选：D．点评：此题主要考查数学归纳法的问题，属于概念考查题，这类题型比较简单多在选择填空中出现，属于基础题目．3．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选：D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，4．用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开（）A．（k+3）3 B．（k+2）3 C．（k+1）3 D．（k+1）3+（k+2）3考点：数学归纳法．专题：证明题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：本题考查的数学归纳法的步骤，根据归纳假设，只需展开（k+3）3．解答：解：n=k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n=k 时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，所以只需展开（k+3）3．故选：A．点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的，若1）（奠基）P（n）在n=1时成立；2）（归纳）在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．5．四张卡片上分别标有数字“2”、“3”、“3”、“9”，其中“9”可以当“6”使用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（）A．18 B．12 C．24 D．6考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先把“2”、“3”、“3”、“9”全排，再排除重复的，因为9可以当作6，这里有两种可能，根据分步计数原理得到结果．解答：解：先把“2”、“3”、“3”、“9”全排，再排除重复的，有A44种，因为9可以当作6，故有2×A44=24个，故选：C．点评：本题考查了排列中的数字问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，属于中档题．6．设函数f（x）=g（x）+x2，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为（）A．2 B． 4 C．﹣D．﹣考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：欲求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根据曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1求出g′（1），从而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．解答：解：对函数f（x）=g（x）+x2，两边求导，可得f′（x）=g′（x）+2x．∵y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，∴y=f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为4．故选：B．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：曲线在该点处切线的斜率，属于基础题．7学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）A．36种B．30种C．24种D．6种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：间接法：先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，从中排除数学、理综安排在同一节的情形，可得结论．解答：解：由于每科一节课，每节至少有一科，必有两科在同一节，先从4个中任选2个看作整体，然后做3个元素的全排列，共=36种方法，再从中排除数学、理综安排在同一节的情形，共=6种方法，故总的方法种数为：36﹣6=30故选：B．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，采用间接法是解决问题的关键，属中档题．8．若函数f（x）=|a x+x2﹣xlna﹣m|﹣3（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（）A．（﹣2，4）B．（﹣4，2）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：令g（x）=a x+x2﹣x•lna，先讨论a＞1，0＜a＜1求出单调区间，进而判断函数g（x）的极小值，再由y=|g（x）﹣m|﹣3有两个零点，所以方程g（x）=m±3有2个根，而m+3＞m ﹣3，所以m+3＞1且m﹣3＜1，即可得到m的取值范围．解答：解：令g（x）=a x+x2﹣x•lna，g′（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna，①当a＞1，x∈（0，+∞）时，lna＞0，a x﹣1＞0，则g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为x∈（﹣∞，0）时，lna＞0，a x﹣1＜0，所以g′（x）＜0，即函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；②因为当0＜a＜1时，x＞0，lna＜0，a x﹣1＜0，所以g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，因为当x∈（﹣∞，0）时，lna＜0，a x﹣1＞0，所以g′（x）＜0，即函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．故：当a＞0且a≠1时，g（x）在x＜0时递减；g（x）在x＞0时递增，则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1．又函数f（x）=|g（x）﹣m|﹣3有两个零点，所以方程g（x）=m±3有二个根，而m+3＞m﹣3，所以m+3＞1且m﹣3＜1，解得m∈（﹣2，4）．故选A．点评：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．计算1﹣3+9﹣27+…﹣39+310=1024．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：逆用二项式定理，经观察，第一项1=110，最后一项为310，奇数项为正，偶数项为负，即可得到答案．解答：解：∵1﹣3C101+9C102﹣27C103+…﹣39C109+310=（1﹣3）10=（﹣2）10=210=1024，故答案为：1024．点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查学生观察与逆用公式的能力，属于中档题．10．函数f（x）=x3﹣3x极大值为2．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求函数的导函数，再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0得函数的单调区间，进而由极值的定义求得函数的极值点和极值解答：解：∵f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），∴函数f（x）=x3﹣3x在（﹣∞，﹣1）是增函数，在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）是增函数，∴函数f（x）=x3﹣3x在x=﹣1时取得极大值2，故答案为：2．点评：利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数等于零的实数x 的值，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．11．航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为32．考点：排列数公式的推导．分析：先考虑2艘攻击型核潜艇一前一后，有种方法，再考虑2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，有种方法，根据乘法原理，可得结论．解答：解：由题意，2艘攻击型核潜艇一前一后，有种方法，2艘驱逐舰和2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，有种方法，则根据乘法原理可得舰艇分配方案的方法数为=32种方法．故答案为：32．点评：本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确运用乘法原理是关键．12．函数f（x）=+lnx的导函数是f′（x），则f′（﹣1）=．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，令x=﹣1，即可得到结论．解答：解：f（x）=+lnx=﹣+lnx，则f（x）的导数f′（x）=﹣+，则f′（﹣1）==，故答案为：．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．13．设（2x﹣1）5+（x+2）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则|a0|+|a2|+|a4|=110．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：利用二项展开式的通项公式求出两个二项展开式的通项，分别求出两个二项式的常数项，求出两个常数项的和即为a0；同样的方法求出a2，a4；求出|a0|+|a2|+|a4|解答：解：（2x﹣1）5展开式通项为T r+1=（﹣1）r25﹣r x5﹣r（x+2）4展开式的通项为T k+1=2k x4﹣k∴当r=5，k=4时得a0=（﹣1）+24=15当r=3，k=2时得a2=﹣22+22=﹣16∴当r=1，k=0时得a4=﹣24+1=﹣79∴|a0|+|a2|+|a4|=110故答案为：110点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、考查等价转化的能力．14．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是20．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：对于区间上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．解答：解：对于区间上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈，∴函数在、上单调递增，在上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故答案为：20．点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．15．设m、n、t为整数，集合{a|a=3m+3n+3t，0≤m＜n＜t}中的数由小到大组成数列{a n}：13，31，37，39，…，则a21=733．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意列出部分m，n，t的取值，从而可得t=2时，=1，t=3时，=3，t=4时，=6，t=5时，=10；故a21=30+31+36=733．解答：解：由题意，数由小到大时m，n，t的取值如下，0 1 20 1 30 2 31 2 30 1 40 2 40 3 41 2 41 3 42 3 4可知，t=2时，=1，t=3时，=3，t=4时，=6，t=5时，=10；故a21=30+31+36=733；故答案为：733．点评：本题考查了数列思想的应用及归纳推理的应用，属于中档题．三．解答题（本大题共4题，共48分）16．求下列函数的导数：（1）f（x）=xtanx；（2）f（x）=（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）；（3）f（x）=2sin3x．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数的导数公式分别进行求导即可．解答：解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=x′tanx+x（tanx）′=tanx+．（2）函数的f（x）=x3﹣6x2+11x﹣6．则f′（x）=3x2﹣12x+11．（3）函数的f（x）的导数f′（x）=2cos3x•（3x）′=2×2cos3x=6cos3x．点评：本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．17．已知函数f（x）=lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程．（Ⅱ）设g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g（x）＞a，只要求出g（x）的最小值就可以．解答：解：（Ⅰ）由，∴，∴k=f′（1）=3，又∵f（1）=﹣2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣5=0；（Ⅱ）由f（x）＞﹣x+2，得，即a＜xlnx+x2﹣2x，设函数g（x）=xlnx+x2﹣2x，则g′（x）=lnx+2x﹣1，∵x∈（1，+∞），∴lnx＞0，2x﹣1＞0，∴当x∈（1，+∞）时，g′（x）=lnx+2x﹣1＞0，∴函数g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时，g（x）＞g（1）=﹣1，∵对于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞﹣x+2成立，∴对于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，∴a≤﹣1．点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求再某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．18．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时成立．设当n=k时，成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。