高等量子力学习题和解答
† 量子力学中的对称性
1、 试证明：若体系在线性变换Q
ˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。这里H ˆ为
体系的哈密顿算符，变换Q
ˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。进一步证明，若Q
ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q
ˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程
ˆ''ˆt t
i H i H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ
h h 进而有
2、 令坐标系xyz O -绕z
轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z
e
ρ的矩阵表示。
解：
'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z
θθθθθ
-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角
用矩阵表示 '10'10'00
1x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
还可表示为 '()z
e r R d r θ=r
3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ
转θ
d 角，
在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ
=。试导出转动算符),(θd n U ρ
的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ
下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z
e U d θr 利用 (')()()z
e r U d r θψ=ψ
及 (')()r Rr ψ=ψr r
可得 ()1z
e z i
U d d L θθ=-r h
通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为
1U U U -+=⇒ 为幺正算符
若 (')()()z
e r U d r θψ=ψr r r
则必有
1
(')()()()()[,]
z z
e e
z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r
h
若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒
4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋
1=S 。
解：矢量函数在旋转变换下
后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r
r r r r r r r r
又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r
比较得
'(')(')(')
ˆ[1]()[1]()[1]()()
x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ
θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r
h 类似可得 ˆ'(')()[1]()ˆ'(')[1]()y x z y
z z z
i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r
h
r r
h
写成矩阵形式 '(')()'(')()()'(')()z x x y e y z z r r r U d r r r θψψ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ψ=ψ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ψψ⎝⎭⎝⎭
r r r r r r r 其中 ˆ10ˆ()10ˆ00100ˆ(1)00000z z e z z z i d L d i U d d d L i d L d i d L I d θθθθθθθθθ⎛⎫
-- ⎪ ⎪
⎪=- ⎪ ⎪
⎪-
⎪⎝
⎭-⎛⎫
⎪
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭r h h
h h 改写为 00ˆ()[00]000z e z i i U d I d L I i θθ-⎛⎫
⎪=-+ ⎪ ⎪
⎝⎭r h h 再令 0000000z i S i -⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
h 则 ()()z
e z z z i
i U d I d L S I d J θθθ
=-+=-r h h
若哈密顿量具有转动对称性，必有总角动量守恒
由 222
2222000202002x y
z S S S S I ⎛⎫ ⎪=++== ⎪ ⎪⎝⎭
h h 知1S = →当某微观粒子的状态需要用矢量函数来描述的话，则该粒子自旋为１。 例：光子
5、 证明宇称算符的厄米性和幺正性，并证明宇称算符为实算符。
解：定义宇称算符ˆ()()P
r r ψ=ψ-r r
本征问题 ˆ()()P
r P r ϕϕ=r
r
厄米性
幺正性
† 角动量理论
1、 试证明任意个相互独立的角动量算符之和仍是角动量算符。
解： 轨道角动量 ˆ
[,]x y z L
r p L L i L =⨯=r
r r
h ； 自旋角动量 ˆ
[,]x y z S
S S i S =r h ； [,]0L S =r
r → J L S =+r r r 仍为角动量
证：[,][,]
[,][,]
x y x x y y x y x y z z z
J J L S L S L L S S i L i S i J =++=+=+=h h h
一般地若两角动量满足 12[,]0J J =r r
则12J J J =+r r r
也是角动量
进一步：任意个两两对易的角动量算符之和仍为角动量算符 证明：设n m n nm J J i J δ⨯=r r r
h 即[,]nx my nz nm J J i J δ=h
则对于 1
1
ˆ;,,k k n n n n J J J J x y z μμ
μ===⇒==∑∑r
r
2、 定义角动量升降算符y
x J i J J ˆˆˆ±=±，试利用升降算符讨论，对给定的角量子数j ，相应的磁量子数m 的取值范围。
解： 利用升降算符可得到给定λ下，2j z 和j 的全部本征函数
１）从jm ψ出发 ２）从j m ψ出发
m m 与—指标方程及取值情况 利用0j m J J ψ+-=和0jm J J ψ-+=
