2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）（数三）若a a n n =∞→lim ，且0≠a ，则当n 充分大时有（ ）（A ）2a a n >（B ）2a a n <（C ）n a a n 1-> （D ）na a n 1+<（2）（数二）当0x +→时，若ln (12)x α+，1(1cos )x α-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2（3）（数一、二、三）下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+（4）（数三）设23()P x a bx cx dx =+++，当0→x 时，若()tan P x x -是比3x 高阶的无穷小，则下列选项中错误．．的是（ ） （A ）0=a （B ）1=b （C ）0=c （D ）61=d（5）（数一、二、三）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ （6）（数二）曲线227,41x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ）（A （B （C ）（D ）（7）（数二）设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）12 （D ）13（8）（数二）设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20u x y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得（9）（数一）设(,)f x y 是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）（A ）11010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰（B ）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy --+⎰⎰⎰⎰（C ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r dr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（D ）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr ππθθπθθθθθθ++⎰⎰⎰⎰（10）（数一） 若{}2211,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ππππ--∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）（A ）2sin x （B ）2cos x （C ）2sin x π （D ）2cos x π（11）（数一、二、三）行列式0000000ab a bcd c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d -（12）（数一、二、三）设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分也非必要条件（13）（数一、三）设随机事件A 与B 相互独立，且3.0)(,5.0)(=-=B A P B P ，则=-)(A B P （ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（14）（数一）设连续型随机变量1X 与2X 相互独立且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度为)]()([21)(211y f y f y f Y +=，随机变量)(21212X X Y +=，则（ ）（A ）2121,DY DY EY EY >> （B ）2121,DY DY EY EY == （C ）2121,DY DY EY EY <= （D ）2121,DY DY EY EY >=（15）（数三）若321,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ的简单随机样本，则统计量3212X X X S -=服从的分布为（ ）（A ）)1,1(F （B ）)1,2(F （C ）)1(t （D ）)2(t二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （1）（数一）曲面)sin 1()sin 1(22x y y x z -+-=在点)1,0,1(处的切平面方程为 .（2）（数三）设某商品的需求函数为P Q 240-=（P 为商品的价格），则该商品的边际收益为 .（3）（数二）12125dx x x -∞=++⎰ .（4）（数一、二）设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且()2(1)f x x '=-，[0,2]x ∈，则(7)f = .（5）（数三）设D 是由曲线01=+xy 与直线0=+x y 及2=y 围成的有界区域，则D 的面积为 .（6）（数三） 设412=⎰dx xe ax ，则a = .（7）（数三）二次积分22110()xy y e dy e dx x-=⎰⎰ . （8）（数二）设(,)z z x y =是由方程2274yz e x y z +++=确定的函数，则11(,)22dz = .（9）（数一）微分方程0)ln (ln =-+'y x y y x 满足条件3)1(e y =的解为y = .（10）（数二）曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22r ππθ=处的切线的直角坐标方程是 .（11）（数二）一根长度为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = .（12）（数一）设L 是柱面122=+y x 与平面0=+z y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分Lzdx ydz +=⎰Ñ .（13）（数一、二、三）设二次型3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .（14）（数一）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，nX X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若∑=ni iXc 12为2θ的无偏估计，则c = .设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,02,32),(2θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，nX X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，若212θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=n i i X c E ，则c = .三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （1）（数一、二、三）求极限)11ln(])1([lim2112xx dtt e txtx +--⎰+∞→（2）（数一）设函数)(x f y =是由方程32260y xy x y +++=确定，求)(x f 的极值. （3）（数二）已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值. （4）（数二、三）设平面区域{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，计算D.设函数)(u f 具有连续导数，)cos (y e f z x=满足cos sin (4cos )x x z zyy z e y e x y∂∂-=+∂∂，若0)0(=f ，求)(u f 的表达式.（6）（数一、二）设函数)(u f 具有2阶连续导数，)cos (y e f z x=满足22222(4cos )x x z z z e y e x y∂∂+=+∂∂，若0)0(,0)0(='=f f ，求)(u f 的表达式. （7）（数二、三）设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（Ⅱ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(（8）（数二）设函数()1xf x x=+，[0,1]x ∈.定义函数列： 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，L ，1()(())n n f x f f x -=，L记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.（9）（数二）已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积.（10）（数一）设∑为曲面)1(22≤+=z y x z 的上侧，计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x I )1()1()1(33-+-+-=⎰⎰∑（11）（数三） 求幂级数0(1)(3)nn n n x∞=++∑的收敛域及和函数.（12）（数一）设数列}{},{n n b a 满足n n n n n b a a b a cos cos ,20,20=-<<<<ππ，且级数1n n b ∞=∑收敛.（Ⅰ）证明：;0lim =∞→n n a（Ⅱ）证明：级数∑∞=1n nnb a 收敛.（13）（数一、二、三）设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为3阶单位矩阵. （Ⅰ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （Ⅱ）求满足E AB =的所有矩阵B .（14）（数一、二、三）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111ΛM O M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似（15）（数一、三）设随机变量X 的概率分布为21}2{}1{====X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布)2,1)(,0(=i i U ，（Ⅰ）求Y 的分布函数)(y F Y ；（Ⅱ）求EY（16）（数三）设随机变量Y X ,的概率分布相同，X 的概率分布为32}1{,31}0{====X P X P ，且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ. （Ⅰ）求),(Y X 的概率分布；（Ⅱ）求}1{≤+Y X P .（17）（数一）设总体X 的分布函数21,0(;)0,0x e x F x x θθ-⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩，其中θ是未知参数且大于零， 12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本. （Ⅰ）求EX 与2EX ；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量ˆnθ； （Ⅲ）是否存在实数a ，使得对任何0ε>，都有{}ˆlim 0n n P a θε→∞-≥=？。
