线性代数考试练习题带答案大全
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1 线性代数考试练习题带答案
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1.设A为mn矩阵，齐次线性方程组0AX仅有零解的充分必要条件是A的（ A）．
(A) 列向量组线性无关， （B） 列向量组线性相关，
（C）行向量组线性无关， （D） 行向量组线性相关．
2．向量,,线性无关，而,,线性相关，则（ C ）。
(A) 必可由,,线性表出， （B）必不可由,,线性表出，
（C）必可由,,线性表出， （D）必不可由,,线性表出.
3. 二次型222123123(,,)(1)1fxxxxxx，当满足（ C ）时，是正定二次型．
(A) 1； （B）0； （C）1； （D）1．
4．初等矩阵（A）；
(A) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B） 所对应的行列式的值都等于1；
（C） 相乘仍为初等矩阵； （D） 相加仍为初等矩阵
5．已知12,,,n线性无关，则（C ）
A. 12231,,,nn必线性无关；
B. 若n为奇数，则必有122311,,,,nnn线性相关；
C. 若n为偶数，则必有122311,,,,nnn线性相关；
D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．实二次型232221213214,,xxxxtxxxxf秩为2，则t
7．设矩阵020003400A，则1A
8．设A是n阶方阵，*A是A的伴随矩阵，已知5A，则*AA的特征值为 。
2 9．行列式111213212223313233ababababababababab=______ ____;
10. 设A是4×3矩阵，()2RA，若102020003B，则RAB=_____________；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．求行列式111213212223313233abababDabababababab的值。
12．设矩阵111111111A，矩阵X满足*12AXAX，求X。
13． 求线性方程组13413212302432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx的通解。
14．已知12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2TTTT，求出它的秩及其一个最大无关组。
15.设A为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,123,,依次是属于特征值123,,,的特征向量，令123, 若3AA，求A的特征值并计算行列式23AE.
四、解答题（10分）
16. 已知100032023A，求10A
五、证明题（每小题5分，共10分）
17.设是非齐次线性方程组AXb的一个特解，12,,,r为对应的齐次线性方程
3 组0AX的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r线性无关。
18. 已知A与AE都是 n阶正定矩阵，判定1EA是否为正定矩阵，说明理由.
线性代数期末试卷(本科A)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,AB为n阶矩阵，下列运算正确的是（ ）。
A. ();kkkABAB B. ;AA
C. 22()();ABABAB D. 若A可逆，0k，则111()kAkA；
2．下列不是向量组12,,,s线性无关的必要条件的是（ ）。
A．12,,,s都不是零向量;
B. 12,,,s中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s中任意两个向量都不成比例;
D. 12,,,s中任一部分组线性无关;
3. 设A为mn矩阵，齐次线性方程组0AX仅有零解的充分必要条件是A的（ ）。
A．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关；
C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；
4． 如果（ ），则矩阵A与矩阵B相似。
A. AB； B. rArB；
C. A与B有相同的特征多项式；
D. n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同；
5．二次型222123123(,,)(1)1fxxxxxx，当满足（ ）时，是正定二次型。
A. 1； B. 0； C. 1； D. 1。
4 二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设300140003A，则12AE＝ ；
7．设(,1,2)ijAij 为行列式2131D中元素ija的代数余子式，则11122122AAAA ；
8．100201100010140001201103010= ；
9．已知向量组123,,线性无关，则向量组122313,,的秩为 ；
10. 设A为n阶方阵， AE， 且3RAERAEn， 则A的一个特征值
；
三、计算题（每小题10分，共50分）
11．设111122220+aaAannnna，求A。
12．设三阶方阵A，B满足方程2ABABE，试求矩阵B以及行列式B，其中102030201A。
13．已知111011001A，且满足2AABE，其中E为单位矩阵，求矩阵B。
5 14．取何值时，线性方程组1231231232124551xxxxxxxxx无解，有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时，求通解。
15. 设12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)，求该向量组的秩和一个极大无关组。
四、解答题（10分）
16．已知三阶方阵A的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1，2，3。其中：11,1,1T，21,2,4T，31,3,9T，1,1,3T。
（1）将向量用1，2，3线性表示；（2）求nA，n为自然数。
五、证明题（每小题5分，共10分）
17．设A是n阶方阵，且RARAEn，AE；证明：0Ax有非零解。
18． 已知向量组(I) 123,,的秩为3，向量组(II) 1234,,,的秩为3，向量组(III)
1235,,,的秩为4，证明向量组12354,,,的秩为4。
线性代数期末试卷(本科A)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ ）。
(A）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;
（B）行列式中有两行（列）元素完全相同;
（C）行列式中有两行（列）元素成比例;
（D）行列式中等于零的个数大于2nn个.
2．下列矩阵中（ ）不满足2AE。
(A）1211; （B）1211; （C）1211; （D）1121.
3. 设,AB为同阶可逆方阵,则( )。
6 (A)ABBA； (B) 存在可逆矩阵1,PPAPB使；
(C) 存在可逆矩阵,TCCACB使； (D) 存在可逆矩阵,,PQPAQB使.
4．向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（ ）
（A）错误!未找到引用源。均不为零向量；
（B）错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；
（C）错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；
（D）错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。
5．零为方阵A的特征值是A不可逆的（ ）。
（A）充分条件； （B）充要条件; （C）必要条件; （D）无关条件;
二、填空题（每小题3分，共15分）
6．设101020101A，则22AA= ；
7．已知,,,,,,31211321设,AT则A ；
8．设A是三阶方阵，且1A，则*12AA ；
9．已知向量组12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,则该向量组的秩为 ;
10. 已知111242335A，00020002B，且A于B相似，则 。
三、计算题（每小题10分，共50分）
7 11．12312111111111111(0)1111nnnaaDaaaaa
12．12．已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组1231231232202030xxxxxxxxx 的解.
①求的值；②证明0B.
13．设3阶矩阵X满足等式XBAX2,
其中311110012,102,004202AB 求矩阵X。
14．求向量组123411343354,,,,2232334253101 的秩及最大无关组。
15. 设212312331001(,,)(,,)300430xfxxxxxxxx
1.求二次型123(,,)fxxx所对应的矩阵A； 2. 求A的特征值和对应的特征向量。
四、解答题（10分）
16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),TTTaa
3(1,2,2)Tbab， 试讨论ba,为何值时
（1）不能用321,,线性表示；
（2）可由321,,唯一地表示，并求出表示式；
