《复变函数与积分变换》教学大纲

《复变函数与积分变换》教学大纲
一、课程基本信息
课程名称：复变函数与积分变换
英文名称：Complex Variable Functions and Integral Transformations
课程编号：06209C
课程类型： 专业限选课
课程总学时：48 （理论 40，实验 8 ）
学 分：2
适用专业：信息与计算科学
开课系部：应用数学系
先修课程：数学分析(高等数学)
二、 课程的性质和任务
复变函数与积分变换是数学分析(或高等数学)的后继课。它的许多概念、理论和方法与数学分析
有许多相似之处，但它又有许多独特的理论和方法，并不是数学分析理论在复数域中的简单平移。
它是本科院校理工科专业的重要专业课。它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛
的应用，在流体力学、 电磁学、热学、工程力学等领域中，都会遇到平面向量场的问题，对于这类
场，复变函数是解决这类问题的有力工具，借助复变函数的理论和方法，可以较简捷、深刻、完美
地研究这类具体问题。积分变换的理论和方法不仅在某些数学分支中，而且在其它自然科学和工程
技术中都有着广泛的应用。如在数学上用积分变换可以很容易的解答一些微分方程和积分方程，还
可以研究广义积分等难以解决的问题；在无线电技术中，当我们需要设计一个符合要求的放大器时，
往往要利用傅里叶变换对信号进行频谱分析；在控制理论中，当我们需要进行系统分析时，可以通
过拉普拉斯变换来分析系统的传递特性等。因此，积分变换已成为现代科学技术领域中不可缺少的
运算工具。
三、课程教学基本要求
第一部分 复数与复变函数
教学内容：
1.1 复数
1.2 复数的三角表示
1.3 平面点集的一般概念
1.4 无穷大和复球面
1.5 复变函数
基本要求：
1、掌握复数的三种表示法，知道复平面的点集与区域。
2、理解复变函数的概念，了解其几何表示。
3、了解复变函数的极限与连续性的概念。
4、掌握复数的四则运算及乘方、开方运算及它们的几何意义，会进行一些不太复杂的运算
第二部分 解析函数
教学内容：
2.1 解析函数的概念
2.2 解析函数和调和函数的关系
2.3 初等函数
基本要求：
1. 理解复变函数导数的概念及其求法。
2. 理解解析函数的概念。
3. 熟练掌握用柯西---黎曼条件判断函数解析性的方法。
4. 了解初等函数的解析性。
5. 了解解析函数与调和函数的关系。会从解析函数的实（虚）部求其虚（实）的方法
第三部分 复变函数的积分
教学内容：
3.1 复积分的概念
3.2 柯西积分定理
3.3 柯西积分公式
3.4 解析函数的高阶导数
基本要求：
1.了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线上的积分。
2.会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定积分的概念。
3.掌握用柯西积分公式及高阶导数的求导公式计算积分。
第四部分 解析函数的级数表示
教学内容：
4.1复数项级数
4.2复变函数项级数
4.3泰勒级数
4.4洛朗级数
基本要求：
1.正确理解复数项级数的概念，知道条件收敛与绝对收敛。
2.知道幂级数的概念，了解幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数的运算和
性质。
3.了解泰勒定理

4.了解，，，的麦克劳林展开式，并会利用它们将一些简单的解析函数展
开为幂级数。
5.正确理解罗朗级数，会用间接的方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开成罗朗级数。
第五部分 留数及其应用
教学内容：
5.1孤立奇点
5.2留数
5.3留数在定积分计算中的应用
5.4对数留数与辐角原理
基本要求：
1.了解孤立奇点的分类及函数在各种奇点邻域内的性质。
2.知道留数的概念，掌握函数在极点处留数的计算方法。
3.理解留数定理，会用留数定理计算闭路积分及一些实积分。
第六部分 共形映射
教学内容：
6.1共形映射的概念
6.2共形映射的基本问题
6.3分式线性映射
6.4几个初等函数构成的共形映射
基本要求：
1.理解解析函数的导数的几何意义及共形映射的概念。

2.了解（为正有理数）和的映射性质。
3.掌握线性映射的性质和分式线性映射的保圆性及保对称性。
4.会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形域等）之间的共形映射。
*第七部分 解析函数在平面场的应用(选修)
教学内容：
7.1复势的概念
7.2复势的应用
7.3用共形映射的方法研究平面场
基本要求：
1.正确理解复变函数表示平面向量场和复势的基本概念
2.理解复势在流体力学、热流场、静电场中的应用
3.会用数学软件做出复势在流体力学、热流学、静电场上应用的直观图形
4.了解共形映射方法研究平面场的方法
5.能用数学软件演示一些流体力学、热流学、静电场中复势的变换
第八部分 傅里叶变换
教学内容：8.1傅里叶变换的概念
8.2单位冲激函数
8.3傅里叶变换的性质
基本要求：
1.正确理解傅里叶变换的概念，会求函数的傅里叶变换。
2.知道单位脉冲函数及其傅里叶变换。
3.了解傅里叶变换的性质。
4.会用一些数学软件绘制一些函数的频谱、相位谱、振幅谱等
5.用数学软件和傅里叶变换研究一些实际应用例子
第九部分 拉普拉斯变换
教学内容：
9.1拉普拉斯变换的概念
9.2拉氏变换的性质
9.3拉普拉斯逆变换
9.4拉氏变换的应用及综合举例
基本要求：
1. 知道拉普拉斯变换的概念。了解拉普拉斯变换的性质。
2. 会求拉普拉斯逆变换及拉普拉斯变换。
3. 了解卷积的概念及卷积定理。
4. 了解用拉普拉斯变换求解微分方程的方法。
5、用数学软件和拉普拉斯变换研究一些实际应用例子
四、 教学方法与考核方式
1. 教学形式以理论与实际相结合教学为主。
2. 解题练习是数学课教学的一个重要环节，每次课布置一次课后作业及课外练习作业，由学生与学
生、学生与教师通过网络交流来完成。
3. 采用各种多媒体或者数学软件进行公式推导、图形演示，以提高教学效率及学生的学习兴趣，促
进数学的教学改革，提高学生运用数学的动手能力。
4. 组织学生2-3次校外实践活动。
5. 培养学生的科研意识。
考核方式：考试；采用闭卷考试形式进行。
五、学时分配
课程学时分配表
章节序号 主要教学内容 讲授学时 实验学时 小计
第一部分 复数与复变函数 4 0 4
第二部分 解析函数 4 0 4
第三部分 复变函数的积分 4 0 4
第四部分 解析函数的级数表示 4 0 4
第五部分 留数及其应用 6 2 8
第六部分 共形映射 6 2 8
*第七部分 解析函数在平面场的应用(选修)
第八部分 傅里叶变换 6 2 8
第九部分 拉普拉斯变换 6 2 8
总 计 40 8 48

六、 主要参考书
[1] 华中科技大学数学系主编，复变函数与积分变换[M]. 北京:高等教育出版社，2008．
[2] 苏变萍等主编，复变函数与积分变换[M]. 北京:高等教育出版社，2003．
[3] 刘卫国主编．MATLAB程序设计教程[M]. 北京: 中国水利出版社，2005．
[4] 刘卫国等主编．MATLAB程序设计与应用（第二版）[M]. 北京:高等教育出版社，2006．
[5] 郑阿奇主编．MATLAB使用教程（第二版）[M]. 北京:电子工业出版社，2004．
[6] 徐东艳, 孟晓刚编著．MATLAB函数库查询辞典[M]. 北京: 中国铁道出版社，2006．
[7] 南京工学院数学教研室．积分变换[M]．高等教育出版社，1987．
[8] 钟玉泉编．复变函数论[M]．高等教育出版社（第二版），2004.