解决力学多过程问题的三把钥匙(教师版)

解决力学多过程问题的三把钥匙资中县球溪高级中学 王城热点概述：高考中物体的运动情况比较复杂，要根据运动特点选择是用动力学观点还是能量观点以及动量观点解决问题。

一、应用动力学方法和动能定理解决多过程问题若一个物体参与了多个运动过程，有的运动过程只涉及分析力或求解力而不涉及能量问题，则常常用牛顿运动定律求解；若该过程涉及能量转化问题，并且具有功能关系的特点，则往往用动能定理求解。

【例1】如图所示，在粗糙水平台阶上放置一质量m ＝0.5 kg的小物块，它与水平台阶间的动摩擦因数μ＝0.5，与台阶边缘O 点的距离s ＝5 m 。

在台阶右侧固定一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R ＝1m ，圆弧的圆心也在O 点。

今以O 点为原点建立平面直角坐标系xOy 。

现用F ＝5 N 的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板。

(sin37°＝0.6，取g ＝10 m/s 2)(1)若小物块恰能击中挡板上的P 点(OP 与水平方向夹角为37°)，求其离开O 点时的速度大小；(2)为使小物块击中挡板，求拉力F 作用的最短时间；(3)改变拉力F 的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值。

解析 (1)小物块从O 到P ，做平抛运动。

水平方向：R cos37°＝v 0t竖直方向：R sin37°＝12gt 2 解得：v 0＝433m/s (2)为使小物块击中挡板，小物块必须能运动到O 点。

设拉力作用的位移为x 。

由动能定理得：Fx －μmgs ＝0 解得：x ＝2.5 m由牛顿第二定律得：F －μmg ＝ma 解得：a ＝5 m/s 2由运动学公式得：x ＝12at 2 解得：t ＝1 s (3)设小物块击中挡板的任意点坐标为(x ，y )，由运动学规律可得：x ＝v 0t ；y ＝12gt 2 由动能定理得：mgy ＝E k －12m v 20又x 2＋y 2＝R 2化简得：E k ＝14mg ⎝⎛⎭⎫R 2y ＋3y 由基本不等式得：y 2＝13时，动能最小，其值为：E kmin ＝523 J 二、用动力学和能量守恒解决多过程问题若一个物体参与了多个运动过程，有的过程只涉及运动和力的问题或只要求分析物体的动力学特点，则要用动力学方法求解；若某过程涉及到做功和能量转化问题，则要考虑应用动能定理或机械能守恒定律求解。

【例2】如图所示，在竖直方向上，A 、B 两物体通过劲度系数为k ＝16 N/m 的轻质弹簧相连，A 放在水平地面上，B 、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C 放在倾角α＝30°的固定光滑斜面上。

用手拿住C ，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab 段的细线竖直、cd 段的细线与斜面平行。

已知A 、B的质量均为m ＝0.2 kg ，重力加速度取g ＝10 m/s 2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。

释放C 后它沿斜面下滑，A 刚离开地面时，B 获得最大速度，求：(1)从释放C 到物体A 刚离开地面时，物体C 沿斜面下滑的距离；(2)物体C 的质量；(3)释放C 到A 刚离开地面的过程中细线的拉力对物体C 做的功。

解析 (1)设开始时弹簧的压缩量为x B ，得：kx B ＝mg ①设物体A 刚离开地面时，弹簧的伸长量为x A ，得：kx A ＝mg ②当物体A 刚离开地面时，物体C 沿斜面下滑的距离为：h ＝x A ＋x B ③由①②③解得：h ＝2mg k＝0.25 m ④ (2)物体A 刚离开地面时，物体B 获得最大速度v m ，加速度为零，设C 的质量为M ，对B 有：T －mg －kx A ＝0⑤对C 有：Mg sin α－T ＝0⑥由②⑤⑥得：Mg sin α－2mg ＝0⑦解得：M ＝4m ＝0.8 kg 。

⑧(3)由于x A ＝x B ，物体B 开始运动到速度最大的过程中，弹簧弹力做功为零，且B 、C 两物体速度大小相等，由能量守恒有：Mgh sin α－mgh ＝12(m ＋M )v 2m 解得：v m ＝1 m/s对C 由动能定理可得：Mgh sin α＋W T ＝12M v 2m解得：W T ＝－0.6 J 。

三、用动量守恒和功能关系解决多过程问题若一个物体参与了多个运动过程，有的过程只涉及速度和时间的问题或只要求分析物体系统（或在某方向）的合外力是否为零，则要用动量守恒方法求解；若某过程涉及到做功和能量转化问题，则要考虑应用动能定理或机械能守恒定律求解。

【例3】如图所示，长为L ＝2 m 的木板A 质量为M ＝2 kg ，A 静止于足够长的光滑水平面上，小物块B (可视为质点)静止于A 的左端，B 的质量为m 1＝1 kg ，曲面与水平面相切于M 点。

现让另一小物块C (可视为质点)，从光滑曲面上离水平面高h ＝3.6 m 处由静止滑下，C 与A 相碰后与A 粘在一起，C 的质量为m 2＝1 kg ，A 与C 相碰后，经一段时间B 可刚好离开A 。

(g ＝10 m/s 2)求：(1)A 、B 之间的动摩擦因数μ；(2)从开始到最后损失的机械能。

答案 (1)0.15 (2)27 J解析 (1)设C 滑至水平面的速度为v ，由动能定理m 2gh ＝12m 2v 2 得v ＝2gh对C 、A 碰撞过程，设碰后共同速度为v 1，由动量守恒有：m 2v ＝(M ＋m 2)v 1v 1＝m 2v M ＋m 2B 恰好滑离A 时与A 有相同的速度，设为v 2。

对A 、C 、B 组成的系统由动量守恒定律可得：m 2v ＝(M ＋m 1＋m 2)v 2v 2＝m 2v M ＋m 1＋m 2对A 、B 、C 组成的系统由能量守恒可得μm 1gL ＝12(M ＋m 2)v 21－12(M ＋m 1＋m 2)v 22 μ＝0.15(2)C 与A 碰撞过程中损失的机械能ΔE 1＝12m 2v 2－12(M ＋m 2)v 21，代入得ΔE 1＝24 J A 、C 粘在一起后，B 相对A 走了一个木板的长度L ，损失的机械能ΔE 2＝μm 1gL代入得ΔE 2＝3 J整个过程中损失的机械能ΔE ＝ΔE 1＋ΔE 2＝27 J针对训练1．如图所示，AB 和CDO 都是处于竖直平面内的光滑圆弧形轨道，OA 处于水平位置。

AB 是半径为R ＝2 m 的1/4圆周轨道，CDO 是半径为r ＝1 m 的半圆轨道，最高点O 处固定一个竖直弹性挡板。

D 为CDO 轨道的中点。

BC 段是水平粗糙轨道，与圆弧形轨道平滑连接。

已知BC 段水平轨道长L ＝2 m ，与小球之间的动摩擦因数μ＝0.4。

现让一个质量为m ＝1 kg 的小球P 从A 点的正上方距水平线OA 高H 处自由落下。

(取g ＝10 m/s 2)(1)当H ＝1.4 m 时，问此球第一次到达D 点对轨道的压力大小。

(2)当H ＝1.4 m 时，试通过计算判断此球是否会脱离CDO 轨道。

如果会脱离轨道，求脱离前球在水平轨道经过的路程；如果不会脱离轨道，求静止前球在水平轨道经过的路程。

解析 (1)设小球第一次到达D 的速度v D ，P 到D 点的过程对小球由动能定理得：mg (H ＋r )－μmgL ＝m v 2D /2在D 点对小球由牛顿第二定律得：F N ＝m v 2D r联立解得：F N ＝32 N由牛顿第三定律F N ′＝F N ＝32 N(2)第一次来到O 点时速度v 1，P 到O 点的过程对小球由动能定理得：mgH －μmgL ＝m v 21/2解得：v 21＝12若恰能通过O 点，mg ＝m v 20r临界速度v 20＝10 m 2/s 2 因v 21>v 20故第一次来到O 点之前没有脱离。

设第二次来到D 点的动能为E k ，对之前的过程由动能定理得：mg (H ＋r )－3μmgL ＝E k代入解得：E k ＝0故小球一直没有脱离CDO 轨道设此球静止前在水平轨道经过的路程s 对全过程由动能定理得：mg (H ＋R )－μmgs ＝0 解得：s ＝8.5 m 。

2．如图所示，AB 是一段位于竖直平面内的光滑轨道，高度为h ，末端B 处的切线方向水平。

一个质量为m 的小物体P 从轨道顶端A 处由静止释放，滑到B 端后飞出。

落到地面上的C 点，轨迹如图中虚线BC 所示。

已知它落地时相对于B 点的水平位移OC ＝l 。

现在轨道下方紧贴B 点安装一个水平传送带，传送带的右端与B 的距离为l /2，当传送带静止时，让P 再次从A 点由静止释放，它离开轨道并在传送带上滑行后从右端水平飞出，仍然落在地面的C 点。

当驱动轮转动从而带动传送带以速度v ＝3gh 匀速向右运动时(其他条件不变)，P 的落地点为D (不计空气阻力)(1)求P 滑到B 点时的速度大小；(2)求P 与传送带之间的动摩擦因数；(3)求出O 、D 间的距离。

解析 (1)物体P 在AB 轨道上滑动时，由动能定理得mgh ＝12m v 20得P 滑到B 点时的速度v 0＝2gh 。

(2)当没传送带时，物体离开B 点后平抛，运动时间t ＝l v 0＝l 2gh当B 点下方传送带静止时，物体从传送带右端平抛，时间也为t ，水平位移为l 2， 物体从右端抛出速度v 1＝l2t ＝v 02＝2gh 2由动能定理：－μmg l 2＝12m v 21－12m v 20得μ＝3h 2l(3)物体以v 0滑上传送带将匀加速，设加速到v ＝3gh 通过的位移为x ，由动能定理知：μmgx ＝12m v 2－12m v 20，解得x ＝13l <l 2所以物体尚未到右端就与传送带共速，最终以v 平抛，平抛时间也为t ，则OD 间距离s ＝v t ＋l 2解得s ＝6＋12l 。

3.如图所示，半径分别为R 和r (R >r )的甲乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD 相连，在水平轨道CD 上一轻弹簧被a 、b 两小球夹住，同时释放两小球，a 、b 球恰好能通过各自的圆轨道的最高点，求：(1)两小球的质量比；(2)若m a ＝m b ＝m ，要使a 、b 都能通过各自的最高点，弹簧释放前至少具有多少弹性势能？答案 (1)r R(2)5mgR 解析 (1)小球恰能通过最高点，由牛顿第二定律得mg ＝m v 20R 0由机械能守恒得：2mgR 0＝12m v 2－12m v 20得v ＝5gR 0所以a 、b 两球刚被弹簧弹开的瞬间速度分别为v a ＝5gR ，v b ＝5gr 在弹开过程中，a 、b 组成的系统动量守恒，m a v a ＝m b v b得m a m b ＝r R(2)a 、b 在弹开的过程中，机械能守恒E p ＝12m a v 2a ＋12m b v 2b 若m a ＝m b ＝m ，则R ＝r解得：E p ＝5mgR。