因式分解培优题(超全面、详细分类)资料讲解

精品文档 精品文档 因式分解专题 培优 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 因式分解的一般方法及考虑顺序： 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法． 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法． 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）公式法；（3）十字相乘法；（4）分组分解法．

一、运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

(1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)an－bn=(a－b)(an－1+an－2b+an－3b2+…+abn－2+bn－1)，其中n为正整数； (8)an－bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…+abn－2－bn－1)，其中n为偶数； (9)an+bn=(a+b)(an－1－an－2b+an－3b2－…－abn－2+bn－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

例题1 分解因式：

(1)－2x5n－1yn+4x3n－1yn+2－2xn－1yn+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7． 精品文档 精品文档 例题2 分解因式：a3+b3+c3－3abc．

例题3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．

对应练习题 分解因式： 2211(1)94nnxxy；

(2) x10+x5－2 422332223(3)244(4)4xxyxyxyyxy

(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2－x5 (5) 9(a-b)2+12(a2-b2)+4(a+b)2 (6) (a-b)2-4(a-b-1) （7）(x+y)3+2xy(1－x－y)－1 精品文档

精品文档 二、分组分解法 （一）分组后能直接提公因式 例题1 分解因式：bnbmanam

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系.此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提.

例题2 分解因式：bxbyayax5102

对应练习题 分解因式： 1、bcacaba2 2、1yxxy

（二）分组后能直接运用公式 例题3 分解因式：ayaxyx22

例题4 分解因式：2222cbaba

对应练习题 分解因式： 3、yyxx3922 4、yzzyx2222 精品文档

精品文档 综合练习题 分解因式： （1）3223yxyyxx （2）baaxbxbxax22

（3）181696222aayxyx （4）abbaba4912622 （5）92234aaa （6）ybxbyaxa222244 （7）222yyzxzxyx （8）122222abbbaa （9）)1)(1()2(mmyy （10）)2())((abbcaca （11）abcbaccabcba2)()()(222 （12）432234232.aabababb （13）22)()(bxaybyax （14）333333333)(yxxzzyzyxxyz （15）aaxaxx2242 （16）axaxx2)2(323 （17）)53(4)3()1(33xxx 精品文档

精品文档 三、十字相乘法 1、十字相乘法 （一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解. 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和.

例题1 分解因式：652xx

例题2 分解因式：672xx

对应练习题 分解因式： (1)24142xx (2)36152aa (3)542xx

(4)22xx (5)1522yy (6)24102xx （二）二次项系数不为1的二次三项式——2axbxc 条件：（1）21aaa 1a 1c （2）21ccc 2a 2c （3）1221cacab 1221cacab 分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa 例题3 分解因式：101132xx

对应练习题 分解因式： （1）6752xx （2）2732xx

（3）317102xx （4）101162yy 精品文档 精品文档 （三）二次项系数为1的齐次多项式 例题4 分解因式：221288baba

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解. 1 8b 1 －16b 8b+(－16b)= －8b

对应练习题 分解因式： (1)2223yxyx (2)2286nmnm (3)226baba

（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例题5 分解因式：22672yxyx 例题6 分解因式：2322xyyx

对应练习题 分解因式： （1）224715yxyx （2）8622axxa

综合练习题 分解因式： （1）17836xx （2）22151112yxyx

（3）10)(3)(2yxyx （4）344)(2baba （5）222265xyxyx （6）2634422nmnmnm 精品文档

精品文档 （7）3424422yxyxyx （8）2222)(10)(23)(5bababa

（9）10364422yyxxyx （10）2222)(2)(11)(12yxyxyx 思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222 2、双十字相乘法 定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式. 条件：（1）21aaA，21ccC，21ffF （2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221 即： 1a 1c 1f

2a 2c 2f

Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221

则FEyDxCyBxyAx22))((222111fycxafycxa

例题7 分解因式： （1）2910322yxyxyx

（2）613622yxyxyx 解：（1）2910322yxyxyx 应用双十字相乘法： x y5 2

x y2 1

xyxyxy352，yyy945，xxx2

∴原式=)12)(25(yxyx （2）613622yxyxyx 应用双十字相乘法： x y2 3

x y3 2

xyxyxy23，yyy1394，xxx32

∴原式=)23)(32(yxyx

对应练习题 分解因式： （1）67222yxyxyx （2）22227376zyzxzyxyx 精品文档 精品文档 3、十字相乘法进阶 例题8 分解因式：)122()1)(1(22yyxxyy

例题9 分解因式：))(()1)(()(222222yxbaxybayxab

四、主元法 例题 分解因式：2910322yxyxyx

对应练习题 分解因式： (1)613622yxyxyx (2)67222yxyxyx

(3)2737622yxyxyx (4)36355622bababa