第2章第3节二次函数与幂函数新高考数学自主复习PPT

考向3 二次函数的最值 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，
求实数a的值．
解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a． ①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题 意，舍去．
②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f(2) ＝8a＋1＝4，解得a＝38．
考向2 二次函数的单调性
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递
减，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递 减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图象对称轴为x＝3－ 2aa．由f(x)在[－
第二章 函数
第四节 二次函数与幂函数
考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝
1
x2，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数． 2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不
等式之间的关系解决简单问题．
01
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现 1．幂函数的概念 一般地，函数 y＝xα 称为幂函数，其中 α 为常数．
求二次函数解析式的策略
1．若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值 是m，则M－m( )
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
B 解析：设x1，x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值 点，
考点1 考点2 考点3

1 又 y＝x2在[0，＋∞)上为增函数，
1
1
所以(a＋1)2<(3－2a)2等价于 0≤a＋1<3－2a，
解之得－1≤a<23，
故实数 a 的取值范围是a－1≤a<23.
【规律方法】
1．利用幂函数的单调性比较幂值大小要抓住两点：①结合幂 值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂．②选择适当的幂函 数，借助其单调性进行比较或应用．
[答案] D
(2)因为 f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以 m2－2m－3<0，解之得－1<m<3. 又 m∈N*，所以 m＝1 或 m＝2. 由于 f(x)的图象关于 y 轴对称． 所以 m2－2m－3 为偶数， 又当 m＝2 时，m2－2m－3 为奇数，所以 m＝2 舍去，因此 m ＝1.
∞) ∪(0，＋∞)
偶
奇/
奇
在 (0，＋∞)
上增 在(－∞，0)
增
增
上减
在 (0，＋∞)上 减 在(－∞，0)上减
(1，1)
2.二次函数 (1)二次函数的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋(ca≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为 (h，k) ； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点．
(2)二次函数的性质
函数 图象 定义域 值域
单调性
对称性
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
R
减 在－∞，－2ba上 增 在－2ba，＋∞上
增 在－∞，－2ba上
在
减 －2ba，＋∞上
函数的图象关于 x＝－2ba对称

①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.
其中正确的是( )
A.②④
B.①④
C.②③
D.①③
解析：结合题中图象可知该函数的图象与 x 轴交于两 点，所以 b2－4ac＞0，即 b2＞4ac，①正确；又对称轴为
2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域 值域
R 4ac4－a b2，＋∞
R －∞，4ac4－a b2
(续表) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
在－∞，－2ba上单调 单调性 递减；在－2ba，＋∞
题组一 走出误区 1.(多选题)下列结论中错误的是( ) A.y＝x0的图象是一条直线 B.若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是奇函数 D.当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数
答案：ABD
题组二 走进教材点
2.(教材改编题)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点
考点二 二次函数的图象与性质 考向 1 二次函数的图象 通性通法：抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区 间三者相互制约，要注意分类讨论.
[例 1]如图 2-4-2 所示是二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 图象的一部分，图象过点 A(－3,0)，对称轴为 x＝－1.给出 下面四个结论：
图 2-4-2
答案：A
2.(2021 年徐汇期末)已知幂函数 y＝x－1 的图象，及直 线 y＝x，y＝1，x＝1 将直角坐标系第一象限分成八个“卦 限”：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ(如图 2-4-1 所示)， 那么，幂函数 y＝x－13的图象在第一象限中经过的“卦限” 是( )

3＝

33α，∴α＝－2.
∴y＝x－2.
答案：B
5．设 α∈－1，1，12，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函
数的所有 α 值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
解析：在函数 y＝x－1，y＝x，y＝x21，y＝x3 中，只有函数 y＝x 和 y
解析：由f(x)>x＋k⇔k<x2＋x＋1. 令h(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]， 由已知条件知在x∈[－3，－1]上， 如使得k<x2＋x＋1成立， 只需k<h(x)max. 又h(x)在[－3，－1]上递减， ∴h(x)max＝h(－3)＝7， ∴k<7. 即k的取值范围为(－∞，7)．
得f(x1＋x2)＝f－ba＝a·ba22－ba2＋c＝c.
答案：C
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3， 最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞]
B．[0,2]
C．[1,2]
D．(－∞，2]
解析：∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
∴函数图象的对称轴为x＝1，最小值为2，要使最大值为3， 则1≤m≤2.
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：
，其中(h，k)为抛物线的顶
点坐标． f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)
(3)两根式：
．
f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
3．二次函数的图象与性质
____________________[通关方略]____________________ 怎样求二次函数的解析式？
二次函数的综合应用