2021届安徽省池州市东至县高三上学期12月大联考数学(文)试题(解析版)

怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中2021届高三“五校”联考理科数学试题考试时间： 2020年12月4日考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则AB =A ．{}14x x <<B ．{}23x x ≤<C ．{}23x x <<D ．{}14x x <≤ 2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3.设: |1|1p x +<,:22q x -<<,则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC =A ．1122OA OB +B 3OB +C ．2233OA OB +D ．OA OB + 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车转动的角速度ω为πrad /s 12，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为 A ．3.2m B ．3.4m C ．3.6m D ．3.8m图1 图26.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知30S =，68a =，则10a =A ．12B ．14C ．16D ．18 7.函数21()log ||f x x =的部分图象可能是AB C D8.已知2.02=a ，2.0log 2=b ，2log 2.0=c ，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<9.已知ABC △是边长为3的等边三角形，点D 为ABC △内一点，且120ADC ∠=︒，1AD =， 则BD = A ．12B ．32C. 1D ．2 10.已知函数22()log |1|21f x x x x =-+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为A ．2(,1)(1,2)3B ．2(2,0)(0,)3-C ．2(,2)3D ．2(,2)(,)3-∞-+∞11.已知函数π()sin(),(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ()42，上单调，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．412.若关于x 的不等式2e (ln )xa x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A ．2(,e ]-∞B ．(,e]-∞C ．(,1]-∞D ．1(,]e-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b . 14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为.15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为.16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是.①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分. 17.（10分）已知函数122()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b . （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+. （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=. （1）判断ABC △的形状；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11)m+万元/万个单位． （1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系；（2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）22.（12分）已知函数ln ()e xxf x a x=+，()()g x xf x x =+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值； （2）当21ea =-时，证明：()2g x <.2021届高三“五校”联考理数答案2020年12月4日由对称轴和零点可知()ππ212(),444k T k N T πω+--=∈=，得到N k k ∈+=,12ω ① 由()f x 在区间ππ()42，上单调可知πππ242T ω-≤=，得到4≤ω②由①②可知ω可能取3.当3ω=时，可得4πϕ=-，()⎪⎭⎫⎝⎛-=43sin πx x f 满足在⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故ω的最大值为3.12.【解析】解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()exx x xg x -=，则max 1()g x a ≥. 而(1)(ln 1)()exx x x g x --+'=，ln 10x x -+≤， 因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时()0g x '<； 所以，max 1()(1)e g x g ==，11ea ≥，0e a <≤. 又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.解法二：原不等式可化为ln e e (ln )xx x a x x x-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.二、填空题：13题 14题.1- 15题.6 16题.①③ 15.【解析】由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值为223416++=.16.【解析】43ln ,S S =34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-..0,11<∴>q a 又2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>>即 23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++>.1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即三、解答题：共70分.17.【解析】（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<…………………………2分 可得，解得22a -<< ………………………………4分（2）由题意可得，1221(1)2x ax --+≤，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立 可化为23x a x -≤， ………………………………6分设()23x g x x -=，只要()min a g x ≤即可 ……………………8分()2310g x x '=+>，所以()min11122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以11.2a ≤-………………10分 18.【解析】（1）44()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x =++-2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x =-++cos2sin 2x x =+π224x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………2分周期2ππ2T ==………3分 由222,Z 242k x k k πππππ-+<+<+∈………4分解得3ππππ,Z 88k x k k -+<<+∈………5分 所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.………6分（2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解即函数y m =与函数π(),02y f x x =≤≤的图象有两个交点………8分 令π24t x =+，则π5π44t ≤≤ 即函数y m =与函数()2g t t =，π5π44t ≤≤的图象有两个交点 函数()y g t =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，草图如下且ππ5π()2,()1,()1244g g g ===-………10分故12m ≤< ………12分19.【解析】（1）.9,632==a a ……………………………2分 猜想：,3n a n = ……………………………3分 证明：由已知可得),3(2)1(31n a n a n n -=+-+[],)1(3231--=--n a n a n n........2132(3)a a -=-.3,31n a a n =∴= ……………………………6分.（2）,.3311nn n na =+）得由（……………………………7分 .331........333231132n n n nn S +-++++=∴- ①.331........333231311432++-++++=∴n n n n n S ② ………………………8分 ①-② 可得,331......31313212+-+++=n n n nS ……………………………10分nn n nS 32341431⋅-⋅-=∴- ……………………………12分 20.【解析】 （1）解法一：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin sin sin A A CA B=. 2cos sin sin A B C ∴= ………………………………2分又sin sin()C A B =+，2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -=，A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形. ………………………………5分解法二：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A C a b =， 进而2cos a A ca b=. 2cos cA b∴=. ………………………………2分 由余弦定理，222 22b c a cbc b+-=，化简得22a b =，即a b =.所以，ABC △为等腰三角形. ………………………………5分（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意， 2sin ,2sin ,2sin a A b B c C ===，2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++ ………………………………7分由（1）知，A B =且πA B C ++=，π4sin 2sin 2, (0,)2a b c A A A ∴++=+∈ ……………………………9分令π()4sin 2sin 2, (0,)2f A A A A =+∈，则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+， 易知，当π (0,)3A ∈时，()0f A '>，()f A 为递增的；当ππ (,)32A ∈时，()0f A '<，()f A 为递减的. ………………………11分所以，当π 3A =时()f A 有最大值ππ2π()4sin 2sin333f =+= 也即ABC △周长的最大值为…………………………12分21.【解析】（1）由题意得，()x m m m y -+-⎪⎭⎫⎝⎛+=12411 …………………………2分 x m -+=39x x x -+++⋅=31129 ………………………4分x x -+-=1921，所以x x y -+-=1921（a a x -≤<20，a 为正实数）． …………………………5分（2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ， …………………………7分 易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减． …………………………8分 又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ． …………………………9分 所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值； ……10分当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值． ……11分综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润. ……12分22.【解析】（1）解法一： 由题意，21ln ()e ,x x f x a x -'=+ ……………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ……………………………………2分从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为e (e 1)(1)y a a x -=+-， ……………………………………3分又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+， ………………………………4分解得0a =. ………………………………5分解法二： 由题意，21ln ()e ,x x f x a x -'=+ ………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ………………………………2分由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)， 则有(1)1e 112f a -=+-， ………………………………4分 即1e e 1a a -=+，解得0a =. ………………………………5分（2）解法一：由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>，则2211()(1)e 1(1)(e )x x g x x x x x--'=-+++=+-. …………………………7分 易知10x +>，记21()e x h x x-=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减， 且1(1)10e h =->，1(2)02h =-<， 0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =. ………………………………9分 从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<. ()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减. ………………………… 10分 由0()0h x =可得020e 1x x -=及00ln +2x x =，02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<.(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e 1x x -=，max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”）从而， ()2g x <. ………………………12分解法二：记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1 ()1,h x x'=- ……………………6分 易知，(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时所以，()h x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.……………………7分 从而有()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )ln e e 10,e 1.x x x x h x =-+≤≥+………9分 由题意及上述结果，225()e ln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤<. …………………12分 解法三：由题意，欲证 2()eln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x -+<+. …………6分 记ln (),0.x x m x x x +=> 则1ln (),x m x x-'=从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e +. …………………8分 记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x-'=-+ 易知()n x '在(0,)+∞递增，且11(1)20,(2)10e 2n n ''=-+<=-+>， 因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x . 而021200221()e e 12ex n x x --=+>+=+…………………11分 从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <. …………………12分。

安徽省五校2021届高三上学期12月联考试题 理科数学【含答案】第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则AB =A ．{}14x x << B ．{}23x x ≤< C ．{}23x x << D ．{}14x x <≤2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i - 3.设: |1|1p x +<,:22q x -<<,则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC = A ．1122OA OB + B ．3322OA OB + C ．2233OA OB + D ．OA OB +5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车转动的角速度ω为πrad /s 12，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为A ．3.2mB ．3.4mC ．3.6mD ．3.8m图1 图26.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知30S =，68a =，则10a =A ．12B ．14C ．16D ．187.函数21()log ||f x x =的部分图象可能是A B C D8.已知2.02=a ，2.0log 2=b ，2log 2.0=c ，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<9.已知ABC △3D 为ABC △内一点，且120ADC ∠=︒，1AD =， 则BD = A ．12 B ．31 D 210.已知函数22()log |1|21f x x x x =-+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为A ．2(,1)(1,2)3B ．2(2,0)(0,)3-C ．2(,2)3D ．2(,2)(,)3-∞-+∞11.已知函数π()sin(),(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ()42，上单调，则ω的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．412.若关于x 的不等式2e (ln )x a x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A ．2(,e ]-∞B ．(,e]-∞C ．(,1]-∞D ．1(,]e-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b . 14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为 .15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为 . 16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是 .xyOxyOxyxyO①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分. 17.（10分）已知函数1 22()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b . （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+. （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=. （1）判断ABC △的形状；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.21.（12分）第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11)m+万元/万个单位． （1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系；（2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费）22.（12分）已知函数ln ()e xxf x a x=+，()()g x xf x x =+. （1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值； （2）当21e a =-时，证明：()2g x <.答案2020年12月4日一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项BCADDCBDCACB11.【解析】由对称轴和零点可知()ππ212(),444k T k N T πω+--=∈=，得到N k k ∈+=,12ω ① 由()f x 在区间ππ()42，上单调可知πππ242T ω-≤=，得到4≤ω ②由①②可知ω可能取3.当3ω=时，可得4πϕ=-，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43sin πx x f 满足在⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故ω的最大值为3. 12.【解析】解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()exx x xg x -=，则max 1()g x a ≥.而(1)(ln 1)()exx x x g x --+'=，ln 10x x -+≤， 因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时()0g x '<； 所以，max 1()(1)e g x g ==，11ea ≥，0e a <≤. 又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.解法二：原不等式可化为ln e e (ln )xx x a x x x-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.二、填空题：13题.7 14题.1- 15题.6 16题.①③ 15.【解析】由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值为223416++=. 16.【解析】43ln ,S S =34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-. .0,11<∴>q a 又2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>>即23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++> .1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即三、解答题：共70分. 17.【解析】（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<…………………………2分 可得，解得22a -<< ………………………………4分（2）由题意可得，1221(1)2x ax --+≤，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立可化为23x a x -≤， ………………………………6分设()23x g x x -=，只要()min a g x ≤即可 ……………………8分()2310g x x '=+>，所以()min11122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以11.2a ≤-………………10分 18.【解析】（1）44()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x =++- 2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x =-++cos 2sin 2x x =+π224x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………2分周期2ππ2T == ………3分 由222,Z 242k x k k πππππ-+<+<+∈ ………4分 解得3ππππ,Z 88k x k k -+<<+∈ ………5分 所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.………6分（2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解即函数y m =与函数π(),02y f x x =≤≤的图象有两个交点 ………8分 令π24t x =+，则π5π44t ≤≤ 即函数y m =与函数()2g t t =，π5π44t ≤≤的图象有两个交点 函数()y g t =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，草图如下且ππ5π()2,()1,()1244g g g ===- ………10分故12m ≤<. ………12分 19.【解析】（1）.9,632==a a……………………………2分 猜想：,3n a n =……………………………3分证明：由已知可得),3(2)1(31n a n a n n -=+-+ [],)1(3231--=--n a n a n n........2132(3)a a -=-.3,31n a a n =∴= ……………………………6分.（2）,.3311n n n na =+）得由（……………………………7分 .331........333231132n n n nn S +-++++=∴- ①.331........333231311432++-++++=∴n n n nn S ② ………………………8分 ①-② 可得,331......31313212+-+++=n n n nS ……………………………10分n n n nS 32341431⋅-⋅-=∴- ……………………………12分20.【解析】 （1）解法一：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin sin sin A A CA B=. 2cos sin sin A B C ∴= ………………………………2分又sin sin()C A B =+，2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -=，A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形. ………………………………5分解法二：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A Ca b =， 进而2cos a A ca b=. 2cos cA b∴=. ………………………………2分 由余弦定理，222 22b c a cbc b+-=，化简得22a b =，即a b =.所以，ABC △为等腰三角形. ………………………………5分（2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意， 2sin ,2sin ,2sin a A b B c C ===，2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++ ………………………………7分由（1）知，A B =且πA B C ++=，π 4sin 2sin 2, (0,)2a b c A A A ∴++=+∈ ……………………………9分令π()4sin 2sin 2, (0,)2f A A A A =+∈，则2()4cos 4cos24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+， 易知，当π (0,)3A ∈时，()0f A '>，()f A 为递增的；当ππ (,)32A ∈时，()0f A '<，()f A 为递减的. ………………………11分所以，当π 3A =时()f A 有最大值ππ2π()4sin 2sin33333f =+=，也即ABC △周长的最大值为33…………………………12分21.【解析】（1）由题意得，()x m m m y -+-⎪⎭⎫⎝⎛+=12411 …………………………2分 x m -+=39x x x -+++⋅=31129 ………………………4分 x x -+-=1921，所以x x y -+-=1921（a a x -≤<20，a 为正实数）． …………………………5分 （2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ， …………………………7分 易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减． …………………………8分又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ． …………………………9分 所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值； ……10分当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值． ……11分综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润. ……12分22.【解析】 （1）解法一：由题意，21ln ()e ,xxf x a x-'=+……………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ……………………………………2分 从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为e (e 1)(1)y a a x -=+-， ……………………………………3分又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+， ………………………………4分解得0a =. ………………………………5分解法二：由题意，21ln ()e ,x x f x a x-'=+ ………………………………1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= ………………………………2分 由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)， 则有(1)1e 112f a -=+-， ………………………………4分 即1e e 1a a -=+，解得0a =. ………………………………5分（2）解法一：由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>， 则2211()(1)e 1(1)(e )x x g x x x x x--'=-+++=+-. …………………………7分 易知10x +>，记21()e x h x x-=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减， 且1(1)10e h =->，1(2)02h =-<， 0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =. ………………………………9分 从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<. ()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减. ………………………… 10分 由0()0h x =可得020e 1x x -=及00ln +2x x =，02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<.(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e 1x x -=，max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”） 从而， ()2g x <. ………………………12分 解法二：记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1 ()1,h x x'=- ……………………6分 易知，(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时所以，()h x 在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.……………………7分 从而有()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )lne e 10,e 1.x x x x h x =-+≤≥+………9分 由题意及上述结果，225()e ln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤<. …………………12分解法三：由题意，欲证 2()e ln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x -+<+. …………6分 记ln (),0.x x m x x x +=> 则1ln (),x m x x-'= 从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e +. …………………8分 记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x-'=-+ 易知()n x '在(0,)+∞递增，且11(1)20,(2)10e 2n n ''=-+<=-+>， 因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x . 而021200221()e e 12ex n x x --=+>+=+ …………………11分 从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <. …………………12分。

侧视图正视图1121R 绝密★启用前2021年高三上学期联考（12月）数学（理）试题 Word 版含答案由株洲市二中高三理科数学备课组命制一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，集合，集合，则（ C ）A ．B ．（1，2]C ．D ． 2．已知复数满足，则（ D ）A ．B ．C ．D ． 3．设α为锐角，若cos ＝，则sin 的值为（ B ）A ．B ．C ．D ．4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C )A. B. C. D.5．已知双曲线 （，）的左、右焦点分别为、，以、为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为 ( C )A ．B ．C ．D ．6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ）A ．B ．C ．D ．7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D )A． B． C． D．8．若，命题直线与圆相交；命题，则是的 ( A )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是（ C ）A． B． C． D．10．已知不等式组表示平面区域，过区域中的任意一个点，作圆的两条切线且切点分别为，当的面积最小时，的值为（ B ）A． B． C． D．11．如上右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ C ）A．2 B． C． D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为 ( D )A．1－ln 2 B. (1－ln 2) C． D.(1＋ln 2)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是 21 ．AMBGNC14．函数() 的单调递增区间是 .15．对于问题：“已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式”，给出如下一种解法： 解：由 的解集为，得的解集为， 即关于的不等式 的解集为.参考上述解法，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为____________． 16．已知椭圆的方程为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上不同于的动点，直线与直线分别交于两点，若，则过三点的圆必过轴上不同于点的定点，其坐标为 ．三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程） （一）必做题：17．（本小题满分12分）株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，，，，，，等七组,其频率分布直方图如下图所示。

安徽省名校联盟2023-2024学年高三实验班上学期12月联考数学高三数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合{}{}230,1216xA x x xB x =->=<<，则()R A B = ð（）A ．{}03x x x ≤≥或B ．{}04x x x ≤≥或C ．{}34x x <≤D ．{}03x x <≤2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且数列{}n a 满足()114222,4n n n a a a n a a -+=+≥-=．若39S =，则9a =（）A ．9B ．10C ．17D ．193．已知向量,a b 满足a b a += ，且2b = ，则a b ⋅的值为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．已知,,αβγ是三个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列判断正确的是（）A ．若,m n n α⊂∥，则m α∥B ．若,αγβγ⊥⊥，则αβ∥C ．若,m αβα⊂∥，则m β∥D ．若123,,l l l αββγαγ=== ，则123l l l ∥∥5．将函数1sin 0,22y x x x π⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象绕着原点沿逆时针方向旋转θ角得到曲线Γ，已知曲线Γ始终保持为函数图象，则tan θ的最大值为（）A ．12B ．23C ．1D ．326．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ，则称()f x 为“倍增函数”．若函数()()2log 2xf x t =-（其中0t ≥）为“倍增函数”，则t 的取值范围为（）A ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,1C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7的正方体1111ABCD A B C D -，点Q 为11A BC △内一个动点，且满足1QB =，则点Q 的轨迹长度为（）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π8．已知函数()1132e e 33x x f x x x x --=-+-+，若实数,x y 满足()()22212f x f y+-=，则最大值为（）A ．322B ．324C ．524D ．534二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。