空间向量与立体几何知识
点
Prepared on 22 November 2020
立体几何空间向量知识点总结
知识网络：
知识点拨：
1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广．
2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ⋅=⇔⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题．
3、公式cos ,a b
a b a b ⋅<>=⋅是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以
求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等．
4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题．
5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法
（1）线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
（2）线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ⋅=⇔⊥．
用向量证明线面平行的方法主要有：
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．
（4）线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有：
①证明直线方向向量与平面法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
（5）面面平行
①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；
②转化为线面平行、线线平行问题．
（6）面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．
6、运用空间向量求空间角
（1）求两异面直线所成角
利用公式cos,
a b
a b
a b
⋅
<>=
⋅
，
但务必注意两异面直线所成角θ的范围是
0,
2
π
⎛⎤
⎥
⎝⎦，
故实质上应有：cos cos,a b
θ=<>
．
求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角
用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．
7、运用空间向量求空间距离
空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离．
（1）点与点的距离
点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模．
（2）点与面的距离
点面距离的求解步骤是：
①求出该平面的一个法向量；
②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离．
备考建议：
1、空间向量的引入，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，应体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力．
2、灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．
3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时，直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的地位和作用，它的特点是用代数方法解决立体几何问题，无需进行繁、难的几何作图和推理论证，起着从抽象到具体、化难为易的作用．因此，应熟练掌握平面法向量的求法和用法．
4、加强运算能力的培养，提高运算的速度和准确性．
第一讲空间向量及运算
一、空间向量的有关概念
1、空间向量的定义
在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量．注意空间向量和数量的区别．数量是只有大小而没有方向的量．
2、空间向量的表示方法
空间向量与平面向量一样，也可以用有向线段来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用有向线段的方向表示向量的方向．若向量a对应的有向线段的起点是A，终点
是B，则向量a可以记为AB，其模长为a
或
AB
．
3、零向量
长度为零的向量称为零向量，记为0．零向量的方向不确定，是任意的．由于零向量的这一特殊性，在解题中一定要看清题目中所指向量是“零向量”还是“非零向量”．
4、单位向量
模长为1的向量叫做单位向量．单位向量是一种常用的、重要的空间向量，在以后的学习中还要经常用到．
5、相等向量
长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量．若向量a 与向量b 相等，记为a =b .零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
6、相反向量
长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量．a 的相反向量记为－a
二、共面向量
1、定义
平行于同一平面的向量叫做共面向量．
2、共面向量定理
若两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x 、y,使得p =xa yb +。
3、空间平面的表达式
空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x 、y 使
MP xMA yMB =+或对空间任一定点O,有
或OP xOA yOB zOM =++（其中1x y z ++=）这几个式子是M,A,B,P 四点共面的充要条件．
三、空间向量基本定理
1、定理
