材料力学第10章-材料力学中的能量法

基本概念
作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和 变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功。 0
FP FP
W 1 FP Δ 2
FP
Δ
O

Δ
对于材料满足胡克定律、又在小变形条件下工作的弹性杆 件，作用在杆件上的力与位移成线性关系。 这时，力所作的变力功为 1 W FP Δ 2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
杆件的弹性应变能
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
杆件在外力作用下发生弹性变形时，外力功转变 为一种能量，储存于杆件内，从而使弹性杆件具有 对外作功的能力，这种能量称为弹性应变能，简称 应变能(elastic energy). 考察微段杆件的受力和变形，应用弹性范围内力 和变形之间的线性关系，可以得到微段应变能表达式， 然后通过积分即可得到计算杆件应变能的公式。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 F S1
P1
S1 PS1
FP2
FS2
S2 P2
…
PS2
…
FPm FSn
S n PSn
FS 系统 FP 系统
Pm
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
Mx
d Mx
其中d 为微段两截面绕杆轴线的相 对扭转角：
d Mx dx GI P
代入上式积分后，得到圆轴扭转时 的应变能表达式
l M x 2l 1 Vε M x d 20 2GI P
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于一般受力形式
在小变形的情形下，杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和 扭矩作用时，由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因 而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是有
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
FP 系统
S2
SP2
SP m
Sn
FS 系统
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P 2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
A B
3
C
FP3
通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构 在加力点处沿加力方向的位移。 但是，根据机械能守恒定律，难以确定构件或结构上任 意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位 移函数。
第10章 材料力学中的能量方法
应用更广泛的能量方法，可以确定:
构件或结构上加力点沿加力方向的位移; 构件或结构上任意点沿任意方向的位移; 不仅可以确定特定点的位移，而且可以 确定梁的位移函数。
其中dθ 为微段两截面绕中性轴相对转过的 角度，
d2w M d 2 dx dx EI dx
M
dx
M
代入上式积分后，得到梁的应变能的表达 式
1 M 2l Vε Md 20 2 EI
l
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于承受扭转的圆轴
微段的应变能为
dVε 1 M x d 2
能量守恒原理的应用及其局限性
A B
2 3
1
FP1 FP2
C
FP3
承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生 变化，因而外力作功。
如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机 械能守恒定理，外力所作的功，全部转变为应变能储存于构 件或结构内。
第10章 材料力学中的能量方法
能量守恒原理的应用及其局限性
FP2 FP1 FPm
… FP 系统
FS2 FSn
FS1
…
SP2
SPm
SP1
FS 系统
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP2 FP1 FPm
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且 在弹性范围内加载时才适用。
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
叠加原理的应用限制
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
线弹性，位移可以叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP2 FP1 O Δ 1 Δ O Δ Δ2 O Δ2 Δ
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡， 这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性 体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是常 力功:
FP FP
W＝FPΔ
Δ´
需要指出的是，上述功的表达式中，力和位移都是广义的。 FP 可以是一个力，也可以是一个力偶；当FP是一个力时，对应 的位移Δ和Δˊ都是线位移，当FP是一个力偶时，对应的位移Δ和 Δˊ都是角位移。
第10章 材料力学中的能量方法

基本概念
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第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
作用在弹性杆件上的力所作的 常力功和变力功 杆件的弹性应变能
叠加原理的应用限制
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
作用在弹性杆件上的力所作的
常力功和变力功
第10章 材料力学中的能量方法
材料力学
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专题篇之一
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第10章 材料力学中的能量方法
几何法确定结构位移的复杂性
A B

FP FP
C
为了计算B点沿加力方向的位移，需要首先计算AB杆 的伸长量和BC的缩短量；然后建立这些量与加力点的位移 之间的关系。
第10章 材料力学中的能量方法
…
FPm FSn
S n PSn
Pm
PS1
小变形、弹性范围加载的情形下，最后的变形状态与加载 顺序无关。而应变能只与最后的变形状态有关。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P 2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
2 2 FN l M 2l Mxl Vε＝ ＋ ＋ 2 EA 2 EI 2GI P
对于杆件长度上各段的内力分量不等的情形，需要分段计算 然后相加：
2 2 FNi li M i2li M xi li Vε＝ ＋ ＋ 2 EI i 2 EA i i 2GI P
或者采用积分计算：
2 2 FN Mx M2 Vε＝ dx＋ dx＋ dx 2 EA 2 EI 2GI P l l i
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSn ΔPSn
功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起 的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在这一 个力系引起的相应的位移上所作之功。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
非线性弹性，位移也不可以叠加
FP FP
FP
FP1+FP2 FP2
1
Δ Δ2 O Δ2 Δ Δ
FP1
O Δ1
Δ
O
1+2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
FP A B
V 3 V 1 V 2 ?
A B
M
FP A B
V 3 V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
本章将介绍：
☆ 功和能的基本概念； ☆ 虚位移原理； ☆ 莫尔积分； ☆ 计算莫尔积分的图乘法;
重点是基本概念和图乘法。
第10章 材料力学中的能量方法

基本概念 互等定理 应用于弹性杆件的虚位移原理 计算位移的莫尔积分 直杆莫尔积分的图乘法 结论与讨论
互等定理
功的互等定理
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP2 FP1 FPm
…
P1 P2
FS2 FS1
Pm
FSn
FP 系统
…
S2
Sn
S1
FS 系统
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为
FN
FN
dVε
1 FN dx 2
dx+dx
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于拉伸和压缩杆件
dx 对于拉伸和压缩杆件，微段 的应变能为
dVε
FN
FN
Vε＝
dx+dx
互等定理
一个有意义的结果
FP
FP
FP1 O Δ1
Δ2
Δ
FP2 O Δ2
Δ1
Δ
FP1 Δ2 FP 2 Δ1
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
应用能量守恒原理和叠加原理，可以导出功的 互等定理与位移互等定理。
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理
位移互等定理
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
F F
V 1
A
C l l C
B
V 3 V 1 V 2
B
M
V 2
A
l
F
l
叠加法最本质的 内涵——力的独立作 用原理。
V 3
A
M l
C l
B
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
2 2 FN Mx M2 Vε＝ dx＋ dx＋ dx 2 EA 2 EI 2GI P l l i
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
1 1 1 Vε ＝ FP1Δ P1＋ FP 2Δ P2＋ ＋ FP mΔ Pm 2 2 2 1 1 1 FS1ΔS1 FS2ΔS2 FSnΔSn 2 2 2
l
1 FN dx 2
1 1 FN dx FN l 0 2 2
l＝
FN l EA
拉伸和压缩杆件的应变能为
2 FN l 1 Vε＝ FN l＝ 2 2 EA
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
对于承受弯曲的梁
d
忽略剪力影响，微段的应变能为
dVε 1 Md 2
…
P S1 P S2
P Sn
FP 系统
FS2 FS1
FSn
…
FS 系统
FS1 ΔPS1 FS2 ΔPS2 FSm ΔPS m
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理(reciprocal theorem of work)
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP2 FPmΔSP m
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
A
FP FP B
V 1
A B
V 2
A
V 3 V 1 V 2
FP FP
M
V 3
BM
M
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
F A
C
B
l
M
A
l C l
F
B
V 3 V 1 V 2 ?
l
M
A
C l
B
l
第10章 材料力学中的能量方法
Vε2
Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
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FP1+FP2
FP2 FP1 O Δ 1 Vε1 Δ O Δ2
Vε2
Vε Δ Vε1 O Δ2 Δ
V2 Δ1 ε Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
FP1ΔSP1 FP 2ΔSP 2 FPmΔSPm
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
功的互等定理的证明
FP1 FS1
P1 SP1 S1
FP2
FS2
P2
FPm
Pm
FSn
S2
SP2
SP m
FP1 F S1
P1 S1
FP2
FS2
S2 P2
…
PS2
Δ1
Δ
Δ=Δ1+ Δ2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP2 FP1 O Δ 1 Vε1 Δ O Δ2
Vε1
Δ1
Vε2
Δ
Vε O Δ2 Δ
Vε2
Δ
V V 1 V 2
第10章 材料力学中的能量方法
基本概念
不同的内力分量引起的应变 能，在什么条件下才能叠加？
第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
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第10章 材料力学中的能量方法
互等定理
线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加
FP FP
FP
FP1+FP2
FP2 FP1 O Δ 1 Vε1 Δ O Δ2
Vε1
Δ1
Vε2
Δ
Vε O Δ2 Δ