四阶幻方的一个构造方法

第３３卷第１期　２０１５年０１月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．１　Ｊａｎ．　２０１５　文章编号：１００８—１４０２（２０１５）０１－０１４５—０２　四阶幻方的一个构造方法①　智婕　，李旭东２　（１．兰州商学院信息工程学院。甘肃兰州７３００００；２．兰州城市学院数学学院，甘肃兰州７３００７０）　摘要：　幻方是一个古老而有趣的数学问题，本文将幻方表示成矩阵的形式，利用定义矩阵上　的运算，给出了四阶幻方的一个简便的构造方法，并举例说明该方法的便捷之处．　关键词：　四阶幻方；构造；方法　中图分类号：Ｏ１１２　文献标识码：Ａ　０　引　言　幻方，又称纵横图，在ｎ×／／，的方格里既不重复　又无遗漏地添上１，２，３，…，ｎ　这ｎ　个连续自然数，　每数占一格，使每行、每列、每条对角线上的　个数　的和都相等，这样的数表称为／７，阶幻方．著名的九　宫图即三阶幻方．幻方因其趣味性和益智性，引起　了古往今来许多人的迷恋．我国对幻方的研究可以　追溯到公元前四世纪，而宋代杨辉、明朝程大位、清　朝张潮、保其寿等都做了深入的研究，幻方是我国　丰富的文化遗产之一．国外著名科学家欧拉、富兰　克林等也都喜欢研究幻方．近代的科学研究发现，　幻方同现代数学群论、组合分析等有关．随着电子　计算机技术的迅速发展，幻方已在程序设计、图论、　人工智能、博弈论、组合分析、实验设计、工艺美术　等方面得到了新的应用．　幻方在数学王国里扮演着一个神秘的角色，从　小学生的智力测验题到中学生的课外思考题，无处　不有幻方的谜影．至今日幻方仍然是一个古老有趣　的问题．本文将给出四阶幻方的一个简便的构造方　法．为讨论方便，以下将幻方表示成矩阵的形式．　１　主要结果　定理　任取数码１，２，３，４的一个４级排列放　Ａ。Ｂ＝　Ｃ。。　ｂ　．　ｄ—　ａ．．　＋ａ　＋６　＋Ｃ　＋ｄ　在第４行，通过＋２置换得第１行，取第１行的倒排　列放在第２行、第４行的倒排列放在第３行，这样便　得到一个４阶方阵Ａ＝（ａ　）　，将Ａ旋转９Ｏ度或一　９０度得到方阵Ｂ＝（ｂ　）　，做方阵Ａ。Ｂ＝（戈ｄ）　，其　中　ｉｆ＝４（ａ　一１）＋ｂｉｆ，ｉ√＝ｌ，２，３，４，贝４Ａ。Ｂ就是　一个幻和为３４的４阶幻方，同理Ｂ￣Ａ也是幻和为３４　的４阶幻方．　２　定理的证明　设ａ，ｂ，ｃ，ｄ是１，２，３，４的任意一个４级排列，　将Ａ旋转９０度得到方阵记为　，将Ａ旋转一９０度得　到方阵记为Ｄ，则需验证Ａ。Ｂ，Ｂ￣Ａ，　ｏＤ，Ｄ￣Ａ均为　幻和是３４的４阶幻方．事实上，由Ａ，　，Ｄ的构造过　程知，　Ａ＝　

①收稿日期：２０１４—１２—１６　基金项目：甘肃省教育厅高等学校科研项目（２０１４Ａ一０６９）．　作者简介：智婕（１９７７一），女，河南偃师人，兰州商学院副教授，硕士　ｃ　ｄ　ｂ　ａ　ｄ　ｃ　ａ　ｂ　Ｄ＝　于是，　口　ｂ　ｄ　ｃ　ｂ　ａ　ｃ　ｄ　，　Ｂ＝　ｂ　ｄ　ａ　ｄ　ａ　ｄ　ｂ　ｃ　ｄ　ａ　ｃ　ｂ　ｃ　ｂ　ｄ　ａ　ａ　ｄ　ｂ　ｃ　ｃ　ｂ　ｄ　口　ｂ　ｃ　ａ　ｄ　ｄ　ａ　

ｃ　ｂ　１４６　Ｂ　＝　佳木斯大学学报（自然科学版）　８—１）　６—１）　ｃ一１）　ｄ一１）　＋ｃ　４（ｄ一１）＋ｄ　＋ｂ　４（ｃ—Ｉ）＋口　＋ｄ　４（ｂ一１）＋ｃ　＋口４（０—１）＋ｂ　＋ｂ　４（ｄ一１）＋ｃ　＋口４（口一１）＋ｄ　＋ｄ　４（ｃ—Ｉ）＋ａ　＋ｃ　４（６—１）＋ｂ　＋ｃ　４（Ｃ一１）＋ｄ　＋６　４（ｄ一１）＋口　＋ｄ　４（口一１）＋ｃ　＋口４（ｂ一１）＋ｂ　对这四个矩阵，容易验证，每行、每列以及每　条长对角线上４个数的和均为　４（口＋ｂ＋ｃ＋ｄ一４）＋口＋ｂ＋ｃ＋ｄ　＝５（口＋ｂ＋ｃ＋ｄ）一１６＝５　Ｘ　１０—１６＝３４　即Ａ。　，　，Ａ。Ｄ，Ｄ￣Ａ都是幻和为３４的４阶幻　方．　注：对每一个４级排列，都可得到４个４阶幻　方，因此运用以上方法对２４个４级排列总共可得　２４×４＝９６个４阶幻方．　３　举　例　］　已知幻方　ｒ，４　３　２　１、ｌ　Ａ：ｌ２　３　４　ｌ　Ｉ　３　４　１　２　ｌ　２　１　２　３ｊ　将Ａ旋转９０度得到方阵记为　，将Ａ旋转一９０　度得到方阵记为Ｄ，则　

Ａ　Ｂ＝　Ａ　Ｄ＝　４（ｂ一１）＋口　４（ａ一１）＋ｄ　４（ｄ一１）＋６　４（ｃ一１）＋ｃ　４（口一１）＋口　４（ｄ一１）＋６　４（ｂ一１）－Ｉ－ｃ　４（ｃ一１）＋ｄ　４（口一１）＋口　４（ｂ一１）＋ｄ　４（ｃ一１）＋ｂ　４（ｄ一１）＋ｃ　４（ｃ一１）　４（ｄ一１）　４（　一１）　４（ｂ一１）　４（ｂ一１）　４（ｃ一１）　４（ａ一１）　４（ｄ一１）　４（ｄ一１）　４（ｃ一１）　４（ｂ一１）　４（ｏ一１）　２０１５血　

３　４Ｊ　

Ａ　Ｂ＝　Ａ。Ｄ＝　７、　ｌ，　Ａ：　２　ｌＩ　９　又是４个幻和为３４的４阶幻方　睫　参考文献：　［１］吴鹤龄．幻方及其他［Ｍ］．第２版．北京：科学出版社，２００４：　１４９—１５０．　［２］唐编著．吴振奎、江常风审订．幻方与数阵趣谈［Ｍ］．北京：科　学普及出版社，１９８５，６．　（下转１４８页）　、，，●●，●●●－、＼　６　Ｃ　口ｄ　＋　＋　＋　＋　＼　●●●●●●●●／　Ｃ　６　０　＋　＋　＋　＋　、，、，、　、Ｊ　ｌ　ｌ　ｌ　１　一　一　一　一　６　ｄ　口　／Ｌ／　／　，　４　４　４　４　／，，　。。．．．。。．．．．．．。。．．＿一／　＝　Ｄ　Ａ　

、、●●●●●●●－＾＼　６　Ｃ　０　ｄ　＋　＋　＋　＋　））））　ｌ　１　１　Ｌ　一　一　一　一　６　Ｄ　Ｃ　／　／　／Ｌ，Ｌ　４　４　４　４　／，．。．．．．．，．．．．．．。。．．．＿一，　：　Ａ　Ｄ　

＼，，，●●●●　●＇、　３　４　２　１　１　２　４　３　４　３　ｌ　２　２　ｌ　３　４　／，，．．。．。。．．．。．。。．．．　＝　２　ｌ　３　４　３　４　２　ｌ　＝　是　８　于　

、、●●●●●●　●　Ｍ　７　５　３　ｍ　ｎ：＝ｊ　８　２　Ａ　８　＼、●●●●●●●●　８　●ｍ　

、　●●●●●●●５●７　Ｈ９　４２　９　７　１　８ｎ　４　５　３　ＢＢ　６　３　，，－．。．．．．．．．．。．．．．．．．　．．．　５　ｎ，，，　．．．．．．．．．．．．。．、、●●，３　４２　１４　３１　２，，，　．．．．．．１　２３　４８１４８　佳木斯大学学报（自然科学版）　２０１５年　而　）在有理数域上可分解为两个二次整系数多　项式的乘积．设　）＝（　＋ｍ１　＋ｒｔ１）（　２＋ｍ２　＋ｒｔ２）　比较上面式子中　，ｘ的系数及常数项有　ｂ＝　１＋　２＋ｍ１ｍ２　（１）　Ｃ＝ｍ１　ｒｔ２＋ｎ１ｍ２　（２）　ｄ＝１１，１ｎ２　（３）　因为ｄ为奇数，则ｎ１，ｒｔ２也为奇数，从而ｒｌ，１＋ｎ２　为偶数因为６为奇数，由（１）可知ｍ。ｍ：＝ｂ一（ｒｔ　＋ｉ＇１，２）为奇数，可得ｍ　，ｍ：也为奇数，从而ｍ　：＋　ｎｌｍ２为偶数，这与ｃ＝ｍｌｎ２＋ｌｚＩｍ２是奇数矛盾，从　而，（　）在有理数域上是不可约的．　３　举　例　例１　证明：整系数多项式　）＝ｘｐ＋ｐｘ＋　１（Ｐ是奇素数）在有理数域上不可约．　证明　显然此题不能直接应用Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判　别法．令　＝Ｙ—ｌ，代人　）＝　＋ｐｘ＋１，由于Ｐ　是奇素数，可得　ｇ（，，）＝　一１）＝　一　＋凶　一・＋　一Ｐ　由于Ｐ　Ｊ　Ｃ：，ｉ＝１，２，…，Ｐ一１，．所以易知Ｐ能　整除ｇ（　）除首相系数外所有的系数，但Ｐ　．由　Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法可知整系数多项式　）＝ｘｐ＋　＋１（Ｐ是奇素数）在有理数域上不可约．　例２　证明：整系数多项式．厂（　）＝　＋ｋｘ　＋　１７ｘ　＋１１＋１（ｋ为奇数）在有理数域上是不可约多　项式．　证明　整系数多项式厂（　）在有理数域上可能　的有理根为１．易知　１）＝１＋　＋ｌ７＋１１＋１＝ｋ＋３Ｏ　，（一１）＝１一ｋ＋ｌ７—１１＋１：ｋ＋８　因为ｋ为奇数，从而　１）≠０　一１）≠０．即　，（　）没有有理根，又因为１７，１１，１均为奇数，由定　理３可知整系数多项式　）（ｋ为奇数）在有理数　域上是不可约多项式．　参考文献：　［１］　北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编．高等代数　［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３：３３—３４．　Ｓｔｕｄｙ　ｏｎ　ｔｈｅ　Ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｉｎｔｅｇｒａｌ　Ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｉｎ　Ｒａｔｉｏｎａｌ　Ｎｕｍｂｅｒ　Ｄｏｍａｉｎ　ｓＵＮ　Ｈｕｉ　（Ｇｒａｄｕａｔｅ　Ｓｃｈｏｏｌ，ＪｉＵｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ　１３００００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ　ｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｒｅｐｌａｃｅ　ｔｈｅ　ｏｆ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｂｙ　ｉｎ—　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｘ　ｗａｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ　ｔｒａｉｎ　ｔｈｏｕｇｈｔ　ｏｆ　Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ　ｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ　ｗａｓ　ｕｓｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｔｕｄｙ．Ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｉｎｔｅｇｒａｌ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ　ｐｏＩｙｎｏｍｉａｌ　ｗａｓ　ｇｉｖｅｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｒａｔｉｏｎａｌ　ｎｕｍｂｅｒ　ｆｉｅｌｄ　ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ　ｄｉｓｃｒｉｍｉｎａｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｏｆ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ；ｒａｔｉｏｎａｌ　ｎｕｍｂｅｒ　ｆｉｅｌｄ；ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ；Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　（上接１４６页）　Ａ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　Ｆｏｕｒ——ｏｒｄｅｒ　Ｍａｇｉｃ　Ｓｑｕａｒｅ　ＺＨＩ　Ｊ　１．Ｈ　ｘｕ—ｄｏｎｇ２　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌａｎｚｈｏｕ　Ｆｉｎａｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｕｚｈｏｕ　７３００２０，Ｃｈｉｎａ；２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｌａｎ￣ｏｕ　Ｃｉｔｙ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＩＡＩＩ￣ＯＵ　７３００７０，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｍａｒｃ　ｓｑｕａｒｅ　ｉｓ　ａｎ　ｏｌｄ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｅｓｔｉｎｇ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｐｒｏｂｌｅｍ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｍａｇｉｃ　ｓｑｕａｒｅ　ｗａｓ　ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ　ｔｏ　ｍａｔｒｉｘ　ｆｏｒｍ．Ａ　ｓｉｍｐｌｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｆｏｕｒ—ｏｒｄｅｒ　ｍ　ｃ　ｓｑｕａｒｅ　ｗａｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｄｅｆｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍａｔｒｉｘ．Ａｎｄ　ａｎ　ｅｘａｍｐｌｅ　ｗａｓ　ｇｉｖｅｎ　ｔｏ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ　ｔｈｅ　ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｃｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｏｕｒ—ｏｒｄｅｒ　ｍａｇｉｃ　ｓｑｕａｒｅ；ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ；ｍｅｔｈ

ｏｄ