正n边形的外角与内角

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边 形的对角线.
线段AC是四边形ABCD的一条对角线； 多边形的对角线用虚线表示。
请大家思考：五边形ABCDE共有几条对角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线。
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？
有没有什么 规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线。


若一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多 15 边形的边数是_____ 若一个多边形的每一个外角都等于30°,则它的内 角和等于_____ 1800° 72 各角都相等的五边形的每一个外角都等于____ ° 如果一个多边形内角和等于外角和的二分之一倍, 那么这个多边形的边数是____ 3 ° 180 若这多边形边数加1则这多边形的内角和增加____ 外角和增加____ 0° 若一个多边形的每一个外角都等于与它相邻内角， 4 则这个多边形的边数是_____
E
4
C
3 C'
D
D'
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所 组成的角叫做这个多边形的外角。
1 3 A 2 1 3 B 4 B C A D
2
C
注意：n边形的每个内角有2个外角，但它们是对顶角它 们是相等的。所以，从数量上看，n边形的外角有n个。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们 的和叫做这个多边形的外角和。
1、一个多边形的每一个内角都等 于144º ，这个多边形是几边形？它的内角 和是多少度？ 解：设多边形的边数为n，则有
（180º -144º ·n=360º ）
内角和为： （n-2）· =（10-2） × 180º 180º =1440º
解得 n=10
2、一个多边形截去一个角后，形成另一 个多边形的内角和为1800º ，则原多边形的边 数为多少？ 解：设新的多边形的边数为n，则有 （n-2）· 180º 1800º = 解得 n = 8 C C C

n边形内角和与边数的关系
正多边形是一个有n个边的多边形，每个内角都相等。

一个n边形可以被分成n个三角形，其中每个三角形的内角和为180度。

因此，n个三角形的内角和为n×180度。

由于每个内角都相等，所以n个内角的和等于n个三角形的内角和。

因此，n边形的内角和等于(n-2)×180度。

公式：n边形的内角和 = (n-2)×180度
例如，一个三角形的内角和为(3-2)×180度=180度；一个四边形的内角和为(4-2)×180度=360度。

这个公式可以用来计算任何n边形的内角和。

知道了n的值，可以用这个公式计算出该n边形的内角和，这对于解决许多几何问题非常有用。

同时，n边形的内角和也可以用来推导出n边形的外角和。

公式：n边形的外角和 = 360度÷ n
例如，一个三角形的外角和为360度÷ 3 = 120度；一个四边形的外角和为360度÷ 4 = 90度。

总之，n边形的内角和和外角和都可以用简单的公式来计算。

这些公式对于解决许多几何问题非常有用，因此，掌握它们是非常重要的。

- 1 -。

(n-2)•180°= 9000 n-2=5 n=7
当堂检测
10. 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°， 并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每 个内角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则
（n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等，
（8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
······
3 ······ n -3
4
4×180º=720º
······
······
n -2 （ n -2 ）·180º
讲授新课
总结归纳
多边形
分割
三角形 转化思想
分割点与多边形的位置关系
顶点
边上 内部 外部
多边形的内角和公式
n边形内角和等于(n-2)×180 °.
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1.从多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条对角线； 2.从多边形的一个顶点可以把n 边形分成(n-2) 个三角形；
把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
•
E
B C
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方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
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1. 判断下面图形是不是正多边形
菱形
Hale Waihona Puke 矩形正方形2.正n边形的一个内角= n 2180
n
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专题23 多边形内角和问题1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。

4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

8.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。

（2）n边形共有23)-n(n条对角线。

【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°【答案】C．【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°【答案】D．【解析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝．【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。