等差、等比数列的综合应用2017-2018学年高二数学(文)人教版(上学期期末复习)

探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一等差数列前n项和的性质应用 【例1】 (1)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和 与奇数项和之比为32∶27,则公差d= . (2)一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,则其前 110项之和为 .
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思维辨析
������奇 + ������偶 = 354, 解析: (1)由 ������偶 = 27 , ������ 奇
10×9
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思维辨析
变式训练1 (1)等差数列{an}前n项的和为30,前2n项的和为100, 则它的前3n项的和为( ) A.130 B.170 C.210 D.260 (2)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数 项的和为150,则n的值为 . 解析:(1)∵数列{an}为等差数列, ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列. ∴Sn+(S3n-S2n)=2(S2n-Sn), ∴30+(S3n-100)=2(100-30),解得S3n=210. (2)∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,∴a中=15. 又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15, ∴n=10. 答案:(1)C (2)10
32
解得
������偶 = 192, ������奇 = 162.
∵S偶-S奇=6d,∴d=5.
(2)易得数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列. 设其公差为D,则前10项的和为

[解析] Sn＝
2 1－ 3
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第10讲 数列、等差数列、等比数列
核 心 知 识 聚 焦
主干知识
4． [2017· 上海模拟 ] 在等差数 列 an 中，若 a1＋a2＋a3＋ a4＝ 30， 则 a2＋a3＝④ ________．

[答案]15 [解析] 因为 a1＋a2＋a3＋a4＝ 2(a2＋a3)＝30，所以 a2＋a3＝15.
⇒ 等差数列与 等比数列的性质 关键词：在条 件 m＋n＝p＋q 下 am，an，ap，aq 的 关系，如④⑤.
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5． [2017· 广东模拟 ] 等比数列

an 的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋ log2a3＋log2a4＋log2a⑤ 5 ＝________．


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第10讲 数列、等差数列、等比数列
1 [答案] (1) 2
(2)an＝n
考 点 考 向 探 究
1 1 1 [解析] (1)由题易知 a8＝ ＝2，得 a7＝ ；a7＝ 2 1－a7 1－a6 1 1 ＝ ，得 a6＝－1；a6＝ ＝－1，得 a5＝2，于是可知数 2 1－a5 1 列{an}具有周期性，且周期为 3，所以 a1＝a7＝ . 2
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第10讲 数列、等差数列、等比数列
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主干知识
⇒ 等差数列与 等比数列的综合 ， 关键词：等差 则数列{an}的通项公式 an＝________． 与等比问题融合在 一个问题中如⑥.
6．[2017· 湖北模拟] 已知递增的

第2讲 数列的求和及综合应用一、选择题1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )(导学号 55410114)A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1解析：a n ＝(2n －1)＋12n ，所以S n ＝n （1＋2n －1）2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案：A2．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ， 当d ＞0时，则S 4＋S 6－2S 5＞0，即S 4＋S 6＞2S 5. 反之，S 4＋S 6＞2S 5，可得d ＞0.所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件． 答案：C3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )A ．9B ．15C ．18D ．30解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列．所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.数列{a n }的前n 项和S n ＝n （－5＋2n －7）2＝n 2－6n .令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥72.所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6，S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.答案：C4．满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n ＞1 025的最小n 值是( )(导学号 55410115)A ．9B ．10C ．11D ．12解析：因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n－1.则满足S n ＞1 025的最小n 值是11. 答案：C5．(2017·长沙一中月考)数列a n ＝1n （n ＋1），其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )A ．－10B ．－9C ．10D ．9解析：由于a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 因此1－1n ＋1＝910，所以n ＝9， 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B 二、填空题6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”．若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n－1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.答案：2n ＋1－n －27．(2017·潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．解析：易知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＝2（1－3n）1－3＝3n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1， 则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.答案：12－13n ＋1－18．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________． 解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， 所以S n ＝n （n ＋1）2，所以a n ＝n ，所以a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝1n ＋4n＋5，当n ＝2时，n ＋4n取最小值4，此时a n a n ＋1a n ＋4取到最大值19.答案：19三、解答题9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋35＜2，b n ＝1；当n ＝4，5时，2≤2n ＋35＜3，b n ＝2；当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋35＜4，b n ＝3；当n ＝9，10时，4≤2n ＋35＜5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．(2017·莆田质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋kn ，其中k 为常数，a 6＝13. (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2n （a n ＋1），求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由已知S n ＝n 2＋kn ，有a n ＝S n －S n －1＝2n ＋k －1(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝k ＋1，所以a n ＝2n ＋k －1.又因为a 6＝13，所以2×6＋k －1＝13，解得k ＝2， 所以a n ＝2n ＋1. (2)因为b n ＝2n （a n ＋1）＝2n （2n ＋2）＝1n （n ＋1），所以b n ＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝nn ＋1.11．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n＋b n ＋1.(导学号 55410116)(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知c n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝3(n ＋1)·2n ＋1， 又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4（1－2n）1－2－（n ＋1）×2n ＋2＝－3n ·2n ＋2， 所以T n ＝3n ·2n ＋2.[典例] (本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．规范解答：(1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，所以a 1＝2，(3分)所以数列{a n )是首项为2，公差为3的等差数列，(4分) 因此{a n }的通项公式a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.(6分) (2)由(1)知a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝nb n 1＋a n ＝b n 3≠0，则b n ＋1b n ＝13，(9分)因此数列{b n }是首项为b 1，公比为13的等比数列，(10分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n －1.(12分)1．牢记等差、等比数列的定义：在判断数列为等差或等比数列时，应根据定义进行判断，所以熟练掌握定义是解决问题的关键，如本题第(2)问，要根据定义判断b n ＋1b n ＝13. 2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求得b n ＋1与b n 的关系．3．写全得分关键：写清解题过程的关键点，有则给分，无则没有分，同时解题过程中计算准确，是得分的根本保证．如本题第(1)问要写出a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，才能得出a 1，并指出数列{a n }的性质，否则不能得全分．第(2)问中一定要写出求b n ＋1＝b n3的步骤并要指明{b n }的性质；求S n 时，必须代入求和公式而不能直接写出结果，否则要扣分．[解题程序] 第一步：将n ＝1代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求出a 1的值； 第二步：利用等差数列的通项公式求出a n ；第三步：将第(1)问中求得的a n 代入关系式a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，求得b n ＋1与b n 的关系； 第四步：判断数列{b n }为等比数列； 第五步：代入等比数列的前n 项和公式求S n . 第六步：反思检验，规范解题步骤．[跟踪训练] (2017·江西七校联盟联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)因为S 33－S 22＝1，所以a 1＋3＋53－a 1＋32＝1，所以a 1＝1.所以S n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝n 2， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， 并且a 1＝1也满足上式，所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝(2n －1)·3n，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n， 所以3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1.所以T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋ (3))－(2n －1)·3n ＋1，则－2T n ＝3＋2×32－3n×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.。

专题03高二上期末真题精选（数列常考65题压轴17题）数列常考题考点01：等差数列通项的基本量计算考点02：等差数列角标和性质考点03：等差数列前n项和基本量计算考点04：等差数列前n项和性质考点05：等比数列通项的基本量计算考点06：等比数列角标和性质考点07：等比数列前n项和基本量计算考点08：等比数列前n项和性质考点09：数列求通项考点10：数列求和之倒序相加法考点11：数列求和之分组求和法考点12：数列求和之裂项相消法考点13：数列求和之错位相减法数列压轴题压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）压轴二：数列求和之裂项相加法压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题一、等差数列通项的基本量计算（共4小题）1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差数列{}n a 中，234518,10a a a a ++==，则其前100项和为（）A ．5050B ．10010C ．10100D ．110002．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列{}n a 满足3616a a +=，且534a a -=，则首项1a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．33．（23-24高二下·河南南阳·期末）若{}n a 是正项无穷的等差数列，且396a a +=，则{}n a 的公差d 的取值范围是（）A ．[)12，B ．305⎛⎫⎪⎝⎭，C ．35∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，D ．305⎡⎫⎪⎢⎣⎭，4．（23-24高二下·四川成都·期末）记为等差数列{}n a 的前n 项和，若1122S =，则6a =（）A ．2B ．3C ．10D ．4二、等差数列角标和性质（共4小题）1．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列{}n a 满足2120n n n a a a +++-=，已知7118a a a +=，则{}n a 的前19项和19S =（）A ．0B ．8C ．10D ．192．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足15m p a a a a +=+，则41m p+的最小值为（）A ．9B ．32C ．54D ．343．（23-24高二上·陕西西安·期末）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1354686,12a a a a a a ++=++=，则8S =（）A ．8B ．12C ．18D ．244．（多选）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，无论首项1a 和公差d 如何变化，19S 始终是一个定值，则下列各数也为定值的是（）A ．9a B ．10a C ．71112a a a ++D ．11415a a a ++三、等差数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，416S =，则2a =（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（多选）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230S >，240S <，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是递增数列B ．130a >C ．当n S 取得最大值时，12n =D ．1312a a >3．（23-24高三上·河北·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若438,18a S ==，则11S =．四、等差数列前n 项和性质（共6小题）1．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若482,16S S ==，则12S =（）A ．30B ．26C ．56D ．422．（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）设等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若3315n n S n T n +=+，则1010a b =（）A ．1136B ．2372C ．724D ．7233．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n S n T n =+，则2835a ab b +=+（）A ．911B ．711C ．1013D ．9144．（多选）（23-24高二上·江苏南京·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列命题正确的有（）.A ．若{}n a 为等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等差数列B ．若{}n a 为等比数列，则232,,n n n n n S S S S S --一定是等比数列C ．若112,2n n a S a +=+=，则{}n a 一定是等比数列D ．若n n S na =，则{}n a 一定是等比数列5．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若132619S S ==，，则52S =.6．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，且21n n S nT n =+，则66a b =.五、等比数列通项的基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知等差数列{}n a 的公差不为0，且139,,a a a 成等比数列，则139,,a a a 的公比是（）.A ．1B ．2.C ．3D ．52．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，5227a a =，480S =，则1a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·江西九江·期末）设{}n a 是等比数列，且1232343,6a a a a a a ++=-++=，则6a =.六、等比数列角标和性质（共3小题）1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列{}n a 中，4148a a =，231a a =，则13a =（）A ．64B ．128C ．3642D ．312822．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列{}n b 的各项均为正数，若313238log log log 4b b b ++⋅⋅⋅+=，则45b b 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，388a a =，则2427log log a a +=．七、等比数列前n 项和基本量计算（共3小题）1．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，32123S a a =+，且516a =，则1a =．2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列{}n a 满足：()12n n a a n *+=∈N ，其前n 项和为n S ，若7127S =，则1a =.3．（22-23高三上·广东肇庆·阶段练习）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37S =，663S =，则7a =.八、等比数列前n 项和性质（共3小题）1．（多选）（23-24高二下·四川乐山·期末）在数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +-=，若不等式312(1)1n n n a λ-+⋅-≥+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的值可以是（）A ．1B ．0C ．1-D ．2-2．（23-24高二下·陕西渭南·期末）在正项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若55S =，1015S =，则15S 的值为.3．（23-24高二上·广东·期末）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若484,12S S ==，则12S =.九、数列求通项（共16小题）1．（23-24高二下·安徽·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S n a +=-，则5a =（）A ．16B ．31C ．47D ．632．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3452k k S S ==，，则4k S =．3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列()4n n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前12项和12S =.4．（23-24高二下·上海宝山·期末）在数列{}n a 中，13a =，且()1lg21n n na a n n -=+≥-，则100a =.5．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知数列{}n a 各项均为正数，且首项为1，221122n n n n n na a a a ++++=，则20a =．6．（23-24高二上·内蒙古·期末）在数列{}n a 中，1133,2n n a n a a n ++==+，则97a =．7．（22-23高三上·辽宁葫芦岛·期末）在数列{}n a 中，14a =，()12n n na n a +=+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.()*n ∈N 8．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,2n n a S S +=-=，则n a =9．（23-24高三下·四川·期末）若数列{}*(N )n a n ∈的前n 项和为n S ，11a =，2(1)n n S n a =+，则数列{}n a 的通项公式为n a =．10．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式n a =．11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =，且()*1121N 2n n n a S n ++=+∈，则n a =.12．（23-24高二上·宁夏银川·期末）数列{}n a 中的前n 项和22n n S =+，数列2{log }n a 的前n 项和为n T ，则20T ＝.13．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知数列{}n a 满足()()1113,3114n n n n a a a a a ++=-++=-，则n a =.14．（22-23高二上·广东·期末）已知首项为2的数列{}n a 对*N n ∀∈满足134n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =.15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列{}n a 满足19a =-，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=，则n b =；n a 的最小值为.16．（23-24高一下·上海·期末）数列{}n a 满足1112,32n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =.十、数列求和之倒序相加法（共4小题）1．（21-22高二上·江西九江·期末）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行123100++++L 的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．已知数列298299-=-n n a n ，则1298+++= a a a （）A ．96B ．97C ．98D ．992．（21-22高二下·广东佛山·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1211121n n S S S n +++=+ ，设函数()1cos 2f x x π=+，则n a =，32021122022202220222022a a a a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函数1()1f x x =+，数列{}n a 是正项等比数列，且101a =，则()()()()()1231819f a f a f a f a f a +++⋅⋅⋅++=．4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）设函数()3log 1x f x x =-，定义121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中n N *∈，2n ≥，则n S =.十一、数列求和之分组求和法（共6小题）1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知{}n a 的前n 项和是n S ，且1,2n n S na a ==．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()1,1,n n n na n b n n n a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．2．（23-24高二上·河南郑州·期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5332S S =-，221n n a a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的首项为1-，且对任意的*n ∈N 都有10n n b b ++=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．3．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项12a =，22nn S a n n=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．4．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列{}n a ，满足25215a a +=，47a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令(1)n n n b a =-，求{}n b 的前2n 项和2n T ．5．（23-24高二上·浙江温州·期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足33a =，425S a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前10项和10T ．6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线2y x =+的图象上．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n b a -是首项为1且公比为2的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T ．十二、数列求和之裂项相消法（共5小题）1．（23-24高二下·陕西西安·期末）在等差数列{}n b 中，11b =，321log n n b a -=，且12是1a ，321a +的等比中项．(1)求{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2．（23-24高二下·辽宁葫芦岛·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为()2*,2N n n S S n n n =+∈，数列{}n b 为等比数列，且21a -，31a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.(1)证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n M ；(3)若数列()211log n n nd a b =+，证明：数列{}n d 的前n 项和1n T <.3．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）设正项数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，其前n 项和为n S ，已知()2123,2n n a a a S d+==.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n S S +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n T .4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()*11n n n b n a a +=∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：14n T <.5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，11a =且211n n n S S a +++=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()242121nn n n a b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .十三、数列求和之错位相减法（共5小题）1．（23-24高二下·湖南·期末）数列{}n a 的前n 项和为12,3,5n S a a ==，当2n ≥时，11211n n n S S S n n n -+=+-+，数列{}n b 满足：3n n ab =.(1)证明：数列{}n b 是等比数列；(2)记数列n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且131324n n n S a +=-⨯，其中*N n ∈．(1)证明3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列2421n a n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和nT 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列{}n a 满足2211230n n n n a a a a ++--=，且13.a =(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若{}3log n n a a ⋅的前n 项和为n S ，求n S .4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在数列{}n a 中，112,21n n a a a +==-.(1)求证：{}1n a -是等比数列；(2)若n n b n a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知数列{}n a 的首项为112a =，且满足131n n n a a a +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .压轴一：数列求和之分组求和（分类讨论）（共4小题）1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数n 都有11n n a a n +=++．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，()1nn n b n a =--，（*n ∈N ），若{|100=≤A n n 且*}100,≤∈n T n N ，求集合A 中所有元素的和．2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知数列{}n a ，{}n b 满足{}n a 的前1n +项和()21122n n n a S b -++=+，11n n n n b b b b ++=-，且11b =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的通项公式.3．（22-23高三上·山东青岛·期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，数列{}n b 满足11b =，121n n b b +=+.(1)求数列{}n a 和{}n b 通项公式；(2)求20110sin 2k k k a a π=⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭∑的值；(3)证明()1122n k k k b n n b *+=<+∈∑N 压轴二：数列求和之裂项相加法（共6小题）1．（23-24高二下·天津·期末）已知数列{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，1122b a ==，求222b a =，342b a =(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记数列(){}21n n a -的前n 项和为n S ，若2n n mb S >对*N n ∀∈恒成立，求实数m 的取值范围；(3)设1231n n n c a a a a += ，求1ni i c =∑的值.2．（23-24高二上·浙江金华·期末）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设142n n n n n ab a a ++=，求数列{}n b的前n 项和n T ；(3)若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：12111223nn c c c ++⋯+>+-3．（23-24高二上·江苏南通·期末）已知数列{}n a 满足112a =，358a =，且数列{}2n n a 是等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设23(21)n n nb n a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S．4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知数列{}n a 中，12a =，1232nn n a a +=+⋅．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若()22(1)(31)n n a n b n n n -=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21524a a a =，且430S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)令131n n n n n a b a a a +=-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .6．（23-24高二上·湖北武汉·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2=6a ，12=n n S na +．(1)求{}n a 的通项公式；(2)已知数列21(1)(31)(32)n n n a b n n +=-⋅-+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．压轴三：数列不等式中的恒（能）成立问题（共7小题）1．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知等差数列{}n a 满足114n n a a n ++=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()1111n n n b a a +=-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：316n T <.2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等差数列{}n a 满足35a =，11892a a +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且221n n n b a a +=-，若440m T >，求正整数m 的最小值．3．（22-23高二下·天津·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()*131N n n S S n +=+∈；等差数列{}n b 前n 项和为n T 满足7549,9T b ==.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设12n n n a c b n n+=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和；(3)设12n n n n a a a n P b b b +++=+++ ，若0λ∀>，对任意的正整数n 都有322723n n k P n λλ-+≥-恒成立，求k 的最大值.4．（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1231N n a a a a n n =+∈ ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n na b =，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若31n S n λ+≥+恒成立，求实数λ的取值范围．5．（22-23高三上·天津东丽·期末）若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()11543543154a b a a a b b b ===-=-，，．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，设()21132n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，，为偶数．求数列{}n c 的前2n 项和．(3)记{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11211n n n n S a m n b a ++⎡⎤-≤+--⎣⎦对于*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围．6．（21-22高一下·四川广安·期末）已知数列{}n a 中，11a =，()()1134n n a a +-⋅+=-．(1)证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2121n n n b n a -=⋅⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)若存在*N n ∈，使得()()()()21233333n a a a a kn +⋅+⋅++≤L L 成立，求实数k 的取值范围．7．（21-22高二上·浙江杭州·期末）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，()2112n n n n a S a S n ++--=-≥.记()221log n n b a +=.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)设数列4n n b n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使得不等式1361122n n n T +>-+成立的n 的最小值.。