学科教学论专题三十三

随着课程改革的进行，对于我们数学教学也提出了更高的要求。《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》在总体目标重明确要求学生能够“获得适应未来社会和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学思想方法、数学活动经验）以及基本的数学思想法和必要的应用技能。”在基本理念中，也要求学生“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法„„”显然数学思想方法是数学教学目标的核心内容。因此，日常的数学教学中加强数学思想方法的渗透，培养数学的思维显得更加重要。首先，只有培养起比较完善的数学思想与数学方法,才能有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,有利于激发学生的学习兴趣,有利于提高学生学习的自觉性,才能把学生和教师从题海中解放出来,减轻教与学的过重负担。其次，数学是一个庞大的、有秩序的系统，对于从事初中数学教学的教师来讲，必须对数学的本质和方法有一个深入、全面的理解。这种对于数学的理解会影响到一个人的数学教学实践，进而影响到学生关于数学的理解、学习态度和应用等观念的形成。由此可见，无论从学生数学素养的培养方面和教师教学实践方面都需要教师精通数学方法论，只有熟知了这些方法论才能开展有效的数学课堂教学。

在数学方法论中，重点有观察、联想、尝试、试验、归纳猜想、类比推广、模拟、化归、公理化方法、数学悖论等数学论证方法，如果把这些理论和我们的实践教学活动联系起来将使我们的数学课更加有数学味，帮助学生领会内在的数学思想方法，认识数学的本质特征和应用价值。

案例 这是我在复习课上讲的一道习题。

如图所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成11ACD和22BCD两个三角形（如图2所示）.将纸片11ACD沿直线2DB（AB）方向平移（点12,,,ADDB始终在同一直线上），当点1D于点B重合时，停止平移.在平移过程中，11CD与2BC交于点E,1AC与222CDBC、分别交于点F、P.

(1) 当11ACD平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1DE与2DF的数量关系，并证明你的猜想；

(2) 设平移距离21DD为x，11ACD与22BCD重叠部分面积为y，请

写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；

(3) 对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；若不存在，请说明理由.

本例的难点是问题（2），很多同学都思路受阻，如何去表示这个阴影面积呢？因此教学中设置了以下问题引导学生去分析、解决问题。

（1）看清问题

问1：不规则图形的面积计算，通常用什么方法？

生1：（有所悟）割补法，转化为规则的图形。

问2：这里有没有熟悉可计算的图形？

生2：三角形， PFCBEDDBCSSSy1121或 yEBDFADAPBSSS12

问3：如何表示这些三角形的面积？还记得三角形面积的计算的方法吗？

这样的问题，思维指向清晰，又明确的教学目标，确定阴影面积y应该如何表示。当然这里“结果”启发式的问题沿着教师事先设置好的“轨迹”前进，缺少了一定的开放性，但关键要看这样的“问”是否调动学生参与的积极性，是否符合学生的认知水平，同时要注意问题的层次性，有易到难，前两个问题的设置有助于增强学生解题的信心。问3在此题解决中起到关键作用，学生刚开始脑海里还没合适的求三角形面积的方法，容易联想到最熟悉的公式ahS21。

问4：这些三角形的底能表示吗？高能表示吗？

生4：底比较容易分别是xBDAD512，xAB10，52BD，xFC1,高比较麻烦？

（2）绕过障碍

问5：我们不求高可否直接求三角形的面积？你有好方法吗？

生：三角形的面积计算通常用的方法还有sin21abS，还可以利用相似三CBDA图1 PEFAD1BC1D2C2图3 C2D2C1BD1A图2

角形的性质相似比的平方等于面积比。

此问引起学生认知上冲突而促进他们更深入进行思考，引导他们从知识仓库中提取用的东西，从而产生一个好的思路。把求不规则图形的问题划归为学生熟悉的求三角形问题，有利学生调动头脑中储存的关于这类问题的各种知识。同时概括了三角形面积计算的三种方法，涉及了相似，解直角三角形等有关知识点，把原来相对孤立的知识点有效的串连起来，优化学生的知识体系。

（3）解决问题

带参数的问题，通常把给定参数作为已知量运用如本题中的x，表示出所需的未知量,特别注意其中相等的量。引导学生找到对应的相似三角形，尽可能多的表示出相关的线段。

略解1。PFCBEDDBCSSSy1121

易得21DBCS＝ABCS21=12

∵ xFC1 FPC1∽ABC∴10021xSSABCFPC 22561xSFPC

∵EBD1∽12CBD同理可得：2)5(25121xSEBD

∴化简得)50(52425182xxxy

略解2。yEBDFADAPBSSS12

∵xAB10 ABC∽ABP ∴100)10(2xSSABCABP ABPS＝2)10(256x

同理可得：FADEBDSxS212)5(2512

∴化简得)50(52425182xxxy

这一环节学生顺着教师预设的“轨迹”到达了目的地，在这一过程中学生的知识结构得到了完善，使得他们通过对题目的重新认识，有了自己的思考和领悟。

（4）回到起点

题目解完后是否真正解决了这个问题呢？首先，在问题解决过程中学生的“疑”和教师假想的“疑”并不一定完全吻合，通过问题的回顾可对教学进行调整和优化。其次，学生的解题过程是在教师的“安排”下进行，思维有很大的直觉性和依赖性，可能顾及不到对自己思维过程进行分析、整理。所以解完后的总结反思就非常的必要。正是对于解题总结的重要性的认识，波利亚指出：“工作中最重要的那部分就是回去看一下完整的解答。通过考察他的工作过程和最后的解答形式。他会发现要观察认识的东西真是千变万化，层出不穷。”④

问6：解完后你对题目有没有新的发现和想法。

生5：通过上面的解答我发现利用相似比可求出三角形的高，公式ahS21也可行。

生6： RtABC的三边之比非常特殊3：4：5，因此与它相似的三角形都可以利用这一特性来计算，如RtABP，RtFPC1的面积都可以利用这一特性简化计算。

生7：我发现刚才在计算EBDS1 ，FADS2可以把它们拼在一起就是一个RtABF(E和F重合)，而且它与RtABC相似，因此利用相似比和面积比的关系计算出它们的面积。

生5，生6是在回顾解法后进一步理解了相似在求线段和面积的作用提出的一个解法，原先的障碍得到了解决，而生7是打破了原有思路的的束缚有了更为巧妙的解法，抓住不规则图形求面积的“割补”的原理。这是我没有想到的，有了他的启发下面的学生也有了更多的精彩的解答。

生8：（如图3）连结EF,把原多边形分成平行四边形FEDD21和RtPFE,通过RtPFE∽ RtABC可求出PFES，而平行四边形FEDD21的底是已知的，它的高就是三角形1AFD的高也可以用相似求得，因此平行四边形的面积也可求。

生9：平行四边形FEDD21面积可以这样求，连接21CC，2121DDCCS平行四边形=524x

（高等于RtABC的高），平行四边形FEDD21与平行四边形2121DDCC的面积比为122:CDFD=5:)5(x，所以)5(252421xxSFEDD平行四边形。

生10：有了他的启发RtPFE的面积可以这样求，因为EFCCSS2141 PEFRt平行四边形，用上面的方法可以求出EFCCS21平行四边形=2252452121xSxDDCC平行四边形，所以2 PEFRt256xS

割补方式的不同可以产生不同的方法，目的是把不规则图形转化为规则图形。生8把其转化为平行四边形是一个突破，而生8，生9则充分挖掘了平行四边形的特性，利用等底等高的面积转化方式非常巧妙，计算简便。

这节课虽然我只完成了一道例题但是学生给出了很多好的想法和思路是我没想到的，也给了我很多启发。教师在教学中如果能很好的抓住数学本质，以此为问题的载体，调动学生原有的认知，那么学生则会产生更多智慧的火花。教师在教学中不仅应使学生掌握具体的数学知识，而且也应帮助学生学会领会内在的思维方法。