第二章 数字信号处理的基本算法

大连理工大学出版社
2.2
2.2.3
傅立叶变换的四种形式
f(n)
离散时间信号与连续频率信号间的傅立叶变换
n 0 │F(e
jΩ T
T
)│ 或 │F(e )│
jω
Ω 0 Ω 0 = 2π / T 2π
ω
离散时间信号与连续频率信号间的变换 大连理工大学出版社
2.2
2.2.4
傅立叶变换的四种形式
离散时间信号与离散频率信号间的傅立叶变换
2.2
2.2.2
傅立叶变换的四种形式
f(t)
t
0 T
连续时间信号与离散频率信号间的傅立叶变换
│F(jkΩ 0 )│
Ω 0 Ω0
连续时间信号与离散频率信号间的变换
大连理工大学出版社
2.2
2.2.3
傅立叶变换的四种形式
离散时间信号与连续频率信号间的傅立叶变换
设f(n)是非周期离散时间信号，对应的连续频率频谱密度 信号为 F (e j ) F (e jT )
1 X 0 N
xn
n 0
N 1
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2.3
2.3.3
1
离散信号的傅立叶变换
有限长序列的离散傅立叶变换DFT
主值序列和周期延拓
设f(n)是一个长度为N的有限序列，它的取值特征是n为 整数，且f(n)仅当n从0到N-1时有值，当n为其它值时f(n)为0。 下图就是有限长序列
（6）用仿真器调试硬件。
（7）用DSP开发工具调试软件程序 （8）将软件脱离开发系统，装入实际系统中运行
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2.1
数字信号处理的一般程序
获 取 数字 信 号 选 择 时域 频 域 间 的傅 立 叶 变 换 确 定 数字 滤 波 方 案 选 择DSP芯 片 组 成 硬件 电 路 编 制 软件 程 序
设f(n)为周期离散时间信号，相应的离散频谱密度为F(k)， 则正变换为：
F (k ) f (n)e j 2 nk / N
n 0
N 1
1 相应反变换为： f (n) N
式中f(n)=f(nT)
j 2 nk / N F ( k ) e k 0
N 1
j 2k F k F e N
在DSP领域用得最多的是离散时间信号与离散频率信 号之间的傅立叶变换。
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2.2
2.2.1
傅立叶变换的四种形式
F j f t e jt dt

连续时间信号与连续频率信号间的傅立叶变换
设连续时间信号f(t)对应的频谱密度函数为F(jΩ)，则傅立叶
变换为：
......
xn , 0 n N 1 f n 0 , n为其它
r
...... n
xn
2 3 4 5 6 7 0 1 rN f n
周期序列x(n)
将f(n)称为x(n)的一个主值序列，因为f(n)是x(n)的某一个 周期。而周期序列可以看成是主值序列周期延拓的结果。
组 成DSP系 统
用 仿 真器 调 试 硬 件 系 统 统调 运行 用 开 放工 具 调 试 软件
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2.2
傅立叶变换的四种形式
将自变量为时间的时域函数转变成自变量为频率的频域 函数，称为傅立叶变换。反之称为傅立叶反变换。 傅立叶变换反映了时间信号与频率信号之间的对应关系。 鉴于时间信号有连续时间信号和离散时间信号之分， 与时间函数对应的频率函数中，频率的取值可以为连续值 或离散值，因此傅立叶变换就有四种形式。
2.3
2.3.2
离散信号的傅立叶变换
周期序列的离散傅立叶级数DFS
设x(n)是一个任意的以N为周期的离散时间周期序列， 因序列有周期性，因此可以展开成如下的傅立叶级数：
xn a k e
k 0 N 1 j 2kn N
式中ak是离散傅立叶级数的系数，N是非零的某一个 整数。如果将上式两边乘以，并对n在一个周期N内求和， 即可求得ak。 1 N 1 ak xne j 2πkn / N N n 0 其中，k取值范围为(-∞，＋∞)中的整数。
2.3
2.3.1
离散信号的傅立叶变换
f ne
n
离散时间信号的傅立叶变换
离散时间信号f(n)的傅立叶变换定义成：
F e j
jn
上式成立的条件是序列f(n)满足：
n
f n

如果把f(n)视为模拟信号的抽样序列，设抽样频率为fs=1/T， 其中T是抽样时间间隔，模拟信号频率Ωs=2π/T ，则有 f(n)＝f(nT) ω＝ΩT
1 傅立叶反变换为： f t 2



F j e jt d
f(t)
t
0
连续时间信号与连续频率信号间的变换
│F(jkΩ 0 )│
Ω
0
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2.2
2.2.2
傅立叶变换的四种形式
连续时间信号与离散频率信号间的傅立叶变换
设f(t)是周期为T的连续时间函数，展开成傅立叶级数 后的系数为F(jkΩ0)，则由f(t)求取F(jkΩ0)的正变换为：
N 1 n 0
f ne
N 1 n 0
j 2kn
NR
N
k
X k RN k
反变换表示成：
1 f n N
F k e
j 2kn
NR
N
n
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xn RN n
2.4
2.4.1
离散傅立叶变换的运算特征
周期性
F e j F e j 2r
1 N
N 1 k 0
F k e
j 2kn
N
式中n的取值为[0，N-1]
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2.3
2.3.3
2
离散信号的傅立叶变换
有限长序列的离散傅立叶变换DFT
有限长序列DFT
其它 0 , 引进矩阵序列RN(n)： R N n 1 , 0 n N 1
正变换可写成： F k
2.8 离散傅立叶反变换快速算法
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2.1
数字信号处理的一般程序
要想实现数字信号处理，一般程序必须经过如下几个阶段。 （1）首先要获得数字信号，得到的数字信号通常是离散时间信号 （2）完成信号之间的傅立叶变换 （3）用软件或硬件完成数字滤波功能 （4）选择合适的DSP芯片 （5）从硬件和软件两个方面设计组成DSP系统
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2.4
2.4.3
离散傅立叶变换的运算特征
奇偶对称性
离散时间序列的傅立叶变换与连续时间傅立叶变换类似， 存在条件奇偶对称性。这一性质说的是如果序列f(n)的离散 傅立叶变换为F(k)，则f(n)和F(k)具有相同的奇偶性。即： 如果f(n)为奇（偶）对称序列，则F(k)也为奇（偶）对 称序列； 反之F(k)为奇（偶）对称序列，则f(n)也为奇（偶）对 称序列。
jk 0Tn
式中N=fs / f = Ωs /Ω０， 代入得
jk 2n jk 2 N N Fe f n e n 0
对于F(ejω)的傅立叶反变换，有以下定义：
1 f n 2



F e j e j n d
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DSP原理与实训指导
新世纪高职高专教材编审委员会组编 主编 喻宗泉
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第二章 数字信号处理的基本算法
2.1 数字信号处理的一般程序 2.2 傅立叶变换的四种形式 2.3 离散信号的傅立叶变换
2.4 离散傅立叶变换的运算特征 2.5 DFT的快速算法 2.6 基-2FFT算法 2.7 基-4FFT算法
离散时间信号的傅立叶变换以2π为周期，用式子表示成：



式中r=0，±1，±2，…，为正整数。 ω是周期离散时间信号的角频率，ω＝0的量是信号的 直流分量，由于以2π为周期，因此信号的直流分量发生在 ω＝2rπ处，其中r=0，±1，±2，…。信号的低频分量集中 在ω＝2rπ附近。信号的最高频率位于ω＝π处，于是在π附 近集中了信号的最高频率。
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2.3
2.3.3
2
离散信号的傅立叶变换
有限长序列的离散傅立叶变换DFT
有限ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ序列DFT
如果f(n)是有限长时域序列的话，F(k)就是其转换到频域 的有限长频域序列。由此得到f(n)的离散傅立叶变换：
式中k的取值为[0，N-1]。
反变换为： f n IDFTF k
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2.4
2.4.2
离散傅立叶变换的运算特征
线性
设有两个离散序列x(n)和y(n)，相应傅立叶变换分别为 X(k)和Y(k)：
X(k)=DFT[x(n)]
Y(k)=DFT[y(n)] 则有 aX(k)+bY(k)=DFT[ax(n)+by(n)] 式中a，b是任意常数。
用文字叙述成：两个离散序列和的傅立叶变换等于各自离散 傅立叶变换之和。
式中ω=ΩT表示数字频率，Ω表示模拟频率，T表示将模拟信 号数字化采样时的抽样间隔。从离散时间信号求得连续频率 信号的傅立叶正变换为：
F e jT

f ne
n
jTn
从连续频率信号求得离散时间信号的反变换为：
1 f n 2



F e j e jn d
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2.4
2.4.2
离散傅立叶变换的运算特征
线性
现将序列长度的问题说明如下：
两个离散序列的长度相同时，相加后的长度不变。例 如设x(n)和y(n)的长度都是N，则ax(n)+by(n)的长度也是N。 两个离散序列的长度不同时，相加后的长度等于较长 序列的长度。例如设x(n)的长度为Nx，y(n)的长度为Ny。若 Nx＞Ny，则ax(n)+by(n)的长度为Nx。反之若Nx＜Ny，则 ax(n)+by(n)的长度为Ny。
n , 0 n 7 f n 0 , 其它
当N=8时的示意图。
f(n)
n 0 12 34567
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2.3
2.3.3
离散信号的傅立叶变换
有限长序列的离散傅立叶变换DFT
如果以N为周期将f(n)进行延拓，延拓结果获得一个周期 x(n) 序列x(n)，如图2-9所示，x(n)和f(n)的关系如下：
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2.3
2.3.2
离散信号的傅立叶变换
N 1 k 0
周期序列的离散傅立叶级数DFS
相应的反变换为已知x(k)求x(n)：
x(n) IDFSX (k )
1 N
j 2kn / N x ( k ) e
反变换公式表明如何将周期序列分解成N次谐波，X(k) 和x(n)都是周期为N的序列，第k次谐波的频率是ωk=2πk∕N， 其中k=0，1，2，…，N-1，谐波幅值 ， Xarg[ (k ) /X N(k)]，k=0表示直流分量，直流分量幅值为： 相位
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2.4
2.4.1
离散傅立叶变换的运算特征
周期性
以f(ｎ)＝cos ωn为例，如果ω＝2rπ (r=0，±1， ±2，…)，周期序列cos ωn的谱线呈齿状，序列幅值维持为 常数不变。如果ω＝(2r＋1)π，则序列幅值从正值跳到负值， 从最大跳到最小，再从最小跳到最大。下图分别画出了ω不 同取值时的两种cos ωn波形。
1 T2 F jk 0 T f t e jk0t dt T 2
由F(jkΩ0)求取f(t)的反变换为： f t 式中k表示谐波次数， Ω0表示离散频率两相邻谱线间的角频间隔，且 F(jkΩ0)为离散频谱的非周期函数。
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k jk0t F jk e 0
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2.3
2.3.2
离散信号的傅立叶变换
周期序列的离散傅立叶级数DFS
如果k发生变化，就成为周期为N的周期函数，由此ak 成为周期为N的周期序列，若设：
x(k)=N ak
则有：
xk xn e
n 0
N 1
j 2kn
N
x(k)称为x(n)的离散傅立叶级数系数，记为DFS ： x(k)=DFS[x(n)] 上式就是离散傅立叶级数DFS的正变换。
F (e j ) F (e jT )
n
jTn f ( nT ) e

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2.3
2.3.1
离散信号的傅立叶变换
F e
离散时间信号的傅立叶变换
将变换关系离散化后，设Ω＝kΩ０，ΩT＝2πfk，则
jk 0T
f nT e
N 1 n 0
N 1
N是有限长序列的抽样点数。
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2.2
2.2.4
傅立叶变换的四种形式
f(n)
离散时间信号与离散频率信号间的傅立叶变换
.... ..
0
.... .. 1 2 ...
N N-1
n
│F(k)│
.... .. 0
1 2 ...
.... .. K N N-1
离散时间信号与离散频率信号间的变换
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