函数的凹凸性方面的应用
()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.
证 ⇒记
32
31x x x x λ-=
-,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知
213()()(1)()
f x f x f x λλ≤+-3221133131
()()x x x x
f x f x x x x x --=
+-- (4)
从而有
312321213()()()()()()
x x f x x x f x x x f x -≤-+-
即
32221232
121
()()()()()()()()
x x f x x x f x x
x f x x
x f x -+-≤-+-
整理即得(3)式.
⇐13,x x I ∀∈13()x x <,(0,1)λ∀∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-=
-
由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数.
同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即
123,,x x x I ∀∈,123
x x x <<,有
31212131
()()
()()f x f x f x f x x x x x --≤
--
()f x 严格凸函数⇔上式严格不等式成立.
定理 设为开区间上的凸函数．若
则在上满足利普希茨条件,且
在上连续．
证明 (
证明开区间上的凸函数必为连续函数)
当取定后,
由为开区间,必可
选取中的四点
满足：
．
如图所示,再在
中任取两点
. 应用引理得到
．
令
,
则
,
．
显然,上述 L 与中的点
无关, 故在上的每个内闭区间
上满足利普希茨
条件．
由此容易推知
在
上连续,再由
在上的任意性,又可推知
在上处处连续．
如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系
定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有
21121()()()()f x f x f x x
x '≥+-
证 (i)(ii) ,并取,使
据定理3.12,有
由可微,当时,对上述不等式取极限后,得到
．
所以
是上的递增函数．
(ii)(iii)
由微分中值定理和
递增,便可证得
当
时,也有相同结论．
(iii)
(i)
,并记,则有
,
由(iii)可得
.
注 定理中(iii)的几何意义如下图所示:曲线上任意一点处的切线恒位于曲线的下
方在
为可微的前提条件下,常用上述切线与曲线的位置关系(iii)来表述凸函数．但是在没有可
微条件假设时,凸函数只能用曲线与其任一弦的位置关系(定义1)来定义．
如果f 在I 上二阶可导,则进一步有：
定理2（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数,则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<）,x I ∈.f 为严格凸⇔1）()0f x ''≥；2）()f x ''不在I 上的任一子区间上恒为零.
此定理说明：f 为严格凸,则曲线中不含有直线段（()0f x ''=）.对于凹函数情形,也有类似的定理（因为f 凸,则f -凹）. 可导函数f 有如下相互等价的论断：
1）f 为I 上凹函数.
2）123,,x x x I ∀∈,123x x x <<有32212132()()
()()f x f x f x f x x x x x --≥
--.即割线斜率递减.
3）()f x '为I 上递减函数.
4）
0x I
∀∈,有
000()()()()f x f x f x x x '≤+-,x I ∈.当f 在I 上二阶可导时,下述论断与
1）,2）,3）,4）相等价.
5）在I 上()0f x ''≤.
对严格凹的情形可类似得出等价论断. 二、拐点
定义 2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.（即为曲线凹凸部分的分界点）
必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在,
如
y =x ＝0的情形.
定理3（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=.
综上知：(00,()x f x )的拐点,则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导.
定理4 设f 在点0x 可导,在某邻域0()U x 内二阶可导,若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反,则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点.
例1 讨论函数()arctan f x x =的凸性与拐点.
解
222()(1)x
f x x ''=-
+,因而当0x ≤时,()0f x ''≥；当0x ≥时,()0f x ''≤,从而函数f 为
