5. 方程0)1(=+-dy e dx ye x
x
的通解为 .
)1(x
e C y += 二、选择题：（15分）
1．方程
0)4(sin )cos 3(3
2=-++dy y x dx x y x 是 .C (A)可分离变量微分方程； （B ） 一阶线性方程;
（C ）全微分方程; （D ）（A ），B ）,（C ）均不对. 2．),(y x f z =在),(00y x 可微,则
y
z
x z ∂∂∂∂,在),(00y x 。C （A ）连续； （B ）不连续； （C ）不一定存在； （D ）一定存在。 3．级数∑∞
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛
+-
-211
1
1
n n n 是 。A
（A ）发散； （B ）收敛； （C ）条件收敛； （D ）绝对收敛。 4．曲面22y x z +=与平面1=z 所围立体的体积为 。B （A ）⎰⎰⎰Ω
+dv y x )(2
2
; （B ）⎰⎰⎰
1
1 0
2 0
r
dz rdr d π
θ；
（C ）⎰
⎰
⎰+----2
22
2
1 1 1
1
y x x x dz dy dx ； （D ）⎰⎰⎰
1
1 0
2 0
dz rdr d π
θ。
5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B
（A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++ （C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+
三、),(2
2
x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22x
z
∂∂.（8分）
解：)2(x f x z -⋅'=∂∂ )2()2(222-⋅'+-⋅''=∂∂f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2
xy y x f z ϕ-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x
y z
∂∂∂2.
x f f y
z
⋅'⋅'+-⋅'=∂∂ϕ21)1(
]2[1211
2y f x f x
y z
⋅'⋅''+⋅''-=∂∂∂ϕx y f x f ⋅'⋅⋅'⋅''+⋅''+ϕϕ]2[2221
ϕϕ'
⋅'+⋅⋅''⋅'+22f x y f 11
22)(f x xy f ''-''+'⋅'=ϕϕ222122)2(f xy f y x ''⋅'+''⋅'-+ϕϕ 四、计算⎰-+-L
x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点A(1,0)到B(0,1)，再到
C(-1,0)的有向折线。（8分）
解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x
x y e x Q y e y P x x
cos ,2cos =∂∂-=∂∂ .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式
⎰-+-L
x x
dy
y e dx y y e
)2cos ()2sin (⎰⎰⎰-+--∂∂-∂∂=CA x x D
dy y e dx y y e dxdy y P
x Q )2cos ()2sin ()(
02-=⎰⎰dxdy D
=2
五、计算⎰⎰∑
++dxdy zx dzdx yz dydz xy 222，其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体
22y x z +≥的公共部分的外表面。（8分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≤≤≤
≤≤≤Ωπ
θπϕ202020:r
⎰⎰⎰⎰⎰Ω
∑
++=++dv z y x dxdy zx dzdx yz dydz xy )(222222⎰⎰⎰⋅=π
π
ϕϕθ2002
224
sin dr
r r d d 5)
22(32-=
π
六、求级数∑∞
=2
2n n nx 的收敛域及和函数。（8 分）
解：,2n a n =
,1lim
1
==+∞→n n n a a ρ 1
1==ρR
.,1级数发散时当±=x )1,1(-∴幂级数的收敛域为
),
(22
x s nx n n
=∑∞
=令 ,0)0(=s
)(22)(2
2
1
'
==∑∑∞
=∞
=-n n n n x x nx
x x s
)1(22'
-=x x x x
x x 2)1(22--=
七、计算曲面积分⎰⎰∑
+dS y x )(22，其中∑为锥面)(322y x z +=被平面3=z 截下
的带锥顶的部分。（8分）
解： 3:2
2≤+∑y x D xoy 面的投影为在 ,)(322y x z +=由
)
(3,)(32222y x y
y z y x x x z +=∂∂+=∂∂，
32
)()(
122=∂∂+∂∂+y z x z
⎰⎰⎰⎰+=+∑
D
dxdy y x dS y x 32)()(2
222dr r r d 3
220302⎰⎰⋅=πθπ98
= 八、求函数22y x z +=在适合条件13
2=+y
x 下的极小值。（7分）
13
36 4.7213
12
138===y x z
P 课本
九、求方程x e y y y 323=+'-''的通解。（8分）
