204年考研数学一真题与解析

2014年考研数学一真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列曲线有渐近线的是

（A）xxysin （B）xxysin2

（C）xxy1sin （D）xxy12sin

【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．

【详解】对于xxy1sin，可知1xyxlim且01xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy

应该选（C）

2．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（ ）

（A）当0)('xf时，)()(xgxf （B）当0)('xf时，)()(xgxf

（C）当0)(xf时，)()(xgxf （D）当0)(xf时，)()(xgxf

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21xx,及常数10，恒有)()()()(212111xfxfxxf，则曲线是凸的．

显然此题中xxx,,1021，则)()()(211xfxf)()())((xgxfxf110，而)()(xfxxf211，

故当0)(xf时，曲线是凸的，即)()()()(212111xfxfxxf，也就是)()(xgxf，应该选（C）

【详解2】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)())(()()()()(110，则010)()(FF，且)(")("xfxF，故当0)(xf时，曲线是凸的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（C）

３．设)(xf是连续函数，则yydyyxfdy11102),(

（Ａ）210011010xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(

（Ｂ）0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(

(Ｃ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd

（Ｄ）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd

【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．

【详解】积分区域如图所示

如果换成直角坐标则应该是

xxdyyxfdxdyyxfdx101010012),(),(，（A），（B）

两个选择项都不正确；

如果换成极坐标则为

sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd．

应该选（D）

４．若函数dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则xbxasincos11

（Ａ）xsin2 （Ｂ）xcos2 （Ｃ）xsin2 （Ｄ）xcos2

【详解】注意3232dxx，222dxxdxxsincos，0dxxxdxxxsincoscos，

2dxxxsin，

所以bbadxxbxax42322232)()sincos(

所以就相当于求函数bba422的极小值点，显然可知当20ba,时取得最小值，所以应该选（A）．

５．行列式dcdcbaba00000000等于 （A）2)(bcad （B）2)(bcad

（C）2222cbda （D）2222cbda

【详解】

20000000000000000)()()(bcadbcadbcbcadaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba

应该选（B）．

6．设321,, 是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关是向量321,,线性无关的

（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件

【详解】若向量321,,线性无关，则

（31k，32l）Klk),,(),,(3213211001，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于2，所以向量31k，32l一定线性无关．

而当000010001321,,时，对任意的常数lk,，向量31k，32l线性无关，但321,,线性相关；故选择（A）．

7．设事件A，B想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则)(ABP（ ）

（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4

【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(APAPAPBPAPAPABPAPBAP505030．

所以60.)(AP，)(ABP205050.)(..)()(APABPBP．故选择（B）．

8．设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随机变量1Y的概率密度为))()(()(yfyfyfY21211，随机变量)(21221XXY，则 （A）2121DYDYEYEY, （B）2121DYDYEYEY,

（C） 2121DYDYEYEY, （D）2121DYDYEYEY,

【详解】)())()((2212112121YEEXEXdyyfyfyEY，

222121221212121EXEXdyyfyfyEY))()((，

2212212121221222211221141414141412141412121DYXDXDXXEXDXDXEXEXEXEEXEXYEYEDY)()()()()()()()()()(

故应该选择（D）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),,(101处的切平面方程为 ．

【详解】曲面)sin()sin(xyyxz1122在点),,(101处的法向量为),,(|,,),,(1121101yxzz，所以切平面方程为0110112))(())(()(zyx，即012zyx．

10．设)(xf为周期为4的可导奇函数，且2012,),()('xxxf，则)(7f ．

【详解】当20,x时，Cxxdxxxf2122)()(，由00)(f可知0C，即xxxf22)(；)(xf为周期为4奇函数，故1117)()()(fff．

11．微分方程0)ln(ln'yxyxy满足31ey)(的解为 ．

【详解】方程的标准形式为xyxydxdyln，这是一个齐次型方程，设xyu，得到通解为1Cxxey，将初始条件31ey)(代入可得特解为12xxey．

12．设L是柱面122yx和平面0zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分Lydzzdx ． 【详解】由斯托克斯公式RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxL可知

xyDLdxdydxdydzdxdydzydzzdx．

其中1022yxzy:取上侧，122yxyxDxy|),(．

13．设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf),,(的负惯性指数是1，则a的取值范围是 ．

【详解】由配方法可知

232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),,(

由于负惯性指数为1，故必须要求042a，所以a的取值范围是22,．

14．设总体X的概率密度为其它,,),(02322xxxf，其中是未知参数，nXXX,,,21是来自总体的简单样本，若niiXC12是2的无偏估计，则常数C= ．

【详解】22222532dxxxXE)(，所以21225CnXCEnii，由于niiXC12是2的无偏估计，故125Cn，nC52．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限)ln())((limxxdttetxtx1112112．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】 21121111111222121122112xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)((lim))((lim))((lim)ln())((lim

16．（本题满分10分）

设函数)(xfy由方程06223yxxyy确定，求)(xf的极值．

【详解】

解：在方程两边同时对x求导一次，得到

0223222)(')(xyyyxxyy， （１）

即

222232xxyyxyydxdy

令0dxdy及06223yxxyy，得到函数唯一驻点21yx,．

在（１）式两边同时对x求导一次，得到

（0223424622yyxxyyyxxyyyy")(')''(

把0121)(',,yyx代入，得到0941)("y，

所以函数)(xfy在1x处取得极小值2y．

17．（本题满分10分）

设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyezyzxz222224)cos(．若0000)(',)(ff，求)(uf的表达式．

【详解】

设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，

yeufyeufxzeufxzxxyxcos)('cos)(",)('cos2222;