高二上学期数学期末考前热身训练三

镇平一高2021—2021高二期末考前拉练(lāliàn)数学〔理〕试题一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每个小题给出的四个选项里面，有且只有一项符合题目要求.1．不等式＞1的解集为〔〕A．〔﹣∞，1〕B．〔0，1〕C．〔1，+∞〕D．〔0，+∞〕2．a＞b的一个充分不必要条件是〔〕A．a=1，b=0 B．C．a2＞b2D．a3＞b33．在△ABC中，假设a=1，b=2，cos A=，那么sin B=〔〕A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a2+a4=20，a3+a5=40，那么a6=〔〕A．16 B．32 C．64D．1285．两座A和B与海洋观测站C的间隔分别是a km和2a km，A在观测站C的北偏东20°，B在观测站C的南偏东40°，那么A与B之间的间隔为〔〕A． a km B．2a km C． a km D． a km6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足(mǎnzú)，，那么BE与DF所成角的正弦值为〔〕A．B．C．D．7．等差数列{a n}的前n项和为S n，假设=1，那么S2021〔〕A．1008 B．1009C．2021 D．20218．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，假设O为坐标原点，那么•=〔〕A．﹣1 B．﹣2C．﹣3 D．﹣49．设椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF⊥F1F2，∠PF1F2=30°，那么C的离心率为〔〕2A．B．C．D．10．在△ABC中，假设BC=2，A=120°，那么•的最大值为〔〕A．B．﹣C．D．﹣11．正实数(shìshù)ab满足+=1，那么〔a+2〕〔b+4〕的最小值为〔〕A．16 B．24 C．32D．4012．圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为〔〕A．一个点 B．椭圆 C．双曲线D．以上选项都有可能二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13．命题“，〞的否认为_______________________________．14．假设x，y满足，那么z=x+2y的取值范围为_____________________．15．F为双曲线C：﹣=1的左焦点，A〔1，4〕，P是C右支上一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的间隔为________________．16．假设数列{a n}满足a n+1+〔﹣1〕n•a n=2n﹣1，那么{a n}的前40项和为_________________．三、解答题：本大题一一共6小题(xiǎo tí)，一共70分.解容许写出必要的文字说明或者推理、验算过程.17．〔10分〕设f〔x〕=〔m+1〕x2﹣mx+m﹣1．〔1〕当m=1时，求不等式f〔x〕＞0的解集；〔2〕假设不等式f〔x〕+1＞0的解集为，求m的值．18．〔12分〕在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣，a=6，△ABC的面积为24．〔1〕求角A的正弦值；〔2〕求边b，c．19．〔12分〕S n为数列{a n}的前n项和，a n＞0，a n2+a n=2S n．〔1〕求数列{a n}的通项公式；〔2〕假设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．20．〔12分〕双曲线的中心(zhōngxīn)在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)假设点M (3，m )在此双曲线上，求MF 1→·MF 2→.21．〔12分〕如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面ABCD ，底面为边长为1的正方形，侧棱AA 1=2〔1〕求直线DC 与平面ADB 1所成角的大小；〔2〕在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，假设存在，确定P的位置，假设不存在，说明理由．22．〔12分〕在圆x2+y2=3上任(shàng rèn)取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C．〔1〕求C的方程及其离心率；〔2〕假设直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的间隔为，求△AOB面积的最大值．高二年级期末(qīmò)冲刺训练〔一〕数学〔理〕参考答案一、选择题1．B\ 2．A 3．D 4．C 5．D 6．A 7．D 8．C 9．D 10．A 11．C 12．D二、填空题13．∀x∈[﹣，]，tan x＞m 14．[0，] 15．16． 820三、解答题17．解：〔1〕当m=1时，不等式f〔x〕＞0为：2x2﹣x＞0⇒x〔2x﹣1〕＞0⇒x＞，x＜0；因此所求解集为；〔2〕不等式f〔x〕+1＞0即〔m+1〕x2﹣mx+m＞0∵不等式f〔x〕+1＞0的解集为，所以是方程〔m+1〕x2﹣mx+m=0的两根因此⇒．18．解：〔1〕由在△ABC中，a2﹣c2=b2﹣①，整理得cos A==，那么sin A==；〔2〕∵S=bc sin A=24，sin A=，∴bc=80，将a=6，bc=80代入①得：b2+c2=164，与bc =80联立，解得：b =10，c =8或者b =8，c =10．19．解：〔1〕由题得a n 2+a n =2S n ，a n +12+a n +1=2S n +1，两式子(shì zi)相减得： 结合a n ＞0得a n +1﹣a n =1，令n =1得a 12+a 1=2S 1，即a 1=1， 所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，即a n =n 〔2〕因为b n ==〔n ≥2〕，所以T n =+…+①T n =+…++②①﹣②得T n =1++…+﹣=﹣，所以数列{b n }的前n 项和T n =3﹣．20．考点 双曲线的HY 方程；直线与圆锥曲线的关系．解 (1)∵双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，一条渐近线方程为y ＝x ， ∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ，λ≠0， ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6， ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)∵点M (3，m )在此双曲线上， 由(1)知96－m26＝1，解得m ＝± 3.∴M (3，3)或者M (3，－3)， ∵F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴当M (3，3)时，MF 1→＝(－23－3，－3)，MF 2→＝(23－3，－3)， ∴MF 1→·MF 2→＝－12－63＋63＋9＋3＝0；当M (3，－3)时，MF 1→＝(－23－3，3)，MF 2→＝(23－3，3)，MF 1→·MF 2→＝－12－63＋63＋9＋3＝0.故MF 1→·MF 2→＝0.21．解：〔1〕∵四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D ⊥平面(píngmiàn)ABCD ，底面为边长为1的正方形，侧棱AA 1=2，∴以点D 为坐标原点O ，DA ，DC ，DA 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， D 〔0，0，0〕，A 〔1，0，0〕，B 1〔0，1，〕，C 〔0，1，0〕，，=〔0，1，〕，=〔0，1，0〕，设平面ADB 1的法向量为，那么，取z =1，得=〔0，﹣，1〕，设直线DC 与平面所ADB 1成角为θ， 那么sin θ=|cos ＜＞|==，∵θ∈[0，]，∴θ=，∴直线DC 与平面ADB 1所成角的大小为．〔2〕假设存在点P 〔a ，b ，c 〕，使得二面角A ﹣B 1C 1﹣P 的大小为30°， 设=，由A 1〔0，0，〕，得〔a ﹣1，b ，c 〕=λ〔﹣a ，﹣b ，〕，∴，解得，B〔0，1，〕，C1〔﹣1，1，〕，=〔﹣1，0，0〕，=〔，1﹣1，﹣〕，设平面(píngmiàn)的法向量为=〔x，y，z〕，那么，取z=1，得=〔0，﹣，1〕，由〔1〕知，平面AB1C1D的法向量为=〔0，﹣，1〕，∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，∴cos30°===．由λ＞0，解得λ=2，所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．22．解：〔Ⅰ〕设M〔x，y〕，P〔x0，y0〕，由=得x0=x，y0=y因为x02+y02=3，所以x2+3y2=3，即=1，其离心率e=．〔Ⅱ〕当AB与x轴垂直时，|AB|=．当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得〔3k2+1〕x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴k≠0，|AB|2=〔1+k2〕〔x2﹣x1〕2=3+≤4，当且仅当9k2=，即k=时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=．综上所述：|AB|max=2，此时(cǐ shí)△AOB面积取最大值=.内容总结。

专题01高二上期末真题精选（常考123题23类考点专练）用基底表示向量

空间向量共面空集中两个向量乘锐角（钝角）借助向量证明平行（垂直）关系借助向量求点到直线距离向量法求异面直线所成角向量法解决线面角问题向量法解决二面角问题向量法解决点到平面的距离问题直线的倾斜角和斜率求直线方程两条直线平行于垂直的判断直线中的距离问题

二元二次方程表示圆的条件求圆的方程直线与圆的位置关系

圆与圆的位置关系

圆锥曲线中的定义问题

圆锥曲线中上的点到定点的和差问题

焦点三角形问题

离心率问题

弦长问题（含焦点弦）

中点弦问题一、用基底表示向量（共3小题）1．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在三棱锥PABC中，

2,PMMCN



为BC的中点，设

,,ABaACbAPc



，则用,,abc表示MN为（）

A．1136abcB．

111

263abc





C．1126abcD．

111

323abc





2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在三棱柱111ABCABC中，,EF分别是1,BCCC的中点，

2AGGE



，则

FG（）

A．1121332ABACAAB．

1

121

332ABACAA



C．1211332ABACAAD．

1

121

332ABACAA



3．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体ABCD中，,,,EFGH分别是,,,ABBCCDDA上的点，且

1,

2

AEAHCFCGM

EBHDFBGD是EG和FH的交点，以,,ABACAD为基底表示AM，则AM．

二、空间向量共面（共3小题）1．（22-23高二上·辽宁丹东·期末）已知空间向量

高二数学上学期(xuéqī)期末复 习训练(一) (解三角形)
普宁华侨(huáqiáo)中学 林文城
1
第一页，共12页。
1
1.△ABC 的两边长分别为 2、3, 其夹角的余弦为 3 , 则其外
接圆的半径为（C ）
92 （A） 2
92
92
22
（B） 4 （C） 8 （D） 9
2
第二页，共12页。
2.两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间的相
3
2,
∵△ABC 为锐角三角形,∴A+B=120°, C=60°,
又∵a、b 是方程 x2－2 3 x+2=0 的两根，
∴a+b=2 3 ,a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6,
∴c= 6 ,
S
ABC
1 2
ab
sin
C
=
1 2
×2×
3
2=
3 2
.
10
第十页，共12页。
9.已知△ABC 的△ABC 的三边分别为 a、b、c 且
周长为 6， a 、b 、c 成等比数列.
求：(1)△ABC 的面积 S 的最大值； (2) BA BC 的取值范围.
11
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9. 解 : 依 题 意 得 a b c 6, b2 ac , 由 余 弦 定 理 得
4
第四页，共12页。
4.设 a、b、c 分别为 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边，
则 a2 b(b c) 是 A=2B 的( A )

高二第一学期(理科)数学期末复习专题训练(空间向量与立体几何)1、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图．其 中实点·代 表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标 系O －xyz 后，图中 最上层中间的钠原子所在位置的坐标是 ( )A ．(12，12，1)B ．(0,0,1)C ．(1，12，1)D ．(1，12，12)2、若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(－2,1,1)，a ，b 夹角的余弦值为16，则λ等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．23、若A 、B 两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB |的取值范围是( )A ．[0,5]B ．[1,5]C ．(1,5)D ．[1,25]4、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 24、已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的棱长等于( )A ．4B ．2 C. 3 D ．2 3 5、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0,2,1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是( ) A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°6、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63 7、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成的角为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．90°8、设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2，0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．89、点P (1,2,3)关于y 轴的对称点为P 1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，则|P 1P 2|＝____________. 10、已知x ，y ，z 满足(x －3)2＋(y －4)2＋z 2＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是__________ 11、若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x＝________.12、 已知G 是△ABC 的重心，O 是平面ABC 外的一点，若λOG →＝OA →＋OB →＋OC →，则λ＝________.13、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为__________．14、已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．15、已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是_______________ 16、在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30； (2)在xOy 平面内直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小．17.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →； (2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋ zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．18、如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．19、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF ＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED. 20、四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．(1)写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P－ABCD中，若E为P A的中点，求证：BE∥平面PCD.高二第一学期(理科)数学期末复习专题训练(空间向量与立体几何)参考答案1、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图．其中实点·代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标系O －xyz 后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是( )A ．(12，12，1)B ．(0,0,1)C ．(1，12，1)D ．(1，12，12)答案：A2、若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(－2,1,1)，a ，b 夹角的余弦值为16，则λ等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2解析：选A.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝λλ2＋5·6＝16，解得λ＝1.3、若A 、B 两点的坐标是A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB |的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5) D ．[1,25] 解析：选B. |AB |＝(3cos α－2cos θ)2＋(3sin α－2sin θ)2＋(1－1)2＝9＋4－12(cos αcos θ＋sin αsin θ)＝13－12cos (α－θ)∈[1,5]．∴|AB |∈[1,5]．4、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2解析：选C.如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°.AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.4、已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)，则正方体的棱长等于( )A ．4B ．2 C. 3 D ．2 3解析：选A.由于A (－1,2，－1)，B (3，－2,3)是不在同一个表面上的两个顶点，所以它们是对角线的两个端点，故对角线长度等于|AB |＝48＝43，若设正方体的棱长为a ，则有3a ＝43，故a ＝4.5、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0,2,1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°解析：选D.cos θ＝a ·b |a ||b |＝32，因此a 与b 的夹角为30°.从而可得斜面与平面的夹角为30°.6、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63 解析：选D.如图，连接BD 交AC 于O ，连接D 1O .由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62，∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 7、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．90° 解析：选D.建立坐标系如图所示，易得M (0,0，62)，A 1(0，3，0)，A (0，3，6)，B 1(1,0,0)，∴AB 1→＝(1，－3，－6)， A 1M →＝(0，－3，62)．∴AB 1→·A 1M →＝1×0＋3－62＝0，∴AB 1→⊥A 1M →.即AB 1⊥A 1M .8、设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2，0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．8解析：选A.P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB →(x 、y ∈R )，则(2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4)＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.9、点P (1,2,3)关于y 轴的对称点为P 1，P 关于坐标平面xOz 的对称点为P 2，则|P 1P 2|＝__. 解析：∵P 1(－1,2，－3)，P 2(1，－2,3)． ∴|P 1P 2|＝(－1－1)2＋(2＋2)2＋(－3－3)2＝214.答案：21410、已知x ，y ，z 满足(x －3)2＋(y －4)2＋z 2＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是__________ 解：由已知得点P(x ，y，z )在以M (3,4,0)为球心，2为半径的球面上，x 2＋y 2＋z 2表示原点O 与点P 的距离的平方，显然当O ，P ，M 共线且P 在O 与M 之间时，|OP |最小，此时|OP |＝|OM |－2＝32＋42－2＝5－ 2.∴|OP |2＝27－10 2.11、若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.解析：∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2.答案：212、 已知G 是△ABC 的重心，O 是平面ABC 外的一点，若λOG →＝OA →＋OB →＋OC →，则λ＝________.解析：如图，正方体中，OA →＋OB →＋OC →＝OD →＝3OG →，∴λ＝3. 答案：313、长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为__________．解析：建立坐标系如图，则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)，∴BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，∴cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→||AE →|＝3010.答案：301014、如图所示，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x 轴垂直于AB )，则C (0,0,0)，A (3，－1,0)，B 1(3，1,2)，D (32，－12，2)，则CD →＝(32，－12，2)， CB 1→＝(3，1,2)．设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CB 1→＝0，解得n ＝(－3，1,1)．又∵DA →＝(32，－12，－2)，∴sin θ＝|cos 〈DA →，n 〉|＝45.答案：4515、已知在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是_______________解析：选C.如图建立坐标系Dxyz ，则A 1(2,0,4)，A (2,0,0)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)，AD 1→＝(－2,0,4)，AB 1→＝(0,2,4)，AA 1→＝(0,0,4)，设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD 1→＝0，n ·AB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4z ＝0，2y ＋4z ＝0，解得x ＝2z 且y ＝－2z ，不妨设n ＝(2，－2,1)，设点A 1到平面AB 1D 1的距离为d ，则d ＝|AA 1→·n ||n |＝43，16、在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最小． 解：(1)设点P (x,0,0)，由题意，得|P 0P |＝(x －4)2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．(2)由已知，可设M (x,1－x,0)， 则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51.所以，当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M 的坐标为(1,0,0)．17.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．解：(1)∵AB →＋AD →＝AC →，∴A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－12AC →＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝ED →＋DO →＝23D 1D →＋12DB →＝23D 1D →＋12(DA →＋AB →)＝23A 1A →＋12DA →＋12AB →＝12AB →－12AD →－23AA 1→，∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.18、如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．解：记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.(1)|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×(12＋12＋12)＝6，∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6.(2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD →1|＝2，|AC →|＝3，BD 1→·AC →＝(b ＋c －a)·(a＋b)＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.19、如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值；(2)证明AF ⊥平面A 1ED . 解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，E (1，32，0)．(1)易得EF →＝(0，12，1)，A 1D →＝(0,2，－4)，于是cos 〈EF →，A 1D →〉＝EF →·A 1D →|EF →||A 1D →|＝－35.所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35.(2)证明：易知AF →＝(1,2,1)，EA 1→＝(－1，－32，4)，ED →＝(－1，12，0)，于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →＝0.因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED .20、四棱锥P－ABCD 的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．(1)写出四棱锥P －ABCD 中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P －ABCD 中，若E 为P A 的中点，求证：BE ∥平面PCD .解：(1)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面P AB ，BC ⊥平面P AB ，AB ⊥平面P AD ，CD ⊥平面P AC .(2)依题意AB ，AD ，AP 两两垂直，分别以直线AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．则P (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,4,0)． ∵E 是P A 的中点，∴点E 的坐标为(0,0,1)， BE →＝(－2,0,1)，PC →＝(2,2，－2)，PD →＝(0,4，－2)． 设n 1＝(x ，y ，z )是平面PCD 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥PC →，n 1⊥PD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －2z ＝0，4y －2z ＝0，取y ＝1，得n 1＝(1,1,2)为平面PCD 的一个法向量．∵BE →·n 1＝－2×1＋0×1＋1×2＝0，∴BE →⊥n 1， ∴BE →∥平面PCD .又BE ⊄平面PCD ，∴BE ∥平面PCD .。