二次函数动点问题的学习归纳
模式1：平行四边形
例题1：在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.
练习：如图，抛物线322
x x y
与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．
（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF//DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．
①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．
例题2：如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数
y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
练习：如图1，直线
4
3
4
x
y
和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是
（-2，0）．
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他
们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；
③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．
A B C
O
P Q
D y
x
例题3：已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE DC ，交OA 于点E ．
（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；
（2）将△EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的
横坐标为65
，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．
练习：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过点B(12,0)和C(0,－6)，对称轴x ＝2．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一个动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t(秒)和点Q 的运动速度；若存在，请说明理由．
(3)在(2)的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
例题4：已知：在平面直角坐标系中，抛物线32x ax y （0a ）交x 轴于
A 、
B 两点，交y 轴于点
C ，且对称轴为直线2x
．（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；
（2）若点P （0，t ）是y 轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD 的面积为S ，令W ＝t ·S ，当0＜t ＜4时，
W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；
如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P 、A 、D 为顶点的三角形与Rt △AOC
相似？如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
练习：如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．
（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
y
x
O C
B A
D
