定积分的计算

1 / 1 第三节 定积分的计算

教学目的：使学生熟练掌握定积分换元积分法与分部积分法

教学重点：定积分换元积分法

一、换元积分法

定理 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x(t)满足条件: (1)()a , ()b; (2)(t)在[, ](或[, ])上具有连续导数, 且其值域不越出[a, b],

则有

dtttfdxxfba)()]([)(.

这个公式叫做定积分的换元公式.

证明 由假设知, f(x)在区间[a, b]上是连续, 因而是可积的; f [(t)](t)在区间[, ](或[, ])上也是连续的, 因而是可积的.

假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则

dxxfba)(F(b)-F(a).

另一方面, 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t), 所以F[(t)]是f [(t)](t)的一个原函数, 从而

dtttf)()]([F[( )]-F[( )]F(b)-F(a).

因此 dtttfdxxfba)()]([)(.

例1 计算adxxa022(a>0).

解

20sin022coscos tdtatadxxataxa令

2022022)2cos1(2cosdttatdta

220241]2sin21[2atta

提示 tataaxacossin22222 dxa cos t 当x0时t0 当xa时2t

例2 计算xdxxsincos520.

解 令tcos x, 则

xxdxdxxcoscossincos520520

61]61[

106105015costdttdtttx令.

提示

当x0时t1 当2x时t0

或 xxdxdxxcoscossincos520520

610cos612cos61]cos61[66206x.

例3 计算053sinsindxxx.

解 dxxxdxxx|cos|sinsinsin230053

2232023cossincossinxdxxxdxx

2232023sinsinsinsinxxdxxd

54)52(52]sin52[]sin52[2252025xx.

提示 |cos|sin)sin1(sinsinsin232353xxxxxx

在]2 ,0[上|cos x|cos x 在] ,2[上|cos x|cos x

例4 计算dxxx40122.

解 3123121240)3(21221 122dtttdtttdxxxtx令

322)]331()9327[(21]331[21313tt.

提示 212tx dxtdt 当x0时t1 当x4时t3

例5 证明: 若f (x)在[-a, a]上连续且为偶函数, 则

aaadxxfdxxf0)(2)(.

证明 因为dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00,

而 aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()( )(令,

所以 aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(

aaaadxxfdxxfdxxfxf00)(2)(2)]()([.

讨论

若f(x)在[-a, a]上连续且为奇函数, 问aadxxf)(？

提示 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) 0, 从而

0)]()([)(0aaadxxfxfdxxf.

例6 若f (x)在[0, 1]上连续, 证明

(1)2020)(cos)(sindxxfdxxf; (2)00)(sin2 )(sindxxfdxxxf. 证明 (1)令tx2, 则

dttfdxxf)]2[sin()(sin0220 2020)(cos)]2[sin(dxxfdttf.

(2)令x=-t, 则

00)][sin()()(sindttftdxxxf

00)(sin)()][sin()(dttftdttft

00)(sin)(sindtttfdttf

00)(sin)(sindxxxfdxxf,

所以 00)(sin2 )(sindxxfdxxxf.

例7 设函数01 cos110 )(2xxxxexfx, 计算41)2(dxxf.

解 设x-2=t, 则

200121412cos11)()2(dttedttdttfdxxft

212121tan]21[]2[tan420012eett

提示 设x2t 则dxdt 当x1时t1 当x4时t2

二、分部积分法

设函数u(x)、v(x)在区间[a, b]上具有连续导数u(x)、v(x), 由

(uv)uv +u v得u vu vuv

等式两端在区间[a, b]上积分得

vdxuuvdxvubababa][ 或vduuvudvbababa][.

这就是定积分的分部积分公式.

分部积分过程:

][][vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa.

例1 计算xdxarcsin210.

解 xdxarcsin210xxdxxarcsin]arcsin[210210

dxxx22101621

)1(11211222210xdx

2102]1[12x12312.

例2 计算10dxex.

解 令tx, 则

10102tdtedxetx

102ttde

101

0 2 ][2dtetett

2 ][221

0 tee.

例3 设20sinxdxInn, 证明

(1)当n为正偶数时, 22143231nnnnIn;

(2)当n为大于1的正奇数时, 3254231nnnnIn.

证明 20sinxdxInn201cossinxxdn

2012

0 1sincos]sin[cosxxdxxnn

2022sincos)1(xdxxnn202)sin(sin)1(dxxxnnn

20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn

(n-1)I

n- 2-(n-1)I n ,

由此得

21nnInnI.

02214342522232212ImmmmmmIm,

112325432421222122ImmmmmmIm,

而2200dxI,

1sin201xdxI,

因此

22143425222322122mmmmmmIm,

32543242122212212mmmmmmIm.

例3 设20sinxdxInn(n为正整数), 证明

22143425222322122mmmmmmIm,

32543242122212212mmmmmmIm.

证明 20sinxdxInn201cossinxxdn

20222

0 1sincos)1(]sin[cosxdxxnxxnn

202)sin(sin)1(dxxxnnn

20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn

(n-1)I n- 2-(n-1)I n ,

由此得 21nnInnI.

02214342522232212ImmmmmmIm,

112325432421222122ImmmmmmIm.

特别地 2200dxI, 1sin201xdxI.

因此 22143425222322122mmmmmmIm,

32543242122212212mmmmmmIm.

课堂练习：

1．求0212dxx

2．设2x1 x,-21x0 ,)(xxf，求20)(dxxf。

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