数学奥林匹克高中训练题
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ｍ ｎ ＋ｐ ＋ｑ
≥ 丁 一 ＋ 一 广 ＋ 一 ＋ 一 ≥ ■ 一 筹 Ｙ ‘
≥
１ ６
≥
１ ６
４
故（ ｍ， ｎ ， Ｐ ， ｑ ）
：
（ ９ ， ４， ２ ， ２ ） ， （ ６ ， ５ ， ２ ， ２ ） ， （ ４， ３ ， ３ ， ２ ） ．
； ／ ６ 时 上 式 当且仅当 ｍ＝ ｎ ｐ ｑ ４ 、 ／ ６
ｆ １ 与 椭 圆交 于 Ａ、 Ｂ两 点 ， Ｚ ：与椭 圆交 于 Ｃ、 Ｄ 两点． 若ｔ ： Ｔ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 满足 Ａ Ｃ上 Ａ Ｂ， 且该 椭 圆 的
ｒ ｒ
在 ∈ 【 ０ ， 詈 ］ 有 最 大 值 ２ ． 求 实 数 ｍ 的 值
三、 （ ５ ０分） 设所有满足 下列 条件 的正整数 个数为 Ⅳ：
７ ． 已知两条斜率为 ｌ 的直线 ｆ 。 、 ｚ ： 分别
过 椭 圆ｘ ＋ ＝１ （ ０＞ｂ＞ ０ ） 的 两个 焦 点 ， 且
ａ Ｄ
外心 ． 证明： Ｏ ＭＥ＝ ９ ０ 。 ．
二、 （ ４ ０分 ） 已知 函数
） ＝ ３ （ ｓ ｉ ｎ ＋ｃ ｏ ｓ ） ＋ ｅ（ ｒ ｓ ｉ ｎ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ ）
，
（ ２ ） 注意到 ，
等号成 立．
＝
（ ・ 一 ） （ 一 ） （ ， 一 古 ） （ 一 寺 ）
故（ ｍ＋ ｎ ＋ ｐ ＋ ｑ ＝
（ 陈 迁
．
侯 国玺 湖 北 省 浠 水县 余 堰
中学 ． ４ ３ ８ ２ ０ ０ ）
２ ０ １ ３年第 ２期
４１
中 等 数 学
熬蟹
中 图分 类 号 ： Ｇ ４ ２ ４ ． ７ ９
蠡
文献标识码 ： Ａ
拣题（ １ ６ ２ ）
４ ． 设 ０、 ｂ∈ Ｎ ， 且
ห้องสมุดไป่ตู้
文章 编 号 ：１ ０ ０ ５— ６ ４ ｌ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２—０ ０ ４ ０— ０ ７
第 一 试
一
ａ＋ ｂ ， ／ ３ － ：（ ２十 ） ．
离心率为 ｌ 二 （ “ 、 、 ∈ Ｎ＋ ， 且 、 为
最 简根 式 ） ， 则 Ｍ ＋ ６ ｗ＝ ８ ． 已知 （ ｍ、 ｎ∈ Ｎ＋ ， （ ｍ， ｎ ）：１ ） 的小
（ １ ） 小于或等于 ２ ０ １ ２ ； （ ２ ） － － 进制表示中 １ 的个数比０的个数至 少多 ２． 求 Ⅳ的各位数字之和．
水平 直线 和垂 直直 线 共 ２ ５条 ， 将其染为黑 、
时， ＿ 厂 （ ） 是严格单调递增函数． 则满足
红两种颜色之一． 再将黑色水平直线 与黑色
垂直 直线 的交 点染 为 黑 色 ； 红 色 水 平 直线 与 红 色垂直 直线 的交点 染 为 红 色 ； 黑 色 水平 直 线 与红色 垂直 直 线 的 交点 染 为 黄 色 ； 红 色水 平 直线 与黑 色垂 直 直 线 的交 点 染 为绿 色． 若 黑、 红点个 数 之 比为 ２ ７ ： ２ ， 则黄 、 绿 点个 数 之
则ｎ ６的最末 ・ 位非 数 是— — ．
、
填空 题 （ 每小 题 ８分 ， 共６ ４分 ）
１ ． 在平面直角坐标系中有八个点 ：
Ａ （ ｉ ， ０ ） ， Ｂ （ ０， ） （ ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， ４ ） ，
５ ． 设红 、 黄、 蓝 种 颜 色 的 小球 各 有 ｌ ０ 个． 现将 其全部 放 人 甲 、 乙两 个 袋 子 中 ， 要求 每 只袋子 里ｊ 种颜 色的小 球都有 ， 且甲、 乙两 只袋子 中 种 颜 色 的 球数 的平 方 和 相 等． 共 有— — 种放 法．
比为 即 ．
１
一
ｆ （ ｘ ） ＜ ）
的 的取 值范 围是— — ． ３ ． 已知正 方体 的三个 顶点 坐标 为
Ｐ（ ４ ， ７， ４ ） ， Ｑ（ ７， １ １ ， ４ ） ， Ｒ（ １ １ ， ８ ， ９ ） ．
则该正方体的中心坐标为— — ．
ｊ （ ， 孔一 ３ ） （ ｎ一３ ）＝ ６×１ ＝ ３× ２ （ ｍ， ｎ ）＝（ ９ ， ４ ） ， （ ６， ５ ） ．
一 １ 十１ ＋
一
１≤ ４一 ４
＋ 一
．
当 Ｐ＝３时 ， 有
ａ ｎ＝２ （ ｍ 一１ ） （ ／ ｔ ＇ 一１ ） （ ｍ一２ ） （ ｎ一 ２ ）：２×１
（ ｍ， ｎ ）＝（ ４， ３ ） ．
又 （ ｍ ＋ ｎ ＋ ｐ ＋ ｇ ） （ ｍ 一 十 ＋ 古 ＋ ） ≥ １ ６
四、 （ ５ ｏ分 ） 设 凡∈ Ｎ＋ ， 凡 ） 为所有满 足 下列条件 的整 数 数 列 ｛ ａ Ｉ ｋ：０ ， １ ， …， ｎ ｝ 的个
数：
（ １ ） ａ ０ ＝ ０ ， ａ ＝ ２ ｎ ， 且 １ ≤０ ＋ ｌ — ａ ≤３ （ ｋ ＝ ０ ， １ ， …， ｎ—１ ） ；
数部分中含一段数字２ ０ １ ２ ， 其 中， ｎ为满足条
件 的 最 小 数 ． 则 ｆ ４１ ： ——（ Ｉ ｘ ］ 表 示 不 超
ｎ
过实 数 的最 大整数 ） ． 二、 解 答题 （ 共５ ６分 ）
９ ． （ １ ６ 分） 试求所有的正整数 ｎ 及实数
（ ∈ 【 １ ＿ 詈 ， 詈 】 ） ，
将 其分 成两组 ， 每组 四个 点 ， 分 别构 成 凸四边
形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ、 凸四边形 ／ ４ Ｇ Ｄ ． 则
Ｓ阴 边形Ａ ｃ Ｄ＞５四 边形＾ ， ， ｃ ， Ｄ ，
的概 率 为— — ． ２ ． 设ｆ （ ） 是 连 续 的偶 函数 ， 且 当 ＞０
６ ． 在平面直角坐标 系中， 有互不重合 的
使得 ｎ ｔ ａ ｎ ＋ 与ｃ ｏ ｔ ＋ 均为有理数． １ ０ ． （ ２ Ｏ 分） 掷骰子（ 为均匀 的正方体 ， 六
个 面 分别标 有 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４、 ５ 、 ６ ） 游 戏 规 则如 下 ：
≥ 丁 一 ＋ 一 广 ＋ 一 ＋ 一 ≥ ■ 一 筹 Ｙ ‘
≥
１ ６
≥
１ ６
４
故（ ｍ， ｎ ， Ｐ ， ｑ ）
：
（ ９ ， ４， ２ ， ２ ） ， （ ６ ， ５ ， ２ ， ２ ） ， （ ４， ３ ， ３ ， ２ ） ．
； ／ ６ 时 上 式 当且仅当 ｍ＝ ｎ ｐ ｑ ４ 、 ／ ６
ｆ １ 与 椭 圆交 于 Ａ、 Ｂ两 点 ， Ｚ ：与椭 圆交 于 Ｃ、 Ｄ 两点． 若ｔ ： Ｔ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 满足 Ａ Ｃ上 Ａ Ｂ， 且该 椭 圆 的
ｒ ｒ
在 ∈ 【 ０ ， 詈 ］ 有 最 大 值 ２ ． 求 实 数 ｍ 的 值
三、 （ ５ ０分） 设所有满足 下列 条件 的正整数 个数为 Ⅳ：
７ ． 已知两条斜率为 ｌ 的直线 ｆ 。 、 ｚ ： 分别
过 椭 圆ｘ ＋ ＝１ （ ０＞ｂ＞ ０ ） 的 两个 焦 点 ， 且
ａ Ｄ
外心 ． 证明： Ｏ ＭＥ＝ ９ ０ 。 ．
二、 （ ４ ０分 ） 已知 函数
） ＝ ３ （ ｓ ｉ ｎ ＋ｃ ｏ ｓ ） ＋ ｅ（ ｒ ｓ ｉ ｎ ＋ Ｃ Ｏ Ｓ ）
，
（ ２ ） 注意到 ，
等号成 立．
＝
（ ・ 一 ） （ 一 ） （ ， 一 古 ） （ 一 寺 ）
故（ ｍ＋ ｎ ＋ ｐ ＋ ｑ ＝
（ 陈 迁
．
侯 国玺 湖 北 省 浠 水县 余 堰
中学 ． ４ ３ ８ ２ ０ ０ ）
２ ０ １ ３年第 ２期
４１
中 等 数 学
熬蟹
中 图分 类 号 ： Ｇ ４ ２ ４ ． ７ ９
蠡
文献标识码 ： Ａ
拣题（ １ ６ ２ ）
４ ． 设 ０、 ｂ∈ Ｎ ， 且
ห้องสมุดไป่ตู้
文章 编 号 ：１ ０ ０ ５— ６ ４ ｌ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２—０ ０ ４ ０— ０ ７
第 一 试
一
ａ＋ ｂ ， ／ ３ － ：（ ２十 ） ．
离心率为 ｌ 二 （ “ 、 、 ∈ Ｎ＋ ， 且 、 为
最 简根 式 ） ， 则 Ｍ ＋ ６ ｗ＝ ８ ． 已知 （ ｍ、 ｎ∈ Ｎ＋ ， （ ｍ， ｎ ）：１ ） 的小
（ １ ） 小于或等于 ２ ０ １ ２ ； （ ２ ） － － 进制表示中 １ 的个数比０的个数至 少多 ２． 求 Ⅳ的各位数字之和．
水平 直线 和垂 直直 线 共 ２ ５条 ， 将其染为黑 、
时， ＿ 厂 （ ） 是严格单调递增函数． 则满足
红两种颜色之一． 再将黑色水平直线 与黑色
垂直 直线 的交 点染 为 黑 色 ； 红 色 水 平 直线 与 红 色垂直 直线 的交点 染 为 红 色 ； 黑 色 水平 直 线 与红色 垂直 直 线 的 交点 染 为 黄 色 ； 红 色水 平 直线 与黑 色垂 直 直 线 的交 点 染 为绿 色． 若 黑、 红点个 数 之 比为 ２ ７ ： ２ ， 则黄 、 绿 点个 数 之
则ｎ ６的最末 ・ 位非 数 是— — ．
、
填空 题 （ 每小 题 ８分 ， 共６ ４分 ）
１ ． 在平面直角坐标系中有八个点 ：
Ａ （ ｉ ， ０ ） ， Ｂ （ ０， ） （ ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ， ４ ） ，
５ ． 设红 、 黄、 蓝 种 颜 色 的 小球 各 有 ｌ ０ 个． 现将 其全部 放 人 甲 、 乙两 个 袋 子 中 ， 要求 每 只袋子 里ｊ 种颜 色的小 球都有 ， 且甲、 乙两 只袋子 中 种 颜 色 的 球数 的平 方 和 相 等． 共 有— — 种放 法．
比为 即 ．
１
一
ｆ （ ｘ ） ＜ ）
的 的取 值范 围是— — ． ３ ． 已知正 方体 的三个 顶点 坐标 为
Ｐ（ ４ ， ７， ４ ） ， Ｑ（ ７， １ １ ， ４ ） ， Ｒ（ １ １ ， ８ ， ９ ） ．
则该正方体的中心坐标为— — ．
ｊ （ ， 孔一 ３ ） （ ｎ一３ ）＝ ６×１ ＝ ３× ２ （ ｍ， ｎ ）＝（ ９ ， ４ ） ， （ ６， ５ ） ．
一 １ 十１ ＋
一
１≤ ４一 ４
＋ 一
．
当 Ｐ＝３时 ， 有
ａ ｎ＝２ （ ｍ 一１ ） （ ／ ｔ ＇ 一１ ） （ ｍ一２ ） （ ｎ一 ２ ）：２×１
（ ｍ， ｎ ）＝（ ４， ３ ） ．
又 （ ｍ ＋ ｎ ＋ ｐ ＋ ｇ ） （ ｍ 一 十 ＋ 古 ＋ ） ≥ １ ６
四、 （ ５ ｏ分 ） 设 凡∈ Ｎ＋ ， 凡 ） 为所有满 足 下列条件 的整 数 数 列 ｛ ａ Ｉ ｋ：０ ， １ ， …， ｎ ｝ 的个
数：
（ １ ） ａ ０ ＝ ０ ， ａ ＝ ２ ｎ ， 且 １ ≤０ ＋ ｌ — ａ ≤３ （ ｋ ＝ ０ ， １ ， …， ｎ—１ ） ；
数部分中含一段数字２ ０ １ ２ ， 其 中， ｎ为满足条
件 的 最 小 数 ． 则 ｆ ４１ ： ——（ Ｉ ｘ ］ 表 示 不 超
ｎ
过实 数 的最 大整数 ） ． 二、 解 答题 （ 共５ ６分 ）
９ ． （ １ ６ 分） 试求所有的正整数 ｎ 及实数
（ ∈ 【 １ ＿ 詈 ， 詈 】 ） ，
将 其分 成两组 ， 每组 四个 点 ， 分 别构 成 凸四边
形Ａ Ｂ Ｃ Ｄ、 凸四边形 ／ ４ Ｇ Ｄ ． 则
Ｓ阴 边形Ａ ｃ Ｄ＞５四 边形＾ ， ， ｃ ， Ｄ ，
的概 率 为— — ． ２ ． 设ｆ （ ） 是 连 续 的偶 函数 ， 且 当 ＞０
６ ． 在平面直角坐标 系中， 有互不重合 的
使得 ｎ ｔ ａ ｎ ＋ 与ｃ ｏ ｔ ＋ 均为有理数． １ ０ ． （ ２ Ｏ 分） 掷骰子（ 为均匀 的正方体 ， 六
个 面 分别标 有 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４、 ５ 、 ６ ） 游 戏 规 则如 下 ：
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