构造法解导数不等式问题

构造法解导数不等式问题 一．知识梳理 常见的构造函数方法有如下法则构造函数 1.利用和差函数求导法则构造函数 （1）对于不等式00或xgxf，可构造函数xgxfxF。 （2）对于不等式00或xgxf，可构造函数xgxfxF。 特别地，对于不等式0kkkxf或，可构造函数kxxfxF。 2. 利用积商函数求导法则构造函数 （3）对于不等式00或xgxfxgxf，可构造函数xgxfxF。

（4）对于不等式00或xgxfxgxf，可构造函数xgxfxF。 （5）对于不等式00或xfxfx，可构造函数xxfxF。 （6）对于不等式00或xfxfx，可构造函数0xxxfxF。 （7）对于不等式00或xnfxfx，可构造函数xfxxFn。 （8）对于不等式00或xnfxfx，可构造函数0xxxfxFn。 （9）对于不等式00或xfxf，可构造函数xfexFx。 （10）对于不等式00或xfxf，可构造函数xexfxF。 （11）对于不等式00或xkfxf，可构造函数xfexFkx。 （12）对于不等式00或xkfxf，可构造函数kxexfxF。 （13）对于不等式00tan或xxfxf，可构造函数xxfxFsin。 （14）对于不等式00tan或xxfxf，可构造函数0sinsinxxxfxF。 二．例题讲解 a．利用导数解不等式问题 （一）常规解不等式 例1 设函数()fx）是定义在（一，0）上的可导函数，其导函数为xf,且有22xxfxxf

,则不等式024201420142fxfx的解集为

答案：2016xx 变式训练1 xf是定义在（0，±∞）上的非负可导函数，且满足xfx+xf≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有（ ） A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a) 答案Ｃ

变式训练2 设函数xf在R上的导函数为f’(x),且xfx+2xf>x2,x下面的不等式在

R内恒成立的是（ ） A 0)(xf B 0)(xf C xxf)( Dxxf)( 【答案】A 【解析】由已知，首先令0x ，排除B，D。然后结合已知条件排除C,得到A 变式训练3 函数)(xf的定义域为R，2)1(f，对任意Rx，2)(xf，则42)(xxf的解集为（ ） A．（1，1） B．（1，+） C．（，1） D．（，+） 答案B

（二）和函数性质相关解不等式 例2 设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx

，则使得()0fx成立的x的取值范围是（ ）

A．(,1)(0,1) B．(1,0)(1,) C．(,1)(1,0) D．(0,1)(1,) 【答案】A 【解析】

试题分析：记函数()()fxgxx，则''2()()()xfxfxgxx，因为当0x时，'()()0xfxfx

，故当0x时，'()0gx，所以()gx在(0,)单调递减；又因为函数

()()fxxR是奇函数，故函数()gx是偶函数，所以()gx在(,0)单调递减，且

(1)(1)0gg．当01x时，()0gx，则()0fx；当1x时，()0gx，则

()0fx，综上所述，使得()0fx成立的x的取值范围是(,1)(0,1)，故选A．

考点：导数的应用、函数的图象与性质． 变式训练1.已知定义R在上的可导函数)(xf的导函数为)(xf，满足)()(xfxf，且)2(xf为偶函数，f（4）=1，则不等式xexf)(的解集为（ ）

A．(-2，＋∞) B．(0, ＋∞) C．(1, ＋∞) D．(4，＋∞) 答案.B

变式训练2 设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，,0)()()()(xgxfxgxf且,0)3(g则不等式0)()(xgxf的解集是（ ）

A．),3()0,3( B．)3,0()0,3( C．),3()3,( D．)3,0()3,( 答案.D

b．利用导数比较大小 （一）常规比较大小 例1 若0＜x1＜x2＜1，则( )

A．2121lnlnxxeexx B．21

21

lnlnxxeexx C．1221xxxexe D．12

21

xxxexe

答案C 变式训练1 若函数()fx在R上可导，且满足'()()fxxfx ，则( ) A.2(1)(2)ff B.2(1)(2)ff C.2(1)(2)ff D.(1)(2)ff

答案A 变式训练2 设函数fx的导函数为'fx，对任意xR都有'fxfx成立，则 （ ） A. 3ln22ln3ff B．3ln22ln3ff

C. 3ln22ln3ff D. 3ln2f与2ln3f的大小不确定 答案A 变式训练3 若定义在R上的函数)(xf的导函数为()fx，且满足()()fxfx，则(2011)f与2(2009)fe的大小关系为（ ）

A.2)2009()2011(eff B. 2)2009()2011(eff

C. 2)2009()2011(eff D. 不能确定

答案A

变式训练4 定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（ ） A． B．

B． D． 答案 D

（二）利用函数性质比较大小 1.已知函数)(xf满足)()(xfxf，且当)0,(x时，)(')(xxfxf0成立，若

)2(ln)2(ln),2()2(1.01.0fbfa，cbafc,,),81(log)81(log22则的大小关系是（ ）

A．abc B．cba C．cab D．acb

答案B 变式训练1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当0x时，不等式()()0fxxfx成立，若a＝30.2f(30.2)，b＝ (logπ2)f(logπ2)，c＝21log4f21log4，

则a，b，c间的大小关系( ) A．cba B．cab C．bac D．acb

答案A

变式训练2.已知'()fx是定义在R上的函数()fx的导函数，且5()(5),()'()02fxfxxfx 若1212,5xxxx，则下列结论中正确的是（ ）

02，fxfx

tanfxfxx

3243ff12sin16ff

264ff363ffA．12()()fxfx B．12()()0fxfx C．12()()0fxfx D． 12()()fxfx

答案D 变式训练3.已知定义在R上的可导函数)(xf的导函数为)(xf，满足)(xf＜)(xf，且)1(xf 为偶函数，1)2(f，则不等式xexf)(的解集为（ ）

A. （4,e） B. （,4e） C. （0,） D. （,0） 答案D

（三）利用函数解析式 1.已知一函数满足x>0时，有2()'()2gxgxxx，则下列结论一定成立的是（ ）

A．(2)(1)32gg B．(2)(1)22gg

C.(2)(1)42gg D．(2)(1)42gg

答案 B c．利用导数解决零点问题 例 定义在R上的奇函数)(xfy满足0)3(f，且不等式)()(xfxxf在),0(上恒

成立，则函数)(xg=1lg)(xxxf的零点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案B 变式训练1 已知定义在R上的奇函f(x)的导函数为f’(x)，当x<0时，f（x）满足2 '()fxxfxx，则f(x)在R上的零点个数为( )

A.1 B.3 C. 5 D .1或3 答案A

变式训练2 已知()yfx 为R上的连续可导函数，当x≠0时()'()0fxfxx ，则函

数1()()gxfxx 的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.0 D.0或2 答案C 三．课后练习

1.定义在R上的函数()fx满足：()1()fxfx，(0)6f，()fx是()fx的导函数，则不等式()5xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为( ) A．0, B．,03, C．,01, D．3, 【答案】A

2.函数fx的定义域是R，02f，对任意,1xRfxfx，则不等式1xxefxe的解集为（ ）

A.|0xx B.|0xx

B.|101xxx或 D.|11xxx或 【答案】A