人教版高中数学必修3知识点
第一章：《算法初步》全章复习与巩固
【学习目标】
1.了解算法的含义，了解算法的思想；
2.重点理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构和循环结构；
3.重点理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义；
4.会用辗转相除法和更相减损术求最大公约数。
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：算法的概念
1.算法的定义：
广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤，那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，菜谱是做菜的算法等等.
在数学中，现代意义的算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序和步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
2.算法的特征：
(1)确定性：算法的每一步都应当做到准确无误、“不重不漏”.“不重”是指不是可有可无的、甚至无用的步骤，“不漏”是指缺少哪一步都无法完成任务.
(2)逻辑性：算法从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.
(3)有穷性：算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必
须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.
(4)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.
3.设计算法的步骤
算法与一般意义上的解决问题的方法不同，它是针对一类问题的一般解法的抽象和概括，在设计算法时，要注意算法的特性，即概括性、逻辑性、有穷性、普遍性等.一般用算法解决问题的过程可大致分为三步：
(1)明确问题的性质，分析题意.
(2)建立问题的描述模型.
(3)设计明确的算法.
要点二：程序框图及其画法
1.程序框图的概念：
程序框图又称流程图，是最常用的一种表示法，它是描述计算机一步一步完成任务的图表，直观地描述程序执行的控制流程，最便于初学者掌握。
2.程序框图常用符号：
3.画程序框图的规则：
(1)使用标准的框图的符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。
判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
4.算法的三种基本逻辑结构
(1)顺序结构
顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的.它是由若干个依次执行的步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.
见示意图和实例：
顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.如在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.
(2)条件结构
如下面图示中虚线框内是一个条件结构，此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件P是否成立，选择不同的执行框(A框、B框).无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B框，也不可能A 框、B框都不执行.A框或B框中可以有一个是空的，即不执行任何操作。
见示意图
要点诠释：
条件结构中的条件要准确，不能含混不清，要清楚在什么情况下需要作怎样的判断，用什么条件来区分.
(3)循环结构
在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始，按照一定条件重复执行某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体.
循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构.
①当型循环结构，如左下图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A 框，A框执行完毕后，返回来再判断条件P是否成立，如果仍然成立，返回来再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次返回来判断条件P不成立时为止，此时不再执行A框，离开循环结构，继续执行下面的框图.
②直到型循环结构，如右下图所示，它的功能是先执行重复执行的A框，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则返回来继续执行A框，再判断条件P是否成立，依次重复操作，直到某一次给定的判断条件P成立为止，此时不再返回来执行A框，离开循环结构，继续执行下面的框图。
见示意图
要点诠释：
循环结构中使用什么样的条件控制循环的开始和结束，要清楚满足某个条件的变量的次数与循环次数的联系与区别.
5.设计程序框图的注意事项
程序框图是用规定的图形和连接线来准确、直观、形象地表示算法的图形，画程
序框图之前应先根据问题设计出合理有效的算法，然后分析算法的逻辑结构，最后根据逻辑结构画出相应的程序框图.
在画程序框图时，应注意图形的准确性，连接线指向方向要正确.
在利用判断框设计循环结构时，对循环变量要先赋值，同时注意推出的条件，不能形成死循环.
要点三：用基本算法语句编写程序
1.输入语句
在程序中的INPUT 语句就是输入语句.这个语句的一般格式是：
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息.
INPUT 语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
功能：可对程序中的变量赋值.
要点诠释：
①“提示内容”提示用户输入什么样的信息，必须加双引号，提示内容“原原本本”的在计算机屏幕上显示，提示内容与变量之间要用分号隔开；
②变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；
③一个语句可以给多个变量赋值，中间用“，”分隔，但最后的变量的后面不需要；
④要求输入的数据必须是常量，而不能是函数、变量或表达式；
⑤无计算功能.
例如，输入一个学生数学，语文，英语三门课的成绩，可以写成：
INPUT “数学，语文，英语”；a ，b ，c
INPUT “提示内容”；变量
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3
，…
2.输出语句
在程序中的PRINT 语句是输出语句.它的一般格式是：
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”.
功能：可输出表达式的值，计算.
要点诠释：
①“提示内容”提示用户输出什么样的信息，提示内容必须加双引号，提示内容要用分号和表达式分开；
②表达式是指程序要输出的数据，可以是变量、计算公式或系统信息；③一个语句可以输出多个表达式，不同的表达式之间可用“，”分隔；
④有计算功能，可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.
3.赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句.它的一般格式是：
赋值语句中的“=”叫做赋值号.
功能：先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值.
要点诠释：
①赋值号的左右两边不能对换，如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的；②格式中右边“表达式”可以是一个数据、常量和算式，如果“表达式”是一个算式时，赋值语句的作用是先计算出“=”右边表达式的值，然后将该值赋给“=”左边的变量；
PRINT “提示内容”；表达式
变量=
表达式
③赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式，如：2=X 是错误的；④
不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)；
⑤对于一个变量可以多次赋值；
⑥有计算功能；
⑦赋值号与数学中的等号的意义是不同的.赋值号左边的变量如果原来没有值，则执行赋值语句后，获得一个值，如果已有值，则执行该语句后，以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将“原值”冲掉.
4.条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句.它的一般格式是：(IF-THEN-ELSE 格式)
当计算机执行上述语句时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE 后的语句2.其对应的程序框图为：(如上右图)
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN 语句：(即IF-THEN 格式)
满足条件？语句1语句2
是否IF 条件THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF 是
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句.其对应的程序框图为：(如上右图)
要点诠释：
条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去.需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理.
5.循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构.即WHILE 语句和UNTIL 语句.
(1)WHILE 语句的一般格式是：
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的.WHLIE 后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的.
当计算机遇到WHILE 语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE 满足条件？循环体
是
否WHILE
条件循环体WEND
与WEND 之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND 之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.其对应的程序结构框图为：(如上右图)
(2)UNTIL 语句的一般格式是：
其对应的程序结构框图为：(如上右图)
直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL 型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL 语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.
要点诠释
当型循环与直到型循环的区别
①当型循环是先判断后执行，直到型循环是先执行后判断；
②当型循环用WHILE 语句，直到型循环用UNTIL 语句；
③对同一算法来说，当型循环和直到型循环的条件互为反条件.
基本算法语句包括输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句五种，满足条件？循环体
是
否
DO 循环体
LOOP UNTIL
条件
它们对应于算法的三种逻辑结构：顺序结构、条件分支结构、循环结构，用基本语句编写程序时，要注意各种语句的格式要求，特别是条件语句和循环语句，应注意这两类语句中条件的表述以及循环语句中有关变量的取值范围.
【典型例题】
类型一：算法设计
例l.写出解方程2230x x --=的一个算法.
【解析】算法一：
第一步：将方程左边因式分解，得(3)(1)0x x -+=；
①
第二步：由①得x-3＝0，
②或x+1＝0；③第三步：解②得x ＝3，解③得x ＝-1.
算法二：
第一步：移项，得223x x -=；①
第二步：①式两边同时加1并配方，得2(1)4x -=；
②第三步：②式两边开方，得12x -=±；
③
第四步：解③得x ＝3或x ＝-1.
算法三：第一步：计算方程的判别式判断其符号△＝22+4×3＝16＞0；
第二步：将1a =，2b =-，3c =-，代入求根公式，得12
2b x a
-±=，，得13x =，21x =-.【总结升华】比较三种算法，算法三更简单，步骤最少，由此我们只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、合算的算法.因此在寻求算法的过程中，
首先是利用公式，下面我们设计一个求一般的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的算法如下：
第一步：计算24b ac =-△；
第二步：若0<△，方程无实根；
第三步：若△≥0，方程的根122b x a
-±=，.例2.设计一个算法，将高一某班56名同学中考试成绩不及格者的分数打印出来.
【解析】算法步骤如下：
S1令n ＝1.
S2如果n ＞56，则转到S7.
S3输入一个学生的成绩G.
S4将G 和60比较，如果G ＜60，则输出G.
S5n ＝n+1.
S6转到S2.
S7结束.
【总结升华】该题中实际是用到了算法的条件结构和循环结构，条件结构用于判断分数是否小于60；循环结构用于控制输入成绩的次数.
类型二：程序框图及其画法
例3.输出1000以内能被3和5整除的所有正整数，画出其程序框图.
【解析】能被3和5整除的正整数一定能被15整除，由于1000＝15×66+10，因此1000以内一共有66个这样的正整数.
引入变量a 表示待输出的数，则a ＝15n(n ＝1，2，3，…，66)，n 从1变到66，反复输出a ，就能输出l000以内的所有能被3和5整除的正整数，算法流程图如
图所示.
【总结升华】像这样的算法结构称为循环结构，其中反复执行的第②部分称为循环体.变量n控制着循环的开始和结束，称为循环变量，第①部分就是赋予循环变量初始值，预示循环开始.第③部分判断是否继续执行循环体，称为循环的终止条件.循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常需要用循环结构来设计算法.在循环结构中，要注意依据条件，设计合理的计数变量、累加变量等，要特别注意循环结构中条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次循环或少一次循环的情况.
例4.按下列程序框图来计算：(算法)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为______.
【思路点拨】本题是循环型程序框图，可以依次写出其前面的循环，找到规律，进而解答。
【答案】8
【解析】第一次循环，()11221s =⨯⨯=，4i =，2k =；第二次循环，()12442
s =⨯⨯=，
6i =，3k =；第三次循环，()14683s =⨯⨯=，8i =，4k =.此时退出循环，输出s 的值为8.
类型三：用基本算法语句编写程序
例5.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线B-C-D-A 由点B(起点)向点A(终点)运动.设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式.画出程序框图，并写出程序.
【思路点拨】此分段函数只要能够判断x 的取值范围，就能够很容易的求出y
的值.所以我们可以分4x ≤或8x ≤和8x >这两个模块分别设计算法，然后再组合成整个算法.
【解析】按x 的变化情形，可知函数关系式为2(04)8(48)2(12)(812)x x y x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪-<≤⎩
程序框图如图所示
程序如下：
【总结升华】本题要求运用条件语句的嵌套来完成，在书写含有嵌套形式的程序时，一般采用缩进的形式体现层次性.另外在书写运算符、逻辑关系符、常用数值符时，应按照要求规范书写。
例6.某班共有60名同学，在一次考试中，某科的成绩分为三个等级：80～
100
分为A，60～79分为B，60分以下为C，要求设计输出每个学生相应的成绩等
级的算法，并统计各个等级的人数，先画框图，再写程序.
【解析】程序框图如图所示.
程序：
【总结升华】本题中学生成绩等级由是否小于60分和是否小于80分控制，要用循环变量来控制循环.循环语句中一定包含着条件语句，在使用两种语句书写程序时，要明确它们各自的书写模式.
第二章：《统计》全章复习与巩固
【学习目标】
1.理解随机抽样的必要性和重要性；会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法，会用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本.
2.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.
3.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释.
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.
5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.
6.会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.【知识网络】
【要点梳理】
要点一：抽样方法
从调查的对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查.调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本.
1.简单的随机抽样
简单随机抽样的概念：设一个总体的个体数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
①用简单随机抽样从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，每次
抽取一个个体时，任一个体被抽到的概率为1
N
；在整个抽样过程中各个个体被
抽到的概率为n
N
；
②简单随机抽样的特点是：不放回抽样，逐个地进行抽取，各个个体被抽到的概率相等；
③简单随机抽样方法体现了抽样的客观性与公平性，是其他更复杂抽样方法的基础.
简单抽样常用方法：
①抽签法：先将总体中的所有个体(共有N个)编号(号码可从1到N)，并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可用小球、卡片、纸条等制作)，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时每次从中抽一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.
适用范围：总体的个体数不多.
优点：抽签法简便易行，当总体的个体数不太多时适宜采用抽签法.
②随机数表法：随机数表抽样“三步曲”：第一步，将总体中的个体编号；第二步，选定开始的数字；第三步，获取样本号码.
2.系统抽样：
当总体中的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按预先制定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到需要的样本，这种抽样叫做系统抽样.
系统抽样的步骤：
①采用随机的方式将总体中的个体编号，为简便起见，有时可直接采用个体所带有的号码，如考生的准考证号、街道上各户的门牌号等等.
②为将整个的编号分段(即分成几个部分)，要确定分段的间隔k .当N
n
是整数时(N 为总体中的个体的个数，n 为样本容量)，N k n =
；当N
n
不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的总体中个体的个数'N 能被n 整除，这时'
N k n
=.
③在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l .
④按照事先确定的规则抽取样本(通常是将l 加上间隔k ，得到第2个编号l k +，第3个编号2l k +，这样继续下去，直到获取整个样本).要点诠释：
①系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，它与简单随机抽样的联系在于：将总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；②与简单随机抽样一样，系统抽样是等概率抽样，它是客观的、公平的③总体中的个体数恰好能被样本容量整除时，可用它们的比值作为系统抽样的间隔；当总体中的个体数不能被样本容量整除时，可用简单随机抽样先从总体中剔除少量个体，使剩下的个体数能被样本容量整除再进行系统抽样.3.分层抽样：
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，所分成的部分叫做层.4.常用的三种抽样方法的比较：类别共同点
不同点
联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每
从总体中逐个抽取是后两种方法的基础
总体个数较少
5.不放回抽样和放回抽样:
在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样.随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样.要点二：用样本估计总体
1.统计图表包括条形图、折线图、饼图、茎叶图.
2.刻画一组数据集中趋势的统计量有平均数、中位数、众数.平均数：12...n
x x x x n
+++=
刻画一组数据离散程度的统计量有极差、方差2s 、标准差s .
方差：222
2
12()()...()n x x x x x x s n
-+-++-=.
3.总体分布
(1)总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.
(2)频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据(或数据组)的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据(或数据组)的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.
(3)频率分布直方图中每个小矩形的宽度为i x ∆(分组的宽度)，小矩形的面积为相应的频率i f ，高为
i i
f x ∆.
(4)频率分布折线图：在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左、右两边各加一个区间，从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，所得到的折线称为频率折线图.
(5)总体分布：从总体中抽取一个个体，就是一次随机试验，从总体中抽取一个容量为n 的样本，就是进行了n 次试验，试验所出现的结果叫随机事件，所有这些事件的概率分布规律称为总体分布.
(6)总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线.要点诠释：
①总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，总体在某一区间取值的百分比就是该区间与该曲线所成的曲边梯形的面积.
②总体密度曲线一般的分布规律是中间高、两边低的“山峰”形分布，总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内。
③并非所有的总体都存在密度曲线，如一些离散型的总体不存在密度曲线。
(7)茎叶图
除了上面几种图表能帮助我们理解样本数据外，统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图。
它是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况
的图。
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了。
4.几种频率分布的优缺点及用频率分布估计总体分布
(1)几种表示频率分布的方法的优缺点
①频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太方便。
②直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表示分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式。
但是从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了。
③频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势。
如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线。
④用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布情况。
但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了。
(2)用样本的频率分布估计总体的分布
用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想放法，对于不易知道的总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计。
一般地，样本容量越大，估计就越精确。
要点三：变量的相关性
1.散点图：将两个变量所对应的点描在直角坐标系中，这些点组成了变量之间的一个图，称为变量之间的散点图.散点图形象地反映了各对数据的密切程度.粗略。
