湖南城市学院-随机过程讲稿(10)
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第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1:设(P ,,F )Ω为概率空间,T 是某参数集,若对每一个,是该概率空间上的随机变量,则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数,固定Ω∈0w ,即对于一个特定的随机试验,称为样本路径(Sample Path),或实现(realization),这是通常所观测到的过程;另一方面,固定,是一个随机变量,按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点:令,即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域),随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射,在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度:T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质,随机过程可以分为两大类: t 1)为可数集,如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ,称为离散参数随机过程,也称为随机序列;2)为不可数集,如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ,称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State),所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征,一般把随机过程分为两大类:T t t X ∈),(S 1) 离散状态,即取一些离散的值; )(t X 2)连续状态,即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程: Markov 链 连续参数离散状态随机过程: Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程: *Markov 序列连续参数连续状态随机过程: Gauss 过程,Brown 运动例2.1.1:一醉汉在路上行走,以的概率向前迈一步,以q 的概率向后迈一步,以p r 的概率在原地不动,1=++r q p ,选定某个初始时刻,若以记它在时刻的位置,则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间,T 为一指标集,对于任意t T ∈,都存在定义在(),,F P Ω上,取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应,则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程,简记(){}tX ω,{}tX 或(){}X t 。
注:随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数,对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量;对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数,此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数,也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间,也成为状态空间,通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。
2、随机过程分类:随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类:连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ,在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ,其n 维联合分布函数为:()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈,随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。
2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。