指数函数·例题解析
【例1】求下列函数的定义域与值域：
(1)y 3(2)y (3)y 1
2x ＝＝＝-+---2
133
2
1
x x
解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2．值域y ＞0且y ≠1． (2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x ≥－2}，值域为y ≥0． (3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x ≤2}，∵0≤3－3x －1＜3，
∴值域是≤＜
．0y 3
【例2】指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像如图2．6－2所示，则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是
[ ]
A ．a ＜b ＜1＜c ＜d
B ．a ＜b ＜1＜d ＜c
C ． b ＜a ＜1＜d ＜c
D ．c ＜d ＜1＜a ＜
b
解 选(c)，在x 轴上任取一点(x ，0)，则得b ＜a ＜1＜d ＜c ． 【例3】比较大小：
(1)2(2)0.6
、、、、的大小关系是：．
248163
2
358945
12
--
()
(3)4.54.1________3.73.6
解(1)y 221()x
∵
，
，
，
，，
函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜
．
222242821621338254912
2841621
2
3
1
3
5
2
5
8
3
8
9
4
93859=====
解 (2)0.6110.6
∵＞，＞，
∴＞．
-
-
--
45
12
45
1
23
2
32
()
()
解 (3)借助数 4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y 1＝4.5x ，y 2＝3.7x 的图像如图2．6－3，取x ＝3.6，得4.53.6＞3.73.6
∴ 4.54.1＞3.73.6．
说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．
【例4】解
比较大小
与
＞且≠，＞．
当＜＜，∵＞，
＞，
a a
a
a
a n n n n n n
n
n n n
n n -+-+-=-1
1
1
1
1
111(a 0a 1n 1)0a 1n 10()
()
∴＜，∴
＜
当＞时，∵＞，
＞，∴＞，
＞
a a a
n n a a a
n n n
n n n
n n n
n n n
1
11
1
1
11
1
11()()()
--+--+-1a 1n 101
【例5】作出下列函数的图像：
(1)y (2)y 22x
＝＝－，()
12
1
x +
(3)y ＝2|x-1| (4)y
＝|1－3x |
解 (1)y (264)(0)(11)y 1＝的图像如图．－，过点，及－，．
是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．
()()121
2
12
1x x
+
解 (2)y ＝2x －2的图像(如图2．6－5)是把函数y ＝2x 的图像向下平移2个单位得到的．
解 (3)利用翻折变换，先作y ＝2|x|的图像，再把y ＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y ＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．
解 (4)作函数y ＝3x 的图像关于x 轴的对称图像得y ＝－3x 的图像，再把y ＝－3x 的图像向上平移1个单位，保留其在x 轴及x 轴上方部分不变，把x 轴下方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到．(如图2．6－7)
【例6】解求函数＝的单调区间及值域．
令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋y u x 5x 6y u u x 5x
x 25x 6
22
()()34
34u
＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数
＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．
－＋6x x y x 25x 6
(][
)()
(][
)-+-+52
52
3
4
52
52
又∵＝－＋＝≥，
函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，
．
－＋u x 5x 6y u y 2
x 25x 6
()()[)()
(]x u -
-
-
-+52
14
14
341
43
4
01083
2
4
【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．
＝，令＝，∵≥，
∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y 1(x 0) y u x 00u 1u x 0)y ()()[()]()[()]()()[()
1
41
21
21
211
21
2341
21
21
2
2
2
2
x
x
x x
x
x
x
u --+=-+-
+-34
012
12
1
21
2
12121412
在∈，
上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤
得≥，由
≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u 1)0x 110x 1y 11)[01]
(][
()()()()[x
x x x
当x ＝0时，函数y 有最大值为1． 【例8】已知＝
＞f(x)(a 1)a a x
x -+11
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)求f(x)的值域；
(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 解 (1)定义域是R ． f(x)f(x)－＝
＝－，a a
a a x x
x
x
---+=-
-+11
11
∴函数f(x)为奇函数．
