相似三角形解题思路经典赏析
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相似三角形解题思路经典赏析
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内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。
例题讲解：
1、如图，在Rt△ABC内有边长分别为,,abc的三个正方形，则,,abc满足的关系式是（ ）
A、bac B、bac
C、222bac D、22bac
2、已知矩形ABCD的边长3cm6cmABBC，．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN△的面积等于矩形ABCD面积的19？
（2）是否存在时刻t，使以AMN，，为顶点的三角形与ACD△
相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
3、如图1，在RtABC△中，90BAC°，ADBC⊥于点D，点O是AC边上一点，连接BO交AD于F，OEOB⊥交BC边于点E．
（1）求证：ABFCOE△∽△；
（2）当O为AC边中点，2ACAB时，如图2，求OFOE的值；
（3）当O为AC边中点，ACnAB时，请直接写出OFOE的值．
4、已知9023ABCABBCADBCP°，，，∥，为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQADPCAB（如图1所示）．
（1）当2AD，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长； A B C
D M
N
B
A D
E
C O F
图2 B
A C O E D
图1 F （2）在图1中，联结AP．当32AD，且点Q在线段AB上时，设点BQ、之间的距离为x，APQPBCSyS△△，其中APQS△表示APQ△的面积，PBCS△表示PBC△的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域。
5、已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．
相似三角形解题思路赏析2（4.06）
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学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。
在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．3、应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．4、在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量．
A D
P
C B Q
图1 D A
P
C B （Q） 图2
F
45°
60°
A E D B C
图① A G D H M E F
C
B (N)
图② A G D H M E
F C
B N
图③ E F
M N
D A B G H
图④ C 例题讲解：
1、将一张边长分别为a，b)(ba的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为( )
（A）22baba （B）22aabb
（C）22baba （D）22aabb
2、如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为2p、2q，则梯形的面积为（ ）．
A．)(222qp B．2)(qp C．pqqp22
D．222222qpqpqp
3、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝CD，连结CE，求证：（1）CE＝CA；（2）上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，CD︰AE＝3︰8，求CACF的值；
4、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(80)，，直线BC经过点(86)B，，(06)C，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OABC，此时直线OA、直线BC分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是 ，
当90°时，BPBQ的值是 ；
（2）①如图2，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴时，求BPBQ的值；
如图3，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求OPB△的面积． ②
A B C D
E F
G
第1题
D q2
P2 C
A B 第2题
Q C B
A O x P A B
C
（图1） y
（Q） C B
A O x P A
C （图3） y
B Q C B
A O x P A B
C
（图2） y C
E B D
A F
第3题 5、如图，在RtABC△中，90C，50AB，30AC，DEF，，分别是ACABBC，，的中点．点P从点D出发沿折线DEEFFCCD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKAB，交折线BCCA于点G．点PQ，同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点PQ，运动的时间是t秒（0t）．
（1）DF，两点间的距离是 ；
（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，
求出t的值．若不能，说明理由；
（3）当点P运动到折线EFFC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；
（4）连结PG，当PGAB∥时，请直接．．写出t的值．
相似三角形解题思路赏析3（4.12）
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学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。
在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）：1、寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等．2、构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决．当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础．3、学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件．
相似三角形的基本性质有：1、相似三角形的对应角相等，2、相似三角形的对应边成比例，3、相似三角形的对应线段（对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线以及周长）的比等于相似比，4、相似三角形的面积比等于相似比的平方．其实在第二、三条性中的对应角与对应线段还可以推广对应量相等或成比例，例如：两个相似三角形的对应边上的高与中线的夹角是相等的，对应边上的高分对边所成的对应线段成比例等等．说开了也就是相似三角形对应线段分原三角所成的对应小三角形相似．
例1、小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图1，正方形ABCD中，作AE交BC于E，DFAE交AB于F，求证：AEDF；
（2）如图2，正方形ABCD中，点EF，分别在ADBC，上，点GH，分别在ABCD，上，且EFGH，求EFGH的值；
A E C
D F
G
B Q K
图5 P
（3）如图3，矩形ABCD中，ABa，BCb，点EF，分别在ADBC，上，且EFGH，求EFGH的值．
例2、如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥CC1．
例3、如图，在△ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A、B重合），DE∥BC交AC于E点，连接CD，设S△ABC=S，S△DEC=S1．
(1) 当D为AB中点时,求S1:S的值；
(2) 设AD=x, S1：S=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3) 是否存在点D,使得S1＞1/4S成立? 若存在,求出D点的位置；若不存在，说明理由．
例4、如图，四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．P是对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于点M，PE交BC于点N，FE交MN于点K，求证：K是线段MN的中点．
图1 图2 图3
D A
B B1 A1
C1 C
A B P M
N K
E F D
C A
B C D E
