进给运动的控制——闭环数控系统进给运动控制及特性分析

第三节 闭环数控系统进给运动控制及特性分析

一、闭环位置控制系统

（一）闭环位置控制的概念

数控系统位置控制的任务是准确控制数控机床各坐标轴的位置，半闭环与全闭环位置控制的基本原理相同，其控制是由数控系统中的计算机来完成的。

安装在工作台上的位置传感器(在半闭环中为安装在电动机轴上的角度传感器)将机械位移转换为数字脉冲，该脉冲送至数控装置的位置测量接口，由计数器进行计数。计算机以固定的时间周期对该反馈值进行采样，该采样值与插补程序所输出的结果进行比较，得到位置误差。该误差经软件增益放大，输出给数模转换器(D/A)，从而为伺服装置提供控制电压，驱动工作台向减少误差的方向移动。如果插补程序不断的有进给量产生，工作台就不断地跟随该进给量运动，只有在位置误差为零时，工作台才停止在要求的位置上。

（二）闭环位置控制的实现

数控装置上位置控制(以X轴为例)的接口如图4-14所示。可安装与电动机同轴连接的光电脉冲编码器作为反馈元件。光电脉冲编码器每转一圈能输出数千个均匀的脉冲信号，脉冲信号通过计数器的计数即可反映出工作台的位置。位置闭环控制程序和插补程序一样，都是在计算机的中断服务程序中实现的，其软件框图如图4-15所示。

中断服务程序：

当运行停止时，插补程序被禁止执行，因此每次中断时对应插补程序输出的值为零。但每次中断过程中，位置闭环控制照常执行一遍，此时X＝XF，因此所输出的模拟电压为零。当进给轴需运动时，插补程序输出的结果为△X，X＋△X就是新的指令位置，此时计算机将X＋△X指令位置与计数器中反映的实际位置进行比较，当不相等时，其差值E经Kc增益放大(软件完成)，由数模转换器输出一定的模拟电压，使得电动机带动工作台向减小误差的方向移动，也就是使工作台向指令位置处移动，直至指令值与实际值相等为止。

值得指出的是，这种闭环控制当电动机停止运动时，实质上是一种动态定位，即位置闭环控制仍处于工作状态。无论何种干扰(如电网电压波动、伺服装置漂移、负载力矩扰动等)使电动机偏移了指令位置，位置闭环控制立即输出一定的电压给伺服装置，驱动电动机力图维持原来的指令位置。实际上，由于各种扰动的存在，电动机停止运动时，在定位位置上始终存在着闭环修正。因此，动态定位本质上是由电磁力矩维持的定位。

二、位置控制回路的数学模型

根据前述位置控制的基本原理，不难画出位置控制回路的数学模型。如图4-16所示为半闭环位置控制结构的数学模型，如图4-17所示为全闭环位置控制结构的数学模型。

图4-16 半闭环位置控制数学模型

图4-14 数控装置位置控制接口

图4-15 闭环位置控制软件框图

以下对上述数学模型进行详细说明：

1) 如图4-16和图4-17所示跟随误差E实际上就是指令位置X与实际位置XF的差。K为整个系统的开环增益，K由四部分构成：

① KC软件增益。实质是由计算机内部的参数设置的，可通过设置Kc值来调整整个回路的开环增益，单位为(数字/数字)。

② Kda数模转换系数。数控装置通过DAC数模转换器输出-10V～+10V的电压来控制伺服电动机的运动。单位为(伏/数字)，它描述了计算机内每一个数值“1”对应的电压值。

③ Km伺服装置的放大倍数。单位为(转/秒/伏)。它描述了在伺服装置的控制端加1伏电压信号时电动机对应的输出转速。

④ Ka位置传感器的转换系数。单位为(数字/r)，它描述了电动机每转一圈，数控装置通过位置传感器所检测到的数值。

amdaCKKKKK （1/s） (4-9)

开环增益K是决定整个回路品质的重要参数，在机床调试时需进行调整。由以上分析可以看出，当设备选定后，调整开环增益的唯一方法就是调整软件增益Kc。

2) 如图4-16和图4-17所示，将伺服驱动装置简化为一个惯性环节，以便突出主要参数开环增益K和时间常数T。当需要考虑伺服装置超调振荡特性时，可将其简化为

2222ppppss)s(F (4-10)

当需要考虑计算机内部DAC转换以及驱动死区特性时，则可使用

1Tse)s(Fs (4-11)

2222pppspsse)s(F (4-12)

在上面数学模型中，T作为一阶系统的时间常数，而ξp、ωP则作为二阶系统阻尼比和自然振荡角频率(或称标称角频率)，τ为延时时间常数。伺服系统是一个复杂的双闭环系统，当进行位置闭环特性分析时对其进行必要的简化是必不可少的，这样才能突出关键参数。这种工程中的简化是十分常见的。

3) 积分环节描述了伺服驱动输出的速度量经位置反馈计数转换成为位置量的过程。

4) 间隙非线性环节描述了典型的机械传动反转间隙对整个系统的影响。

5) 如图4-16和图4-17所示最后一个环节描述了机械传动机构的动力学模型。如图4-18所示，传动机构承受的外力有电动机的输出力矩Mm以及等效至电动机轴端的负载力矩M1(它包括切削力矩、摩擦力矩等)。设k1为等效轴的传输扭转刚度，J1为等效至电动机轴端的转动惯量，B1为粘性阻尼系数，θm和θl为输入与输出角度。

图4-17 全闭环位置控制数学模型

图4-18 机械传动等效动力学模型

根据转矩平衡方程可得

dtdBdtdJMMm1121211 (4-13)

根据弹性变形方程

)(kMmm11 (4-14)

对式(4-13)、式（4-14）进行拉氏变换可得

)s(M)s(]sBsJ[)s(Mm11121

)]s()s([k)s(Mmm11

整理后可得

1121111ksBsJM)s(k)s(m

当外部扰动01M时，传递函数为

112111ksBsJk)s()s()s(Gm

令PAJk11、PA)kJ(B1112 则

2222PAPAPAPAss)s(G

这里ωPA即为机械传动机构的振荡角频率，ξPA为阻尼比。

6) 位置控制回路是典型的采样控制系统，但考虑到现代数控系统位置采样控制的周期很短(一般为1～10ms)，故可将其简化为连续系统分析。

7) 考虑到驱动死区以及数字化死区很小，同时，机械传递刚度引起的误差一般也很小，所以以下的分析主要以图4-19简化模型进行。

三、定位过程的误差分析

简化位置闭环控制数学模型的开环传递函数为

)Ts(sK)s(Gk1

由此明显可知该系统为典型的Ⅰ型系统，因此不存在位置定位稳态误差。其闭环传递函数为

图4-19 简化位置闭环控制数学模型

1112sKsKT)s(GB

根据典型二阶振荡环节的特性，其阻尼比与振荡角频率如下

KT121 TKn

如图4-20所示当伺服系统的时间常数一定时，增加K会引起位置响应曲线什么样的变化。如图4-21所示当K一定时，伺服系统时间常数的变化会引起位置响应曲线什么样的变化。通过计算机仿真计算，曲线是很容易得到的，并且这两个图中ω0=1/T。

由图可以看出，当T＝0.0125s时，如果开环增益K超过20（1/s），则位置响应曲线就会产生超调。这与理论上二阶系统当ξ≥1时无超调是相符的。同理当K＝20（1/s）时，如果伺服驱动的时间常数过大则位置响应曲线就会产生超调。

由此可以得到以下结论：

1) 要想取得较高的位置增益(较高的位置增益会明显减小跟随误差，减小过渡过程时间，在后面的内容中可以看出较高的位置增益对减小轮廓误差也是重要的)，所使用驱动装置的时间常数必须较小，也就是说伺服驱动装置的快速性要好。否则提高位置增益会产生超调，而在数控机床上超调就意味着过切，是不允许的。

2) 如果选择了快速性很好的伺服驱动，但没有相应提高位置增益，那么整个位置控制回路的瞬态响应并不能得到明显改善，因此K与T的配合是很重要的。一般来说取KT＝(0.2～0.3)是比较合适的，这样即可以保证很小的超调又可以保证良好的快速性。

3) 由于位置控制为Ⅰ型系统，因此在定位过程中(即恒速运动时)存在一个恒定的跟随误差。

)s(X)s(X)s(Ei0

跟随误差对输入的传递函数为

)s(X)s(X)s(X)s(E)s(Giie01

而闭环传递函数为

)s(G)s(G)s(X)s(Xkki10

因此 )s(G)s(Gke11

图4-20 定位过程位置响应曲线一

图4-21 定位过程位置响应曲线二

对应恒速运动(定位过程中)，其相当于斜坡输入，假定为单位斜坡输入，则

21s)s(Xi

)s(G)s(sXlim)(ekis10K)s(sGlim)]s(G[slimksks111100

因此，当以进给速度为V恒速运动时，跟随误差KVE。例如，当某轴开环放大倍数为30（1/s），以其200mm/min的速度运动时，在任一时刻命令位置与实际位置的差为mm.KVE110。

四、直线插补轮廓误差分析

由于不存在无限大功率的电动机，而且驱动对象总存在负载，因此跟随误差是无法避免的。但单个轴的跟随误差会对轮廓运动的误差产生什么影响呢？

当数控机床进行XY轴直线联动插补时，其X、Y轴分别对应进行恒速运动，即如4-22所示。

此时轮廓误差E与各轴跟随误差Ex、Ey关系如图4-23所示。xxxKVE、yyyKVE，A为指令位置，B为由于两轴存在跟随误差导致的实际位置。由图4-23可得

VVKVVVKVsinEcosEEyxxxyyxy

VKcosVsinVVKsinVcosVxy)KK(sinVxy1122

由此可见：

1) 当Kx＝Ky时，即两轴位置增益相同时，由于两轴跟随误差相抵消，轮廓误差E=0 。

2) 当sin2θ＝0，即θ＝0°或90°时，E＝0。其物理意义很明显，即当沿着X或Y轴运动时，不存在轮廓误差。

3) 实用中很难保证Kx与Ky完全相等，由下式可以看出

yxyxKKKKsinVE22 (4-15)

只要Kx和Ky足够大，所产生的轮廓误差很小。因此使两轴位置增益匹配并尽可能提高它们是很有必要的。需注意的是，由于暂态过渡过程在数百毫秒内迅速完成，这里仅讨论的

图4-22 直线插补运动示意图

图4-23 直线插补轮廓误差与跟随误差的关系