A.B．－C.D.2y第十四章整式的乘法与因式分解单元测试卷得分________卷后分________评价________一、选择题(每小题3分，共30分)1．(2016·盐城)计算(－x2y)2的结果是(A)A．x4y2B．－x4y2C．x2y2D．－x2y22．(2016·资阳)下列运算正确的是(C)A．x4＋x2＝x6B．x2·x3＝x6C．(x2)3＝x6D．x2－y2＝(x－y)23．(2016·泰安)计算(－2)0＋9÷(－3)的结果是(B)A．－1B．－2C．－3D．－44．多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是(A)A．x－1B．x＋1C．x2－1D．(x－1)25．(2016·滨州)把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)则a，b的值分别是(B)A．a＝2，b＝3B．a＝－2，b＝－3C．a＝－2，b＝3D．a＝2，b＝－36．若a＞0且a x＝2，a y＝3，则a x－的值为(D)112233397．若a＋b＝3，a－b＝7，则ab的值为(A)A．－10B．－40C．10D．408．(2016·宜昌)小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是(C)A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌D．美我宜昌9．分解因式x2＋ax＋b，甲看错了a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错了b的值，分解的结果是(x－2)·(x＋1)，那么x2＋ax＋b分解因式的正确结果为(B)A．(x－2)(x＋3)B．(x＋2)(x－3)C．(x－2)(x－3)D．(x＋2)(x＋3)10．如图，甲，乙，丙，丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①(2a＋b)(m＋n)；②2a(m＋n)＋b(m＋n)；③m(2a＋b)＋n(2a＋b)；④2am＋2an＋bm＋bn，你认为其中正确的有(D)(2)a m＝2，a n＝3，则a m＋n＝6，a m－n＝，A．①②B．③④C．①②③D．①②③④二、填空题(每小题3分，共24分)11．(1)计算2x3·(－3x)2的结果等于18x5；2312．(2016·常州)分解因式：x3－2x2＋x＝x(x－1)2.13．如果x2＋2(m－1)x＋16是一个完全平方式，那么m的值为5或3. 14．(2016·株洲)分解因式：(x－8)(x＋2)＋6x＝(x＋4)(x－4)．15．计算(x2＋nx＋3)(x2－3x)的结果不含x3的项，那么n＝3.16．已知长方形的周长为6，面积为2，若长方形的长为a，宽为b，则a2b＋ab2＝6. 17．已知a2＋ab＋b2＝7，a2－ab＋b2＝9，则(a＋b)2＝6.18．请看杨辉三角(1)，并观察下列等式(2)：根据前面各式的规律，则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)3a3b2÷a2＋b(a2b－3ab－5a2b)；原式＝3ab2＋a2b2－3ab2－5a2b2＝－4a2b2(2)(2016·无锡)(a－b)2－a(a－2b)．原式＝a2－2ab＋b2－a2＋2ab＝b220．(8分)(1)(2016·湘西州)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)－b(a－b)，其中，a＝－2，b＝1；解：(1)原式＝a2－b2－ab＋b2＝a2－ab，当a＝－2，b＝1时，原式＝4＋2＝6(2)(2016·菏泽)已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值．原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2＝－4xy＋3y2＝－y(4x－3y)．∵4x＝3y，∴原式＝021.(12分)因式分解：(1)(2016·岳阳)6x2－3x;(2)(2016·巴中)16m3－mn2；(1)6x2－3x＝3x(2x－1)(2)原式＝m(16m2－n2)＝m(4m＋n)(4m－n)(3)(2016·荆门)(m＋1)(m－9)＋8m;(4)9x2－y2－4y－4.(3)原式＝m2－9m＋m－9＋8m＝m2－9＝(m＋3)(m－3)(4)原式＝(3x)2－(y＋2)2＝(3x＋y＋2)(3x－y－2)22．(7分)已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2＋bc－ac－b2＝0△，试判断ABC的形状．解：∵a2＋bc－ac－b2＝0，∴a2－b2＋bc－ac＝0，∴(a＋b)(a－b)＋c(b－a)＝0，∴(a－b)(a＋b －c)＝0，∵a＋b>c，故a－b＝0，即a＝b△，则ABC是等腰三角形23．(9分)小红家有一块L形菜地，要把L形菜地按如图所示的那样分成面积相等的两个梯形种上不同的蔬菜．已知这两个梯形的上底都是a米，下底都是b米，高都是(b－a)米．(1)请你算一算，小红家的菜地面积共有多少平方米；(2)当a＝10，b＝30时，菜地面积是多少？解：(1)小红家的菜地面积共有：2× (a ＋b)(b －a)＝b 2－a 2 (2)当 a ＝10，b ＝30 时，原式＝30212－102＝900－100＝800(平方米)解：(1)a 2－b 2，a 3－b 3，a 4－b 4(2)a n －b n(3)29－28＋27－…＋23－22＋2＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9＋1]＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1＝ (210－1)＋1＝34224.(10 分)如图①是一个长为 2m 、宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 m －n ；(2)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．①(m －n)2 或②(m ＋n)2－4mn.(3)观察图②，请你写出代数式(m ＋n)2，(m －n)2，mn 之间的等量关系．根据(3)题中的等量关系， 解决下列问题：若 a ＋b ＝7，ab ＝5，求(a －b)2 的值．(m －n)2＝(m ＋n)2－4mn ，∵a ＋b ＝7，ab ＝5，∴(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝72－4×5＝2925．(12 分)(1)填空：(a －b)(a ＋b)＝____________________；(a －b)(a 2＋ab ＋b 2)＝____________________；(a －b)(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝____________________．(2)猜想：(a －b)(a n －1＋a n －2b ＋…＋ab n －2＋b n －1)＝____________________(其中 n 为正整数，且 n ≥2)．(3)利用(2)猜想的结论计算：29－28＋27－…＋23＋22＋2.131313积共有：2× (a ＋b)(b －a)＝b 2－a 2 (2)当 a ＝10，b ＝30 时，原式＝302－102＝900－100＝800(平方＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9＋1]＝ [2－(－1)][29＋28×(－1)＋27×(－1)2＋…＋21×(－1)8＋(－1)9]＋1＝ (210－1)＋1＝3421．A2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C9.B 10.D11.(1)18x 5(2)6 12.x(x－1)225．解：(1)a 2－b 2，a 3－b 3，a 4－b 4(2)a n －b n(3)29－28＋27－…＋23－22＋2＝ [2－(－1)][29单元清五2 313．5 或 3 14.(x ＋4)(x －4) 15.3 16.6 17.618．a 6＋6a 5b ＋15a 4b 2＋20a 3b 3＋15a 2b 4＋6ab 5＋b 619．解：(1)原式＝3ab 2＋a 2b 2－3ab 2－5a 2b 2＝－4a 2b 2(2)原式＝a 2－2ab ＋b 2－a 2＋2ab ＝b 220.解：(1)原式＝a 2－b 2－ab ＋b 2＝a 2－ab ，当 a ＝－2，b＝1 时，原式＝4＋2＝6 (2)原式＝x 2－4xy ＋4y 2－(x 2－y 2)－2y 2＝－4xy ＋3y 2＝－y(4x －3y)．∵4x＝3y ，∴原式＝021.解：(1)6x 2－3x ＝3x(2x －1)(2)原式＝m(16m 2－n 2)＝m(4m ＋n)(4m －n) (3)原式＝m 2－9m ＋m －9＋8m ＝m 2－9＝(m ＋3)(m －3) (4)原式＝(3x)2－(y ＋2)2＝(3x ＋y ＋2)(3x －y －2)22．解：∵a 2＋bc －ac －b 2＝0，∴a 2－b 2＋bc －ac ＝0，∴(a ＋b)(a －b)＋c(b －a)＝0，∴(a －b)(a＋b －c)＝0，∵a ＋b>c ，故 a －b ＝0，即 a ＝b △，则 ABC 是等腰三角形 23.解：(1)小红家的菜地面12米)24．解：(1)m －n (2)①(m －n)2 或②(m ＋n)2－4mn (3)(m －n)2＝(m ＋n)2－4mn ，∵a ＋b ＝7，ab ＝5，∴(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝72－4×5＝2913131 3。
人教版数学八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》测试卷（含答案）班级姓名一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2021广东深圳中考)下列运算中,正确的是()A.2a2·a=2a3B.(a2)3=a5C.a2+a3=a5D.a6÷a2=a32.(2021山东泰安中考)下列运算正确的是()A.2x2+3x3=5x5B.(-2x)3=-6x3C.(x+y)2=x2+y2D.(3x+2)(2-3x)=4-9x23.(2019湖南株洲中考)下列各选项中因式分解正确的是()A.x2-1=(x-1)2B.a3-2a2+a=a2(a-2)C.-2y2+4y=-2y(y+2)D.m2n-2mn+n=n(m-1)24.若a+b=3,x+y=1,则a2+2ab+b2-x-y+2 015的值为()A.2 023B.2 021C.2 020D.2 0195.(2021江苏南通如皋期末)如图,由4个全等的小长方形与1个小正方形密铺成正方形图案,该图案的面积为64,小正方形的面积为9,若分别用x,y(x>y)表示小长方形的长和宽,则下列关系式中不正确的是()A.x+y=8B.x-y=3C.4xy+9=64D.x2+y2=256.若3x2-5x+1=0,则5x(3x-2)-(3x+1)(3x-1)=()A.-1B.0C.1D.-27.已知多项式ax+b与2x2+2x+3的乘积展开式中不含x的一次项,且常数项为9,则a b的值为()A.18B.-18C.-8D.-68.如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线剪开拼成一个长方形(不重叠,无缝隙),则长方形的面积为()A.(2a2+5a)cm2B.(3a+15)cm2C.(6a+9)cm2D.(6a+15)cm29.(2019四川资阳中考)4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为a+b的正方形,图中空白部分的面积为S1,阴影部分的面积为S2.若S1=2S2,则a、b满足()A.2a=5bB.2a=3bC.a=3bD.a=2b10.如图,长方形ABCD的周长是10 cm,分别以AB,AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17 cm2,则长方形ABCD的面积是()A.3 cm2B.4 cm2C.5 cm2D.6 cm2二、填空题(每小题3分,共24分)11.(2021山东临沂中考)分解因式:2a3-8a=.12.(2022四川宜宾期末)化简:(8x3y3-4x2y2)÷2xy2=.13.(2019四川乐山中考)若3m=9n=2,则3m+2n=.14.(2022独家原创)如图,小明制作了一块长方形滑板模具,其长为2a,宽为a,中间开出两个边长为b的正方形孔.当a=15.7,b=4.3时,阴影部分的面积为.15.已知a2-6a+9与|b-1|互为相反数,则a3b3+2a2b2+ab的值是.16.(2022云南昆明三中期末)若(a+b)2=17,(a-b)2=11,则a2+b2=.17.李老师做了个长方形教具,其中一边长为2a+b,其邻边长为a-b,则该长方形的面积为.18.若(x2-2x-3)(x3+5x2-6x+7)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=.三、解答题(共46分)19.(2021江苏苏州中学期末)(6分)计算:(1)-2x3y2·(x2y3)2;(2)3x·x5+(-2x3)2-x12÷x6.20.(6分)计算:(1)(3x-2)(2x+3)-(x-1)2;(2)(x+2y)(x-2y)-2y(x-2y)+2xy. 21.(8分)先化简,再求值: (1)(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5),其中x=32; (2)(2a-b)2-(4a+b)(a-b)-2b 2,其中a=12,b=-13.22.(2021北京一零一中学期末)(8分)先阅读下面的内容,再解决问题: 例题:若m 2+2mn+2n 2-6n+9=0,求m 和n 的值. 解:∵m 2+2mn+2n 2-6n+9=0, ∴(m 2+2mn+n 2)+(n 2-6n+9)=0, ∴(m+n)2+(n-3)2=0,∴m+n=0,n-3=0,∴m=-3,n=3. 问题:(1)若x 2+2y 2-2xy+6y+9=0,求x 2的值;(2)已知△ABC 的三边长a,b,c 都是正整数,且满足a 2+b 2-6a-4b+13+|3-c|=0,请问△ABC 是什么形状的三角形?23.(2022河南郑州实验学校期末)(8分)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1),然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2).(1)上述操作能验证的等式是;(请选择正确的一个)A.a2-2ab+b2=(a-b)2B.b2+ab=b(a+b)C.a2-b2=(a+b)(a-b)D.a2+ab=a(a+b)(2)应用你从(1)中选出的等式,完成下列各题:①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求x的值;②计算:(1−122)(1−132)(1−142)·…·(1−12 0202)(1−12 0212).24.(10分) 许多恒等式可以借助图形的面积关系直观表达,如图①,根据图中面积关系可以得到(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2.(1)如图②,根据图中面积关系写出一个关于m、n的等式:;,则(a+b)2=;(2)利用(1)中的等式求解:若a-b=2,ab=54(3)小明用8个全等的长方形(宽为a,长为b)拼图,拼出了如图甲、乙所示的两种图案,图案甲是一个大的正方形,中间的阴影部分是边长为3的小正方形;图案乙是一个大的长方形,求a,b的值.答案全解全析1.A2a2·a=2a3,原计算正确,(a2)3=a6,原计算错误,a2与a3不是同类项,不能合并,a6÷a2=a4,原计算错误,故选A.2.D A选项,2x2与3x3不是同类项,不能合并,故该选项计算错误;B选项,(-2x)3=-8x3,故该选项计算错误;C选项,(x+y)2=x2+2xy+y2,故该选项计算错误;D选项,(3x+2)(2-3x)=22-(3x)2=4-9x2,故该选项计算正确,故选D.3.D A.x2-1=(x+1)(x-1),故此选项错误;B.a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2,故此选项错误;C.-2y2+4y=-2y(y-2),故此选项错误;D.m2n-2mn+n=n(m2-2m+1)=n(m-1)2,故此选项正确.故选D.4.A a2+2ab+b2-x-y+2 015=(a+b)2-(x+y)+2 015,当a+b=3,x+y=1时,原式=32-1+2 015=8+2 015=2 023.故选A.5.D如图,∵图案的面积为64,小正方形的面积为9,∴大正方形的边长为8,小正方形的边长为3,∴x+y=AQ+DQ=AD=8,因此选项A不符合题意;x-y=HP-EP=HE=3,因此选项B不符合题意;∵一个小长方形的面积为xy,∴4xy+9=64,因此选项C不符合题意;∵x+y=8,x-y=3,∴(x+y)2=64,(x-y)2=9,即x2+2xy+y2=64,x2-2xy+y2=9,∴x2+y2=73,2因此选项D符合题意.故选D.6.A∵3x2-5x+1=0,∴3x2-5x=-1,∴5x(3x-2)-(3x+1)(3x-1)=15x 2-10x-9x 2+1=6x 2-10x+1=2(3x 2-5x)+1=2×(-1)+1=-1.故选A. 7.C (ax+b)(2x 2+2x+3) =2ax 3+2ax 2+3ax+2bx 2+2bx+3b =2ax 3+(2a+2b)x 2+(3a+2b)x+3b,∵乘积展开式中不含x 的一次项,且常数项为9, ∴3a+2b=0且3b=9,∴a=-2,b=3, ∴a b =(-2)3=-8,故选C.8.D 长方形的面积为(a+4)2-(a+1)2=(a+4+a+1)(a+4-a-1)=3(2a+5)=(6a+15)cm 2.故选D. 9.D 由题图可知S 1=12b(a+b)×2+12ab×2+(a-b)2=a 2+2b 2,S 2=(a+b)2-S 1=(a+b)2-(a 2+2b 2) =2ab-b 2,∵S 1=2S 2,∴a 2+2b 2=2(2ab-b 2),整理得(a-2b)2=0,∴a-2b=0,∴a=2b.故选D. 10.B 设AB=x cm,AD=y cm,∵正方形ABEF 和正方形ADGH 的面积之和为17 cm 2,∴x 2+y 2=17, ∵长方形ABCD 的周长是10 cm, ∴2(x+y)=10,∴x+y=5,∵(x+y)2=x 2+2xy+y 2,∴25=17+2xy,∴xy=4, ∴长方形ABCD 的面积为4 cm 2,故选B. 11.2a(a+2)(a-2)解析 原式=2a(a 2-4)=2a(a+2)(a-2). 12.4x 2y-2x解析 原式=8x 3y 3÷2xy 2-4x 2y 2÷2xy 2=4x 2y-2x. 13.4解析 ∵3m =9n =2,∴3m+2n =3m ·32n =3m ·(32)n =3m ·9n =2×2=4. 14.456解析 阴影部分的面积=2a·a-2b 2=2(a 2-b 2)=2(a+b)(a-b), 当a=15.7,b=4.3时,阴影部分的面积=2(a+b)(a-b)=2×(15.7+4.3)×(15.7-4.3)=2×20×11.4=456.15.48解析 依题意得a 2-6a+9+|b-1|=0,即(a-3)2+|b-1|=0,则a-3=0,b-1=0,解得a=3,b=1,所以a 3b 3+2a 2b 2+ab=ab(a 2b 2+2ab+1)=ab(ab+1)2=3×(3+1)2=3×16=48. 16.14解析 (a+b)2=a 2+b 2+2ab=17①, (a-b)2=a 2+b 2-2ab=11②,①+②得2(a 2+b 2)=28,∴a 2+b 2=14. 17.2a 2-ab-b 2解析 该长方形的面积为(2a+b)(a-b)=2a 2-2ab+ab-b 2=2a 2-ab-b 2. 18.-28解析 ∵(x 2-2x-3)(x 3+5x 2-6x+7)=x 5+5x 4-6x 3+7x 2-2x 4-10x 3+12x 2-14x-3x 3-15x 2+18x-21=x 5+3x 4-19x 3+4x 2+4x-21=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x+a 0, ∴a 0=-21,a 1=4,a 2=4,a 3=-19,a 4=3,a 5=1, ∴a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=-21+4+4-19+3+1=-28. 19.解析 (1)-2x 3y 2·(x 2y 3)2=-2x 3y 2·x 4y 6=-2x 7y 8. (2)3x·x 5+(-2x 3)2-x 12÷x 6=3x 6+4x 6-x 6=6x 6.20.解析 (1)原式=6x 2+9x-4x-6-x 2+2x-1=5x 2+7x-7. (2)原式=x 2-4y 2-2xy+4y 2+2xy=x 2. 21.解析 (1)(2+x)(2-x)+(x-1)(x+5) =4-x 2+x 2+5x-x-5=4x-1, 当x=32时,原式=4×32-1=5. (2)(2a-b)2-(4a+b)(a-b)-2b 2 =4a 2-4ab+b 2-(4a 2-3ab-b 2)-2b 2=-ab, 当a=12,b=-13时,原式=-12×(-13)=16. 22.解析 (1)∵x 2+2y 2-2xy+6y+9=0, ∴x 2-2xy+y 2+y 2+6y+9=0, ∴(x-y)2+(y+3)2=0,∴x-y=0,y+3=0,解得x=-3,y=-3,∴x 2=9. (2)∵a 2+b 2-6a-4b+13+|3-c|=0, ∴a 2-6a+9+b 2-4b+4+|3-c|=0, ∴(a-3)2+(b-2)2+|3-c|=0, ∴a-3=0,b-2=0,3-c=0, 解得a=3,b=2,c=3,∴a=c≠b, ∴△ABC 是等腰三角形.23.解析 (1)题图1中阴影部分的面积是a 2-b 2, 题图2的面积是(a+b)(a-b), 则a 2-b 2=(a+b)(a-b).故选C.(2)①∵x 2-4y 2=(x+2y)(x-2y)=12,x+2y=4, ∴12=4(x-2y),∴x-2y=3,联立{x +2y =4,x-2y =3,两方程相加得2x=7,解得x=72.②(1−122)(1−132)(1−142) (1)12 0202)(1−12 0212)=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)·…·(1−12 020)(1+12 020)(1−12 021)(1+12 021) =12×32×23×43×34×54×…×1 9992 020×2 0212 020×2 0202 021×2 0222 021=12×2 0222 021=1 0112 021. 24.解析 (1)由题图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和,可得等式(m+n)2=4mn+(m-n)2.(2)由(1)中等式可得(a+b)2=(a-b)2+4ab. ∵a-b=2,ab=54,∴(a+b)2=22+4×54=9.(3)由题意得{b-2a =3,2b =3a +b,整理得{b-2a =3①,b-3a =0②,①-②,得a=3,把a=3代入②,得b-3×3=0,∴b=9,故a=3,b=9.第 11 页共 11。
第十四章 整式的乘法与因式分解(时间：60分钟 满分：100分)一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1.下列各式运算正确的是（ ）A.532a a a =+B.532a a a =⋅C.632)(ab ab = D.5210a a a =÷ 2. 计算232(3)x x ⋅-的结果是（ ）A. 56xB. 62xC.62x -D. 56x - 3．计算32)21(b a -的结果正确的是（ ） A. 2441b a B.3681b a C. 3681b a - D.5318a b - 4. 44221625)(______)45(b a b a -=+-括号内应填（ ） A 、2245b a + B 、2245b a + C 、2245b a +- D 、2245b a --5.如图，阴影部分的面积是( )A ．xy 27 B ．xy 29C ．xy 4D ．xy 2 6.()()22x a x ax a -++的计算结果是( )A. 3232x ax a +-B. 33x a -C.3232x a x a +-D.222322x ax a a ++-7．下面是某同学在一次测验中的计算摘录①325a b ab +=； ②33345m n mn m n -=-；③5236)2(3x x x -=-⋅； ④324(2)2a b a b a ÷-=-； ⑤()235a a =；⑥()()32a a a -÷-=-． 其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D. 4个8.下列分解因式正确的是( )A.32(1)x x x x -=-．B.2(3)(3)9a a a +-=-C. 29(3)(3)a a a -=+-.D.22()()x y x y x y +=+-.9. 如(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为( )．A ．0B ．3C ．－3D ．110. 若3x =15, 3y =5，则3x y -= ( )． A ．5B ．3C ．15D ．10二、填空题（本大题共有7小题，每空2分，共16分）11．计算(－3x 2y )·(213xy )＝__________． 12．计算22()()33m n m n -+--＝__________． 13．201()3π+=________ 14. 当x __________时，(x －3)0＝1．15. 若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ 16.已知4x 2＋mx ＋9是完全平方式，则m ＝_________．17. 已知5=+b a ，3ab =则22a b +=__________．18. 定义2a b a b *=-，则(12)3**= ． 三、解答题（本大题共有7小题，共54分）19．（9分）计算:（1）34223()()a b ab ÷ （2）))(()(2y x y x y x -+-+.(3)xy xy y x y x 2)232(2223÷+--20.（12分）分解因式：(1) 12abc －2bc 2； (2) 2a 3－12a 2＋18a ；(3) 9a(x －y)＋3b(x －y)； (4) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.21.（5分）先化简，再求值：()()()22x y x y x y x ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中x=3,y=122. (5分) 请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．2224()19a x y b +， ， ，23．(8分)解下列方程与不等式(1) 3(7)18(315)x x x x -=--； （2）(3)(7)8(5)(1)x x x x +-+>+-.24. （7分）数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：2962=(300－4)2=3002－2×300×(－4)+42=90000+2400+16=92416老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案.25．(8分) 下面是某同学对多项式（x 2－4x +2）（x 2－4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2－4x =y原式=（y +2）（y +6）+4 （第一步）= y 2+8y +16 （第二步）=（y +4）2 （第三步）=（x 2－4x +4）2 （第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”） 若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x +2）+1进行因式分解．参考答案1. B ；2.D ；3. C ；4 .D ；5．A6．B ；7．B ；8．C.9．C10．B11．－x 3y 3 ；12．2249m n - ； 13.109 14. ≠315．2, 116．12± ；17. 1918．-219．（1）32a b ；（2）222y xy + （3）2312x y xy --+ 20．(1)2bc(6 a －c)；(2)2a (a －3)2；(3) 3(x －y )(3a ＋b )；(4) (x ＋y ＋1)2.21.x-y 222．解：答案不惟一，如291(31)(31)b b b -=+-23.(1) 3x = (2) 1x <-24.错在“－2×300×(－4)”,应为“－2×300×4”,公式用错.∴2962=(300－4)2=3002－2×300×4 +42=90000－2400+16=87616.25．（1）C ；（2）分解不彻底；4(2)x -（3）4(1)x -。
人教版八年级数学上册《第十四章整式的乘法与因式分解》单元测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点一 整式的乘法及乘法公式1．（2024浙江温州·期末）下列运算正确的是（ ） A ．336a a a += B ．()336a a =C ．339a a a ⋅=D ．331a a ÷=2．（2024浙江嘉兴·期末）我们知道，同底数幂的乘法法则为m n m n a a a +⋅=（其中0a ≠，m ，n 为正整数）．类似地，我们规定关于任意正整数m ，n 的一种新运算：()()()f m n f m f n +=⋅．若()()40f k k =≠，那么()2024f 的结果是（ ） A ．2024kB ．2024kC ．506kD ．506k3．（2024浙江温州·期末）计算(－a 3)2的结果是 （ ） A ．－a 5B ．a 5C ．a 6D ．－a 64．（2024浙江绍兴·期末）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．25x x +B ．()36x x ++C ．()232x x ++D ．()()322x x x ++-5．（2024浙江绍兴·期末）如图所示的长方形中，甲、乙、丙、丁四个区域的面积相等，若甲区域的长是宽的2倍，则乙区域的长与宽的比为（ ）A ．4:1B ．9:2C ．5:1D ．13:3 6．设12222n a a a m =+++ 其中整数1a 2a 3an a 满足120n a a a ≤<<<（n 为正整数） 则下列说法错误的是（ ）A ．若12m = 则2n =B ．若2n = 0100m << 则满足条件的m 有21个C ．若3n = 0100m << 则m 的最大值为98D ．存在正整数m 使得1a 2a 3an a 这组数的值不唯一7．（2024浙江台州·期末）面积相等的正方形ABCD 与长方形AHGE 按如图叠放 已知AB a DE b BH c ===，， 则下列等式成立的是（ ）A ．ab bc ac +=B ．ac bc ab +=C ．2ab bc a +=D ．2ac bc a +=8．（2024浙江宁波·期末）已知12,,n a a a ⋅⋅⋅ 12,,n b b b ⋅⋅⋅（n 是正整数） 令112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=．某人用下图分析得到恒等式：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．则()2k c k n ≤≤=（ ）A ．1k k a a --B ．1k k b b --C ．k k a b ⋅D ．kka b9．（2024浙江嘉兴·期末）如图 已知正方形ABCD 和正方形CEFG 点E 在CD 边上 连接AG 交CD 于点H 连接BE BH GE ．若要求出图中阴影部分的面积 只需知道（ ）A ．正方形ABCD 的面积B ．三角形BHG 的面积C ．正方形CEFG 的面积D ．三角形ADH 的面积10．（2024浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A 和B 两部分（B 为长方形） 再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中 记一张A 纸片的面积为1S 一张B 纸片的面积为2S 若1210S S -= 则图2中阴影部分面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．1611．（2024浙江温州·期末）若2212x y -=且2x y -= 则x y +的值是（ ） A ．12B ．24C ．6D ．1412．（2024浙江宁波·期末）若10a b += 2284a b += 则ab 等于（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1013．（2024浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：1a 2a 3a …n a …（n 为正整数）．对于其中任意相邻的三个数 中间的数等于其前后两个数的积．已知22a m = ()410a m m=≠ 145a a -= 那么20242027a a +=（ ） A ．24B ．27C ．31D ．3614．（2024浙江·期末）已知多项式()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭． （1）若多项式的值与字母x 的取值无关 求m n 的值（2）在（1）的条件下 先化简多项式()()222233m mn n m mn n ++--- 再求它的值．15．（2024浙江台州·期末）为探究“十位上的数和为10 个位上的数相同”的两个数乘积的规律 现得到如下等式：26862210036⨯=⨯+⨯=⨯+37772810049⨯=⨯+456529100255353281009⨯=⨯+⨯=⨯+64442810016⋯(1)5555⨯结果的后两位为(2)设其中一个数的十位上的数为a个位上的数为b（a b均为小于10的正整数）请用含a b的代数式分别表示上述两个数并说明两个数乘积的后两位等于2b(3)若两个数的十位上的数相同个位上的数和为10 设其中一个数的个位上的数为c（c为小于10的正整数）则这两个数乘积的后两位等于（用含c的代数式表示）．16．（2024浙江绍兴·期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++ ②()2222a b a ab b -=-+．【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为()2222a b a b ab +=++()2222a b a b ab -=+- 我们把“a b +”“a b -”“22a b +”“ab ”看成两公式中的四个“结构性元件” 这样已知四个“结构性元件”中的任何两个 就能通过推理计算求出另外两个．【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答： （1）已知5x y -= 2xy = 求22x y +的值 （2）已知13x x -= 求221x x +的值 【问题解决】若()()22202320247m m -+-= 则()()20232024m m --的值为______．考点二 因式分解17．（2024浙江宁波·期末）下列从左到右的变形中 属于因式分解的是（ ）A ．()23535a a a a +-=+-B ．()()2224a a a +-=-C ．()22211a a a -+=-D ．()2222a b a b -+=-18．（2024浙江嘉兴·期末）计算：()()()()2222222221314110112310----⨯⨯⨯⨯的值为（ ）A ．99100B ．12C ．1120D ．91019．（2024浙江温州·期末）分解因式:23m m -= . 20．（2024浙江金华·期末）分解因式：16﹣4x 2= ． 21．（2024浙江宁波·期末）先阅读材料 再回答问题：分解因式：()2()21a b a b ---+解：设a b M -= 则原式2221(1)M M M =-+=- 再将a b M -=还原 得到：原式2(1)a b =--上述解题中用到的是“整体思想” 它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：()()69x y x y ++-+= ． 22．（2024浙江嘉兴·期末）分解因式： (1)()()2226x y x y -+-- (2)3222x x x --+.23．（2024浙江嘉兴·期末）（1）解方程：121x x --+=（2）求和：()()()()()()()()2399223349910022222121212121212121++++--------．24．（2024浙江宁波·期末）如果一个数能表示成2222x xy y ++（x y 是整数） 我们称这个数为“好数”.(1)写出10 11 12 … 20中的“好数”.(2)如果m n 都是“好数” 请分别判断m n +和mn 一定是“好数”吗？如果不是 请举反例说明 如果是 请说明理由.参考答案1．【答案】D【分析】根据合并同类项 同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A 3332a a a += 故选项错误 B ()339a a = 故选项错误C 336a a a ⋅= 故选项错误D 331a a ÷= 故选项正确 故此题答案为D ． 2．【答案】D【分析】根据新定义将()2024f 进行分解 再求解即可． 【详解】∵()()()f m n f m f n +=⋅ ()()40f k k =≠ ∴()()()()5065065065062024444444f f f f f k kk k ⎛⎫=+++=++=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭个个个故此题答案为D ． 3．【答案】C【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方 底数不变 指数相乘.即可得出结果 【详解】()236a a -=故此题答案为C. 4．【答案】A【分析】根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．【详解】解：A 三个阴影部分的面积分别为2x 3x 236⨯= 所以阴影部分面积为236x x ++ 故该选项符合题意B 上半部分阴影面积为：()3x x + 下半部分阴影面积为：236⨯= 所以阴影部分面积为：()36x x ++ 故该选项不符合题意C 左半部分阴影面积为：2x 右半部分阴影面积为：()32x + 所以阴影部分面积为：()232x x ++ 故该选项不符合题意D 大长方形面积：()()32x x ++ 空白处小长方形面积：2x 所以阴影部分面积为：()()322x x x ++- 故该选项不符合题意5．【答案】B【分析】设甲区域的宽为a 则长为2a 求得甲区域的面积为22a 可得四个区域组成的大长方形的面积为28a 大长方形的宽为2a 从而求得大长方形的长为4a 可得乙区域的长为3a 宽为23a 即可求解． 【详解】解：设甲区域的宽为a 则长为2a ∴甲区域的面积为22a∵甲 乙 丙 丁四个区域的面积相等∴四个区域组成的大长方形的面积为2242=8a a ⨯ 大长方形的宽为2a ∴大长方形的长为：282=4a a a ÷ ∴乙区域的长为43a a a -= ∵乙区域的面积为22a∴乙区域的宽为22233a a a ÷=∴乙区域的长与宽的比为23:=9:23a a故此题答案为B ． 6．【答案】C【分析】根据选项条件 逐项判断即可求解． 【详解】A. 若12m = 那么1222221n a a a ++=+∵3428,216== ∴1a 2a 3an a 中 最大为3当10a = 23a = 0322291+=≠ 当11a = 23a = 13222101+=≠ 当12a = 23a = 322122+=∴2n = 该选项正确 不符合题意 B. 若2n = 0100m << ∵67264,2128== ∴1a 2a 中 最大为6∴当10a =时 21,2,3,4,5,6a = 当11a =时 22,3,4,5,6a = 当12a =时 23,4,5,6a = 当13a =时 24,5,6a = 当14a =时 25,6a = 当15a =时 26a = 共有21种情况 ∴满足条件的m 有21个 该选项正确 不符合题意 C. 若3n = 0100m <<时 ∵67264,2128==∴1a 2a 3a 中 最大为6∴最大当10a = 25a = 36a =时 m 的最大值为0569798222=+≠+ 该选项错误 符合题意D. 存在正整数m 使得1a 2a 3a n a 这组数的值不唯一 该选项正确不符合题意7．【答案】A【分析】此题考查了整式混合运算的应用．根据题意得CDEF BHGF S S =长方形长方形 利用长方形的面积公式列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 与长方形AHGE 的面积相等 ∴CDEF BHGF S S =长方形长方形 ∵AB a DE b BH c ===，， ∴EF a = BF a b =-∴()ab c a b =- 整理得ab bc ac += 故此题答案为A ． 8．【答案】A【分析】此题主要考查了整式的应用 首先分析题目已知11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 可看出等式左边是图中的面积然后把左边变形后等于右边即可求解． 【详解】解：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 且112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=由图中的面积： 1122n n S a b a b a b =+++()()()()()()112321231211n n n n n n n n n a b b b b a a b b b a a b b a a b ----=+++++-+++++-++-()()()112121211n n n n n n a L a a L a a L a a L ----=+-++-+-∴1k k k c a a -=-故此题答案为A ． 9．【答案】C【分析】如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒ 设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b = AM a b DE a b =+=-， 由AGMADHDHGM SSS =+梯形 可得()()111222a a b m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 可求2a m a b=+ 则2b EH a b=+ ()2122BEHGEHb S SSEH BC CG =+=⨯+=阴影 进而可知阴影部分面积与正方形CEFG 的面积有关 然后判断作答即可．【详解】解：如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b =AM a b DE a b =+=-， ∵AGMADHDHGM S SS =+梯形∴()111222GM AM DH AD DH GM DM ⨯=⨯++⨯ 即()()111222a ab m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 解得2a m a b=+∴()22a b EH DH DE a b a b a b=-=--=++ ∴()()2211222BEHGEHb b S SSEH BC CG a b a b =+=⨯+=⨯⨯+=+阴影 ∴当已知正方形CEFG 的面积时 可求阴影部分面积 故此题答案为C ． 10．【答案】C【分析】设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图1和图2得出3a b =和2c b = 再利用1210S S -=得到22b = 再表示出()2257S b a b a b =+⋅-=阴影代入计算即可．【详解】解：将B 向左推 可得如图设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图2是正方形 得()2a a b a b +-=+ 即3a b =由图（2）两个A 的位置 可得c b a +=即2c b = ∴图2正方形边长为25a b b +=∴()553PQ b a a c b b b b =---=--= 32HQ b b b =-= ∵1210S S -= ∴210a bc bc --= ∴22b =∴()225714S b a b a b =+⋅-==阴影故此题答案为C ．11．【答案】C【分析】根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：∵2212,2x y x y -=-= ∴()()12x y x y +-=∴6x y += 故此题答案为C ． 12．【答案】B【分析】将10a b +=两边同时平方 然后根据完全平方公式的变形进行求解即可. 【详解】解：∵10a b += 2284a b += ∴()2222100a b a ab b +=++= 即842100ab += ∴8ab = 故此题答案为B 13．【答案】B【分析】根据题意 计算可得 1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m= 61a m=7a m = 28a m = 9a m = ……可推导一般性规律为每6个数为一个循环 则220242a a m == 2027521a a m ==22024202721a a m m +=+ 由145a a -= 可得15-=m m则221225-+=m m 计算求解 然后作答即可． 【详解】解：由题意知 324a a a m =⋅= 213a a m a == 45231a a a m== 5641a a a m ==同理 7a m = 28a m = 9a m = ∴1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m = 61a m= 7a m = 28a m = 9a m = ……∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环 ∵202463372÷= 202763375÷=∴220242a a m == 2027521a a m ==∴22024202721a a m m +=+∵145a a -= ∴15-=m m 则221225-+=m m解得 22127+=m m ∴2024202727a a += 故此题答案为B ．14．【答案】（1）3m = 1n =- （2）244mn n + 8-【分析】（1）先将多项式化简 然后根据多项式的值与字母x 的取值无关 可得到10,30n m +=-= 即可求解（2）先去括号 再合并同类项 最后将3m = 1n =-代入即可求解．【详解】解：（1）()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭22133212x mx y x y nx =+-+-+-+ ()()231322n x m x y =++-++ ∵多项式的值与字母x 的取值无关 ∴10,30n m +=-= 解得：3m = 1n =-（2）()()222233m mn n m mn n ++---22223333m mn n m mn n =++-++ 244mn n =+．当3m = 1n =-时 原式()()2431418=⨯⨯-+⨯-=-．【关键点拨】此题主要考查了整式加减中的化简求值和无关型问题 熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 15．【答案】(1)25(2)10a b + 10010a b -+ 说明见解析 (3)210c c -【分析】此题考查数字类规律探究 整式的乘法运算．正确的表示出两位数 多项式乘多项式的法则 是解题的关键．（1）根据给定的等式 得到个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 求解即可（2）表示出两个两位数 进行相乘后 即可得出结果（3）设十位上的数字为a 表示出两个两位数 相乘后即可得出结果．【详解】（1）解：观察题干中的等式可知：个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 ∵5525⨯=∴5555⨯结果的后两位为25 故此题答案为：25．（2）解：由题意 两个两位数分别表示为：10a b + ()101010010a b a b -+=-+∴()()2101001010001001010010a b a b a a ab b ab b +-+=-++-+21000100100a a b b =-++∴两个数乘积的后两位等于2b（3）设十位上的数字为a 则两个两位数分别表示为：10a c + 1010a c +- ∴两个数的乘积为：()()22101010100100101010a c a c a a ac ac c c ++-=+-++-2210010010a a c c =++-∴这两个数乘积的后两位等于210c c - 故此题答案为：210c c -． 16．【答案】（1）29 （2）11（问题解决）3-【分析】（1）将5x y -=左右两边进行平方 再将2xy =代入原式即可求解 （2）将13x x-=左右两边进行平方 化简即可求解 （3）设2023m a -= 2024m b -= 由202320241m m -+-=- 可得1a b -=+ 将1a b -=+左右两边进行平方2221a ab b ++= 再将2023m a -= 2024m b -=()()22202320247m m -+-=代入原式化简即可求解．【详解】（1）解：将5x y -=左右两边进行平方可得22225x xy y -+=将2xy =代入上式 可得222225x y -⨯+= 解得：2225429x y +=+=． （2）解：将13x x-=左右两边进行平方 可得：22112?9x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即：22129x x -+= 解得：22111x x +=． （问题解决）解：设2023m a -= 2024m b -= ∵202320241m m a b -+-=-=+ ∴()22221a b a ab b +=++= ∵2023m a -= 2024m b -=∴()()()()22202320242202320241m m m m -+-+--= ∵()()22202320247m m -+-= ∴()()72202320241m m +--= 化简可得()()202320243m m --=- 17．【答案】C【分析】根据因式分解的定义 结合因式分解的是多项式 分解的结果是积的形式 进行判断即可．【详解】解：A 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 B 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 C 是因式分解 符合题意D ()22221a b a b -+=-+ 选项错误 不合题意 故此题答案为C ．18．【答案】C 【详解】原式()()()()()()()()2121313141411011011122331010-+-+-+-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1324359111122331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111210=⨯⨯1120=故此题答案为C ． 19．【答案】(3)m m -【分析】用提取公因式法即可得到结果.【详解】原式=()3m m -. 20．【答案】4（2+x ）（2﹣x ） 【详解】原式=4(4-x 2)=4(2+x )(2-x ) 21．【答案】()23x y +-【分析】设x y N += 将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：设x y N += 则原式(6)9N N =-+269N N =-+2(3)N =-将x y N +=还原可得原式2(3)x y =+- 22．【答案】(1)()()2223x y x y ---+ (2)()()()112x x x +--【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可 （2）先分组 再提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）原式()()2223x y x y =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2223x y x y =---+（2）原式()()3222x x x =---()()222x x x =--- ()()212x x =--()()()112x x x =+--．23．【答案】（1）=1x - （2）1001002221--【分析】（1）根据绝对值的意义 分情况讨论 去掉绝对值符号 解方程即可 （2）将原式进行变形 再计算即可． 【详解】（1）解：当1x >时 ()121x x --+=31-=不成立当21x -≤≤时 ()121x x --+= 解得=1x -当<2x -时 121x x -++=31=不成立综上 =1x - （2）原式2233499100111111112121212121212121=-+-+-++--------- 1001121=--1001002221-=-． 24．【答案】(1)10 13 16 17 18 20(2)m n +不一定是“好数” 详见解析 mn 一定是“好数” 详见解析【分析】此题主要考查了因式分解的应用 完全平方数 新定义 理解并灵活运用新定义是解此题的关键．（1）根据“好数”的意义判断 即可得出结论（2）举一个反例判断m n +即可 设22m a b =+ 22n c d =+ (a b c d 均为整数） 则222222()(()()mn a b c d ac bd ad bc =++=++- 依此即可求解． 【详解】（1）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）10∴ 11 12 ⋯ 20中2210(21)1=++ 2213(12)2=++ 22160(04)=++ 2217(13)1=++ 2218(03)3=++ 2220(22)2=++能表示成2222(x xy y x ++ y 是整数） 故“好数”有：10 13 16 17 18 20 （2）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）∴一个数能够表示成两个整数的平方和 这个数即为“好数”判断：m n + 不一定是“好数”若22101m ==+ 22211n ==+ 则m n 均为“好数” 但3m n += 而3不能写成两个整数的平方和 不是“好数” ∴当m n 为“好数”时 m n + 不一定是“好数”判断mn 一定是“好数” 理由如下：mn 为“好数”设22m a b =+ 22n c d =+ 则2222()()mn a b c d =++22222222a c a d b c b d =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++-a b c d均为整数ac bd ∴+ ad bc -为整数 mn ∴一定是“好数”．参考答案考点一 整式的乘法及乘法公式1．（2024浙江温州·期末）下列运算正确的是（ ） A ．336a a a += B ．()336a a =C ．339a a a ⋅=D ．331a a ÷=【答案】D【分析】根据合并同类项 同底数幂的乘除法以及幂的乘方法则逐项判断即可． 【详解】解：A 3332a a a += 故选项错误 B ()339a a = 故选项错误C 336a a a ⋅= 故选项错误D 331a a ÷= 故选项正确 故此题答案为D ．2．（2024浙江嘉兴·期末）我们知道 同底数幂的乘法法则为m n m n a a a +⋅=（其中0a ≠ m n 为正整数）．类似地 我们规定关于任意正整数m n 的一种新运算：()()()f m n f m f n +=⋅．若()()40f k k =≠ 那么()2024f 的结果是（ ） A ．2024k B ．2024k C ．506k D ．506k【答案】D【分析】根据新定义将()2024f 进行分解 再求解即可． 【详解】∵()()()f m n f m f n +=⋅ ()()40f k k =≠ ∴()()()()5065065065062024444444f f f f f k kk k ⎛⎫=+++=++=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭个个个故此题答案为D ．3．（2024浙江温州·期末）计算(－a 3)2的结果是 （ ） A ．－a 5B ．a 5C ．a 6D ．－a 6【答案】C【分析】根据幂的乘方法则：幂的乘方 底数不变 指数相乘.即可得出结果 【详解】()236a a -=故此题答案为C.4．（2024浙江绍兴·期末）下面四个整式中 不能表示图中阴影部分面积的是（ ）A ．25x x +B ．()36x x ++C ．()232x x ++D ．()()322x x x ++-【答案】A【分析】根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．【详解】解：A 三个阴影部分的面积分别为2x 3x 236⨯= 所以阴影部分面积为236x x ++ 故该选项符合题意B 上半部分阴影面积为：()3x x + 下半部分阴影面积为：236⨯= 所以阴影部分面积为：()36x x ++ 故该选项不符合题意C 左半部分阴影面积为：2x 右半部分阴影面积为：()32x + 所以阴影部分面积为：()232x x ++ 故该选项不符合题意D 大长方形面积：()()32x x ++ 空白处小长方形面积：2x 所以阴影部分面积为：()()322x x x ++- 故该选项不符合题意 故此题答案为A ．5．（2024浙江绍兴·期末）如图所示的长方形中 甲 乙 丙 丁四个区域的面积相等 若甲区域的长是宽的2倍 则乙区域的长与宽的比为（ ）A ．4:1B ．9:2C ．5:1D ．13:3【答案】B【分析】设甲区域的宽为a 则长为2a 求得甲区域的面积为22a 可得四个区域组成的大长方形的面积为28a 大长方形的宽为2a 从而求得大长方形的长为4a 可得乙区域的长为3a 宽为23a 即可求解． 【详解】解：设甲区域的宽为a 则长为2a ∴甲区域的面积为22a∵甲 乙 丙 丁四个区域的面积相等∴四个区域组成的大长方形的面积为2242=8a a ⨯ 大长方形的宽为2a ∴大长方形的长为：282=4a a a ÷ ∴乙区域的长为43a a a -= ∵乙区域的面积为22a∴乙区域的宽为22233a a a ÷=∴乙区域的长与宽的比为23:=9:23a a故此题答案为B ．6．（2024浙江嘉兴·期末）设12222n a a a m =+++ 其中整数1a 2a 3ana 满足120n a a a ≤<<<（n 为正整数） 则下列说法错误的是（ ）A ．若12m = 则2n =B ．若2n = 0100m << 则满足条件的m 有21个C ．若3n = 0100m << 则m 的最大值为98D ．存在正整数m 使得1a 2a 3a n a 这组数的值不唯一【答案】C【分析】根据选项条件 逐项判断即可求解． 【详解】A. 若12m = 那么1222221n a a a ++=+∵3428,216== ∴1a 2a 3an a 中 最大为3当10a = 23a = 0322291+=≠ 当11a = 23a = 13222101+=≠ 当12a = 23a = 322122+=∴2n = 该选项正确 不符合题意 B. 若2n = 0100m << ∵67264,2128== ∴1a 2a 中 最大为6∴当10a =时 21,2,3,4,5,6a = 当11a =时 22,3,4,5,6a = 当12a =时 23,4,5,6a = 当13a =时 24,5,6a = 当14a =时 25,6a = 当15a =时 26a = 共有21种情况 ∴满足条件的m 有21个 该选项正确 不符合题意 C. 若3n = 0100m <<时 ∵67264,2128==∴1a 2a 3a 中 最大为6∴最大当10a = 25a = 36a =时 m 的最大值为0569798222=+≠+ 该选项错误 符合题意D. 存在正整数m 使得1a 2a 3a n a 这组数的值不唯一 该选项正确不符合题意 故此题答案为C ．7．（2024浙江台州·期末）面积相等的正方形ABCD 与长方形AHGE 按如图叠放 已知AB a DE b BH c ===，， 则下列等式成立的是（ ）A ．ab bc ac +=B ．ac bc ab +=C ．2ab bc a +=D ．2ac bc a +=【答案】A【分析】此题考查了整式混合运算的应用．根据题意得CDEF BHGF S S =长方形长方形 利用长方形的面积公式列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 与长方形AHGE 的面积相等 ∴CDEF BHGF S S =长方形长方形 ∵AB a DE b BH c ===，， ∴EF a = BF a b =-∴()ab c a b =- 整理得ab bc ac += 故此题答案为A ．8．（2024浙江宁波·期末）已知12,,n a a a ⋅⋅⋅ 12,,n b b b ⋅⋅⋅（n 是正整数） 令112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=．某人用下图分析得到恒等式：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+．则()2k c k n ≤≤=（ ）A ．1k k a a --B ．1k k b b --C ．k k a b ⋅D ．kka b【答案】A【分析】此题主要考查了整式的应用 首先分析题目已知11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 可看出等式左边是图中的面积然后把左边变形后等于右边即可求解．【详解】解：11221122n n k k n n a b a b a b a L c L c L c L ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ 且112n L b b b =++⋅⋅⋅+ 223n L b b b =++⋅⋅⋅+ ,n n L b ⋅⋅⋅=由图中的面积：1122n n S a b a b a b =+++()()()()()()112321231211n n n n n n n n n a b b b b a a b b b a a b b a a b ----=+++++-+++++-++-()()()112121211n n n n n n a L a a L a a L a a L ----=+-++-+-∴1k k k c a a -=-故此题答案为A ．9．（2024浙江嘉兴·期末）如图 已知正方形ABCD 和正方形CEFG 点E 在CD 边上 连接AG 交CD 于点H 连接BE BH GE ．若要求出图中阴影部分的面积 只需知道（ ）A ．正方形ABCD 的面积B ．三角形BHG 的面积C ．正方形CEFG 的面积D ．三角形ADH 的面积【答案】C【分析】如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒ 设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b = AM a b DE a b =+=-， 由AGMADHDHGM SSS =+梯形 可得()()111222a a b m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 可求2a m a b=+ 则2b EH a b=+ ()2122BEHGEHb S SSEH BC CG =+=⨯+=阴影 进而可知阴影部分面积与正方形CEFG 的面积有关 然后判断作答即可．【详解】解：如图 延长GF 交AD 的延长线于M 则90M ∠=︒设正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长分别为a b ， DH m = 则GM a = DM b =AM a b DE a b =+=-， ∵AGMADHDHGM S SS =+梯形∴()111222GM AM DH AD DH GM DM ⨯=⨯++⨯ 即()()111222a ab m a m a b ⨯+=⨯++⨯ 解得2a m a b=+∴()22a b EH DH DE a b a b a b=-=--=++ ∴()()2211222BEHGEHb b S SSEH BC CG a b a b =+=⨯+=⨯⨯+=+阴影 ∴当已知正方形CEFG 的面积时 可求阴影部分面积 故此题答案为C ．10．（2024浙江温州·期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A 和B 两部分（B 为长方形） 再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中 记一张A 纸片的面积为1S 一张B 纸片的面积为2S 若1210S S -= 则图2中阴影部分面积为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图1和图2得出3a b =和2c b = 再利用1210S S -=得到22b = 再表示出()2257S b a b a b =+⋅-=阴影代入计算即可．【详解】解：将B 向左推 可得如图设图1正方形纸片边长为a B 部分的宽为b 长为c 根据图2是正方形 得()2a a b a b +-=+ 即3a b =由图（2）两个A 的位置 可得c b a +=即2c b = ∴图2正方形边长为25a b b +=∴()553PQ b a a c b b b b =---=--= 32HQ b b b =-= ∵1210S S -= ∴210a bc bc --= ∴22b =∴()225714S b a b a b =+⋅-==阴影故此题答案为C ．11．（2024浙江温州·期末）若2212x y -=且2x y -= 则x y +的值是（ ） A ．12 B ．24 C ．6 D ．14【答案】C【分析】根据题意及平方差公式可直接进行求解． 【详解】解：∵2212,2x y x y -=-= ∴()()12x y x y +-= ∴6x y += 故此题答案为C ．12．（2024浙江宁波·期末）若10a b += 2284a b += 则ab 等于（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】B【分析】将10a b +=两边同时平方 然后根据完全平方公式的变形进行求解即可. 【详解】解：∵10a b += 2284a b += ∴()2222100a b a ab b +=++= 即842100ab += ∴8ab = 故此题答案为B13．（2024浙江嘉兴·期末）一组有序排列的数：1a 2a 3a … n a …（n 为正整数）．对于其中任意相邻的三个数 中间的数等于其前后两个数的积．已知22a m = ()410a m m=≠ 145a a -= 那么20242027a a +=（ ） A ．24 B ．27 C ．31 D ．36【答案】B【分析】根据题意 计算可得 1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m= 61a m=7a m = 28a m = 9a m = ……可推导一般性规律为每6个数为一个循环 则220242a a m == 2027521a a m ==22024202721a a m m +=+ 由145a a -= 可得15-=m m则221225-+=m m 计算求解 然后作答即可． 【详解】解：由题意知 324a a a m =⋅= 213a a m a == 45231a a a m== 5641a a a m ==同理 7a m = 28a m = 9a m = ∴1a m = 22a m = 3a m = 41a m =521a m = 61a m= 7a m = 28a m = 9a m = ……∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环 ∵202463372÷= 202763375÷=∴220242a a m == 2027521a a m ==∴22024202721a a m m +=+∵145a a -= ∴15-=m m 则221225-+=m m解得 22127+=m m ∴2024202727a a += 故此题答案为B ．14．（2024浙江·期末）已知多项式()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭．（1）若多项式的值与字母x 的取值无关 求m n 的值（2）在（1）的条件下 先化简多项式()()222233m mn n m mn n ++--- 再求它的值． 【答案】（1）3m = 1n =- （2）244mn n + 8-【分析】（1）先将多项式化简 然后根据多项式的值与字母x 的取值无关 可得到10,30n m +=-= 即可求解（2）先去括号 再合并同类项 最后将3m = 1n =-代入即可求解．【详解】解：（1）()22133212x mx y x y nx ⎛⎫+-+--+- ⎪⎝⎭22133212x mx y x y nx =+-+-+-+ ()()231322n x m x y =++-++ ∵多项式的值与字母x 的取值无关 ∴10,30n m +=-= 解得：3m = 1n =-（2）()()222233m mn n m mn n ++---22223333m mn n m mn n =++-++ 244mn n =+．当3m = 1n =-时 原式()()2431418=⨯⨯-+⨯-=-．【关键点拨】此题主要考查了整式加减中的化简求值和无关型问题 熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．15．（2024浙江台州·期末）为探究“十位上的数和为10 个位上的数相同”的两个数乘积的规律 现得到如下等式：26862210036⨯=⨯+ 37772810049⨯=⨯+ 45652910025⨯=⨯+ 5353281009⨯=⨯+64442810016⨯=⨯+⋯(1)5555⨯结果的后两位为(2)设其中一个数的十位上的数为a 个位上的数为b （a b 均为小于10的正整数） 请用含a b 的代数式分别表示上述两个数 并说明两个数乘积的后两位等于2b (3)若两个数的十位上的数相同 个位上的数和为10 设其中一个数的个位上的数为c （c 为小于10的正整数） 则这两个数乘积的后两位等于 （用含c 的代数式表示）． 【答案】(1)25(2)10a b + 10010a b -+ 说明见解析 (3)210c c -【分析】此题考查数字类规律探究 整式的乘法运算．正确的表示出两位数 多项式乘多项式的法则 是解题的关键．（1）根据给定的等式 得到个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 求解即可（2）表示出两个两位数 进行相乘后 即可得出结果（3）设十位上的数字为a 表示出两个两位数 相乘后即可得出结果．【详解】（1）解：观察题干中的等式可知：个位数字乘个位数字的乘积直接作为积的后两位 ∵5525⨯=∴5555⨯结果的后两位为25 故此题答案为：25．（2）解：由题意 两个两位数分别表示为：10a b + ()101010010a b a b -+=-+ ∴()()2101001010001001010010a b a b a a ab b ab b +-+=-++-+21000100100a a b b =-++∴两个数乘积的后两位等于2b（3）设十位上的数字为a 则两个两位数分别表示为：10a c + 1010a c +- ∴两个数的乘积为：()()22101010100100101010a c a c a a ac ac c c ++-=+-++-2210010010a a c c =++-∴这两个数乘积的后两位等于210c c - 故此题答案为：210c c -．16．（2024浙江绍兴·期末）【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式： ①()2222a b a ab b +=++ ②()2222a b a ab b -=-+．【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为()2222a b a b ab +=++()2222a b a b ab -=+- 我们把“a b +”“a b -”“22a b +”“ab ”看成两公式中的四个“结构性元件” 这样已知四个“结构性元件”中的任何两个 就能通过推理计算求出另外两个．【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答： （1）已知5x y -= 2xy = 求22x y +的值（2）已知13x x -= 求221x x+的值 【问题解决】若()()22202320247m m -+-= 则()()20232024m m --的值为______． 【答案】（1）29 （2）11（问题解决）3-【分析】（1）将5x y -=左右两边进行平方 再将2xy =代入原式即可求解 （2）将13x x-=左右两边进行平方 化简即可求解 （3）设2023m a -= 2024m b -= 由202320241m m -+-=- 可得1a b -=+ 将1a b -=+左右两边进行平方2221a ab b ++= 再将2023m a -= 2024m b -=()()22202320247m m -+-=代入原式化简即可求解．【详解】（1）解：将5x y -=左右两边进行平方可得22225x xy y -+=将2xy =代入上式 可得222225x y -⨯+= 解得：2225429x y +=+=． （2）解：将13x x-=左右两边进行平方 可得：22112?9x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即：22129x x -+= 解得：22111x x +=． （问题解决）解：设2023m a -= 2024m b -= ∵202320241m m a b -+-=-=+ ∴()22221a b a ab b +=++= ∵2023m a -= 2024m b -=∴()()()()22202320242202320241m m m m -+-+--=∵()()22202320247m m -+-= ∴()()72202320241m m +--= 化简可得()()202320243m m --=-考点二 因式分解17．（2024浙江宁波·期末）下列从左到右的变形中 属于因式分解的是（ ）A ．()23535a a a a +-=+-B ．()()2224a a a +-=-C ．()22211a a a -+=- D ．()2222a b a b -+=-【答案】C【分析】根据因式分解的定义 结合因式分解的是多项式 分解的结果是积的形式 进行判断即可．【详解】解：A 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 B 最后结果不是乘积的形式 不属于因式分解 故不符合题意 C 是因式分解 符合题意D ()22221a b a b -+=-+ 选项错误 不合题意 故此题答案为C ．18．（2024浙江嘉兴·期末）计算：()()()()2222222221314110112310----⨯⨯⨯⨯的值为（ ）A ．99100B ．12C ．1120D ．910【答案】C 【详解】原式()()()()()()()()2121313141411011011122331010-+-+-+-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1324359111122331010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111210=⨯⨯1120=故此题答案为C ．19．（2024浙江温州·期末）分解因式:23m m -= . 【答案】(3)m m -【分析】用提取公因式法即可得到结果.【详解】原式=()3m m -.20．（2024浙江金华·期末）分解因式：16﹣4x 2= ．【答案】4（2+x ）（2﹣x ）【详解】原式=4(4-x 2)=4(2+x )(2-x )21．（2024浙江宁波·期末）先阅读材料 再回答问题：分解因式：()2()21a b a b ---+解：设a b M -= 则原式2221(1)M M M =-+=- 再将a b M -=还原 得到：原式2(1)a b =--上述解题中用到的是“整体思想” 它是数学中常用的一种思想． 请你用整体思想分解因式：()()69x y x y ++-+= ． 【答案】()23x y +-【分析】设x y N += 将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：设x y N += 则原式(6)9N N =-+269N N =-+2(3)N =-将x y N +=还原可得原式2(3)x y =+-22．（2024浙江嘉兴·期末）分解因式： (1)()()2226x y x y -+-- (2)3222x x x --+【答案】(1)()()2223x y x y ---+ (2)()()()112x x x +--【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式即可 （2）先分组 再提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）原式()()2223x y x y =---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2223x y x y =---+（2）原式()()3222x x x =---()()222x x x =--- ()()212x x =--()()()112x x x =+--．23．（2024浙江嘉兴·期末）（1）解方程：121x x --+=（2）求和：()()()()()()()()2399223349910022222121212121212121++++--------．【答案】（1）=1x - （2）1001002221--【分析】（1）根据绝对值的意义 分情况讨论 去掉绝对值符号 解方程即可 （2）将原式进行变形 再计算即可． 【详解】（1）解：当1x >时 ()121x x --+=31-=不成立当21x -≤≤时 ()121x x --+= 解得=1x -当<2x -时 121x x -++=31=不成立综上 =1x - （2）原式2233499100111111112121212121212121=-+-+-++--------- 1001121=--1001002221-=-．24．（2024浙江宁波·期末）如果一个数能表示成2222x xy y ++（x y 是整数） 我们称这个数为“好数”.(1)写出10 11 12 … 20中的“好数”.(2)如果m n 都是“好数” 请分别判断m n +和mn 一定是“好数”吗？如果不是 请举反例说明 如果是 请说明理由. 【答案】(1)10 13 16 17 18 20(2)m n +不一定是“好数” 详见解析 mn 一定是“好数” 详见解析【分析】此题主要考查了因式分解的应用 完全平方数 新定义 理解并灵活运用新定义是解此题的关键．（1）根据“好数”的意义判断 即可得出结论（2）举一个反例判断m n +即可 设22m a b =+ 22n c d =+ (a b c d 均为整数） 则222222()(()()mn a b c d ac bd ad bc =++=++- 依此即可求解． 【详解】（1）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）10∴ 11 12 ⋯ 20中2210(21)1=++ 2213(12)2=++ 22160(04)=++ 2217(13)1=++ 2218(03)3=++ 2220(22)2=++能表示成2222(x xy y x ++ y 是整数） 故“好数”有：10 13 16 17 18 20 （2）一个“好数”能表示成222222()x xy y x x y ++=++ (x y 是整数）∴一个数能够表示成两个整数的平方和 这个数即为“好数”判断：m n + 不一定是“好数”若22101m ==+ 22211n ==+ 则m n 均为“好数” 但3m n += 而3不能写成两个整数的平方和 不是“好数” ∴当m n 为“好数”时 m n + 不一定是“好数”判断mn 一定是“好数” 理由如下：mn 为“好数”设22m a b =+ 22n c d =+ 则2222()()mn a b c d =++22222222a c a d b c b d =+++2222222222a c abcd b d a d abcd b c =+++-+22()()ac bd ad bc =++-a b c d均为整数ac bd ∴+ ad bc -为整数 mn ∴一定是“好数”．。
