数阵图与幻方

一、 幻方幻方是数阵图的一种特例。

基本的n 阶幻方由n 行、n 列共2n 个数组成，要求每行、每列及每条对角线各数之和相等．此外，幻方通常还有很多其它美妙的性质（如补充的第5题），有兴趣的同学可以查阅相关资料．幻方还有一些变形，如要求每行、每列及每条对角线乘积相同等等，基本思路与普通幻方类似．二、 三阶幻方的构造与性质（1）将1~9填入的“九子排列法”一定要掌握．若要填的9个数与1~9有对应关系，那么只需将1-9的填法进行相应转化即可．（2）补全幻方：若已知a b c a d e ++=++，即使a 未知，但利用等式性质可推出b c d e +=+，由此可求出某些字母的值．（3）9个数总和为幻和的3倍，幻和为中心格的3倍，即中心所填数为9个数的平均数． （4）经过中心格的三个数构成等差数列． （5）2b c a +=．第8讲幻方与数阵图扩展知识点【例1】 请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等．【例2】 下图是有名的“六角幻方”：将1~19这19个自然数填入图中的○中，使得每一条直线上○内的各数之和相等．美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了52年的时间才找到了解答．现在已经填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”．【例3】 图中有6个正方形，请你将1~9这9个数字填入图中9和○内，使得每个正方形的4个顶点上的数字之和都相等．超越篇题目721 1513 812111917【例4】 在图的7个○内填入一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1，并且相邻两个○内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个○之间标出的数字．【例5】 将1~9这9个数字分别填入图中的9个○内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的○内所填数之和都相等，那么这个和是多少？【例6】 将0~9这10个数分别填入图中的各个○内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的填法．12345 67【例7】在图中有11个空的○，要求把1~13这13个数填入各○内（其中3，4已经填好），使得上面2个○内数的和，等于与它相连的下面的○内的数（例如，虚线框中上面2个○中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数），并且最下面空着的4个○内的数之和等于43．344【例8】图中共有10个○，6条直线．请问：（1）能否将1~10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（2）能否将0~9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？（3）请从1~11中去掉一个数后，将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等．【习题1】将1~10这十个自然数填入下图五角星的10个圆圈内，使得外面五个三角形中的数等于其所在三角形三个顶点内数的和．【习题2】在图中的五个圆圈内各填入一个正整数（可以填相同的数），使得图中八个三角形的顶点数字之和互不相同．满足这个条件的正整数有很多组，求使得所填五个数之和最小的一组．【习题3】对于下图的三阶幻方，证明：2b c a +=．补充题目【习题4】（三阶幻方的其它性质）经典三阶幻方如下图所示．（1）计算2221492a =++与2222816a =++，并比较1a 与2a 的大小；计算2221438b =++与2222276b =++，并比较1b 与2b 的大小；计算2222357a =++与2222951b =++，并比较11a b +、22a b +、33a b +大小． （2）幻方共9小块，其中至少由4块组成的长方形有9个，请将每个长方形四个角上的数加起来，得到9个和，分别是哪些？请从小到大排列． （例如，其中一个和是495321+++=）（3）计算2221492357816A =++与2222294753618A =++，并比较1A 与2A 的大小；计算2221438951276B =++与2222834159672B =++，并比较1B 与2B 的大小； （说明：本题无需任何推理，仅仅是想让大家对三阶幻方的性质有更多了解）4923 5 7 8 16。

思维导引-幻方与数阵教案第一章：幻方的概念与性质1.1 幻方的定义解释幻方的概念，让学生理解幻方是一种特殊的方阵，其每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。

1.2 幻方的性质探讨幻方的性质，如奇数阶幻方的存在性、最小正整数幻方的构造方法等。

引导学生通过数学归纳法证明幻方的性质。

第二章：幻方的构造方法2.1 经典幻方的构造介绍经典幻方的构造方法，如Lehmer算法，让学生理解并掌握如何构造最小正整数幻方。

2.2 非经典幻方的构造探讨非经典幻方的构造方法，如带重复数字的幻方、带特定数字序列的幻方等。

引导学生通过实例分析和归纳总结构造方法。

第三章：数阵与幻方的关系3.1 数阵的概念解释数阵的概念，让学生理解数阵是一种矩阵，其元素可以是数字或符号。

3.2 数阵与幻方的联系探讨数阵与幻方的联系，如数阵可以看作是幻方的一种扩展形式，幻方可以看作是特殊的三维数阵等。

引导学生通过实例分析和转化理解数阵与幻方的关系。

第四章：数阵的运算与性质4.1 数阵的运算介绍数阵的运算规则，如加法、减法、乘法、除法等，让学生掌握数阵的运算方法。

4.2 数阵的性质探讨数阵的性质，如对角线对称性、行列式性质等，让学生理解并应用数阵的性质解决问题。

第五章：数阵的应用5.1 数阵在数学问题中的应用介绍数阵在解决数学问题中的应用，如数阵的行列式在解线性方程组中的应用等。

5.2 数阵在其他领域中的应用探讨数阵在其他领域中的应用，如数阵在图像处理、数据分析等领域的应用。

引导学生通过实例分析和项目实践，体验数阵在不同领域的应用价值。

第六章：幻方的进阶构造6.1 多元幻方的构造介绍多元幻方的概念，即多维空间中的幻方，例如二维幻方、三维幻方等。

引导学生理解多元幻方的构造原理，并掌握基本的构造方法。

6.2 复合幻方的构造探讨复合幻方的构造，即通过组合多个基本幻方来构造新的幻方。

分析不同类型幻方的组合方式，以及如何保持幻方的性质。

第七章：数阵的变换与操作7.1 数阵的旋转与反射讲解数阵的旋转和反射操作，让学生了解这些变换对数阵的影响。

第6讲幻方和数阵图传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。

幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。

到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。

明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。

将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。

幻方是特殊的数阵图。

大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。

人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。

数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。

幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。

这个相等的和叫“幻和”。

要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。

这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即知识梳理它们构成了差相等的数列，是等差数列。

因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。

数阵图【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。

请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。

【解析】不存在，设所填的数分别是a，b，c，如图所示。

假设 a+b=奇数． a+c=奇数，b+c=奇数，左边=2(a+b+c)，是偶数，右边=三个奇数相加，是奇数，偶效≠奇数。

3、角块等于对角两棱块之和的一半
练习八
在下图中填入一些数，使此幻方的幻和为24.
幻方
练习八
在下图中填入一些数，使此幻方的幻和为60.
幻方
例题九
请在空格中填入适当的数，横线竖线对角线的和都相等．
幻方
练习九
请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。
幻方
练习九
请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方．
幻方
例题十
请在空格中填入适当的数，组成一个幻和为90的三阶幻方．
幻方
练习十
下图是一个三阶幻方，A处数字应该是多少？
A
A 57
B 108
C 171
D 190
幻方
练习十
请在空格中填入适当的数，组成一个幻和为30的三阶幻方．
4 20
幻方
例题十一
数独
请将图中所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都
练习六
异形数阵图
把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个椭圆上的四个数之和等于13.
例题七
幻方
在下图的空格中填上1~9，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都相等.
例题七
杨辉口诀法（三阶）—— 九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出
幻方
练习七
在下面幻方中中填上2~10。
幻方
练习七
在下面幻方中填上1、3、5、7、9、11、13、15、17。
有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列
和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次。
请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么?
练习十一
数独