四、模糊集合的模糊程度——模糊熵

模糊子集合（论域的一个模糊的部分）
L ＝ 胖子的集合
＝ {( 张三，0.93 )，( 李四，0.4 )，( 王五，0.88 )， ( 赵六，0.9 )，( 丁丽，0.66 )，( 刘丽，0.7 )， ( 白丽，0.4 )}
模糊集合的运算
模糊交运算
赵六隶属于高个子集合的程度为0.4；赵 六隶属于胖子集合的程度为0.9； 这两个数字中取小 0.4 ∧ 0.9＝0.4， 作为赵六隶属于又高又胖者集合的程度。
通常集合的运算
交集合（两个子集合的共同部分）
A∩C ＝ 东莞籍男生 ＝ {张三，李四} A∩D ＝ 惠州籍男生 ＝ {王五，赵六} B∩C ＝ 东莞籍女生 ＝ {丁丽，刘丽} B∩D ＝ 惠州籍女生 ＝ {白丽}
通常集合的运算
并集合（两个子集合的联合）
E ＝ 东莞籍男生 ＝ {张三，李四} F ＝ 惠州籍男生 ＝ {王五，赵六} I ＝ 东莞籍女生 ＝ {丁丽，刘丽} J ＝ 惠州籍女生 ＝ {白丽}
通常集合及其运算
并集 交集 补集
A∪B = { x | x A 或 x B }； A∩B = { x | x A 且 x B }； A′= { x | x A }.
通常集合及其运算
论域U 的所有子集所组成的集合称 为U 的幂集，记为 (U). 集合A 的所有子集所组成的集合称 为A 的幂集，记为 (A).
通常子集合
B ＝女生的集合＝{丁丽，刘丽，白丽}
C ＝东莞籍学生＝{张三，李四，丁丽，刘丽} D ＝惠州籍学生＝{王五，赵六，白丽}
模糊子集合
诸如此类的“集合”，大 胖子的集合，学习好的学 生的集合，能力强的学生 （论域的一个模糊的部分） 的集合，…，如何表达？ K ＝ 高个子的集合 ＝ ？

A 1＝{u3} A0.8 ＝{u3 ,u4} A0.5 ＝{u2 , u3 ,u4} A0.4 ＝{u1 , u2 , u3 ,u4} A0.2 ＝{u1 , u2 , u3 ,u4 , u5}
1 1A1 = u3 0.8 0.8 0.8A0.8 = + u3 u4 0.5 0.5 0.5 0.5A0.5 = + + u2 u3 u4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4A0.4 = + + + u1 u2 u3 u4 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2A0.2 = + + + + u1 u2 u3 u4 u5
200669中科院寒旱所遥感室51976年传入我国1980年成立中国模糊数学与模糊系统学会1981年创办模糊数学杂志1987年创办模糊系统与数学杂志我国已成为全球四大模糊数学研究中心之一美国西欧日本中国200669中科院寒旱所遥感室6集合是现代数学的基础概念模糊集合是集合的发展是模糊数学的基础经典集合论任意元素和任意一个集合之间的关系是属于和不属于的
交流学习
模糊数学基础
王建宏
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
1
提
纲
模糊集概念 隶属函数确定 模糊关系 模糊综合评判 实例介绍
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
2
1、模糊集
模糊集理论 美国加州大学 控制专家 L.A. Zadeh 1965年开创
2006-6-9
中科院寒旱所遥感室
3
1、模糊集
L-模糊集 L-直觉模糊集
定义：设A∈F(U), λ∈[0,1] 则： (1)
Aλ = {u | u ∈ U , A(u ) ≥ λ}

模糊集之间的距离 模糊集之间的距离
• 在模糊数学实际应用中 有时需要比较两个模 在模糊数学实际应用中, 糊集合之间的差异或相近程度, 糊集合之间的差异或相近程度 例如模糊数学 在模糊识别中的应用。 在模糊识别中的应用。 • 以计算机手写文字识别为例。若将一个标准方 以计算机手写文字识别为例。 块字分解成为许多小格子, 块字分解成为许多小格子 而这些小格子构成 一个标准字模集合, 一个标准字模集合 所有标准字模集合组成了 论域X。 将用手写的一个文字看成为该论域中 论域 。 的一个模糊集合, 则手写文字识别问题便成为： 的一个模糊集合 则手写文字识别问题便成为 ： 此模糊集合与哪个标准字模集合最接近？ 此模糊集合与哪个标准字模集合最接近？这个 问题需要涉及到模糊集之间的距离概念。 问题需要涉及到模糊集之间的距离概念。
再讨论一个具体问题：假设有A, 两位顾客 再讨论一个具体问题：假设有 B两位顾客 选购家具, 选购家具 并且他们主要考虑的因素是 x1: 美观程度 x2: 耐用程度 x3: 价格高低。 美观程度; 耐用程度; 价格高低。 在选购时, 两位顾客将根据自己的观点, 在选购时 两位顾客将根据自己的观点 分别 给这三因素“评分” 事实上, 给这三因素“评分”。事实上 这种评分是模糊 用模糊数学的术语讲, 的, 用模糊数学的术语讲 是要确定对这些因素 满意”的隶属度。然而, “满意”的隶属度。然而 由于两位顾客个人的 经验、审美观、经济状况等都可能不尽相同, 经验、审美观、经济状况等都可能不尽相同 所 以他们对某件家具的评分结果很可能是不一致 比如： 的, 比如：
又因为 | A(u ) − 0.5 |=| A (u ) − 0.5 |, 所以 A 与 A
c ~ ~ ~ ~ c
的模糊程度应该相等

2014年6月26日
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例1：“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 0.2 0 A 1 2 3 4
可省略
例2：如洗衣机洗衣量“较多”：U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 表示成模糊集如下：
0 0 0.1 0.5 0.9 1 A 1 2 3 4 5 6
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表示方法1的说明
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域U的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
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模糊集合及其运算
（2）序偶表示法
~
~
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例1：“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
1 0.8 A x 0.2 0 x 1 x2 x3 x4
注：模糊集合中没有“属于”这个概念。
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模糊集合及其运算
A ( x ) 越接近于0, 表示 x 隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
可省略
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x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价， 例3：有100名消费者，对5种商品
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5