第七章 实数的完备性
1. 教学框架与内容
教学目标
① 掌握实数集完备性的基本定理内容．
② 掌握实数集完备性的基本定理等价性证明．
③ 利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.
教学内容
① 实数完备性基本定理内容及其之间的相互等价性．
② 有界闭区间上连续函数性质的证明.
2. 重点和难点
① 正确理解基本定理的含义及适用范围.
② 基本定理等价性证明.
③ 利用完备性定理证明有界闭区间上连续函数性质.
3. 研究性学习选题
● 完备性基本定理的应用, 以区间套定理和有限覆盖定理为例.
小组进行一次交流：叙述实数完备性基本定理的应用.
● 举例用不同完备性定理证明同一命题, 体会不同完备性定理的奥妙之处.
进行一次研讨：举一例说明不同完备性定理的不同应用.
4. 综合性选题, 写读书笔记
■ 整理完备性定理等价性证明.
■ 整理每个完备性定理适用范围.
5. 评价方法
◎ 课后作业，计10分.
◎ 研究性学习布置的两个选题合计30分.
● 完备性基本定理的应用（计15分）
● 用不同完备性定理证明同一命题（计15分）
◎ 读书笔记计60分.
● 完备性定理等价性证明总结（计30分）
● 完备性定理适用范围总结（计30分）
§1 实数基本定理的陈述
一、确界原理
定理1 非空有上(下)界数集必有上(下)确界.
二、单调有界原理
定理2 单调有界数列必收敛.
例 1 确界原理单调有界原理.
三、闭区间套定理
1、 区间套
设{[,]}nnab是一闭区间序列，若满足条件
1) 对任意n，有11[,][,]nnnnabab，即
11nnnnaabb，
2) lim0nnnba，即n时，区间长度趋于0，
则称该闭区间序列为一个(递缩)闭区间套，简称为区间套，区间套还可表示为
1221nnaaabbb.
注 1 区间套{[,]}nnab涉及两个数列{},{}nnab，其中{}na递增，{}nb递减且{}na有
第七章 实数的完备性
1 关于实数集完备性的基本定理(练习题)
1、验证：数集{(-1)n+n1}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1.
证：∵(-1)2k+2k1; (-1)2k+1+12k1∈{(-1)n+n1}, 且
klim[(-1)2k+2k1]=1; klim[(-1)2k+1+12k1]=-1，∴±1是{(-1)n+n1}的聚点.
设x0是不同于±1的聚点，则取ε0=21min{|x0-1|,|x0+1|}，存在N=0ε1，
当n=2k>N时，(-1)n+n1>1-ε0>-1-ε0，当n=2k+1>N时，(-1)n+n1<-1+ε0<1+ε0，
又当x0<-1时，ε0=21(-x0-1)，2ε0=-x0-1，即x0+ε0=-1-ε0，
当-1
当0≤x0<1时，ε0=21(1-x0)，2ε0=1-x0，即x0+ε0=1-ε0，
当x0>1时，ε0=21(x0-1)，2ε0=x0-1，即x0-ε0=1+ε0，
∴(-1)n+n1>x0+ε0或(-1)n+n1
∴落在U(x0,ε0)至多只有有限个点，与聚点概念矛盾.
∴{(-1)n+n1}有且只有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1.
2、证明：任何有限集都没有聚点.
证：设S为有限集，x0是它的聚点，由聚点定义存在互异{xn}⊂S且
nlimxn=x0，数列{xn}有无限项，与S为有限集矛盾. 原命题得证.
3、设{(an,bn)}是一个严格开区间套，即a1
∵an
[xn+1,yn+1]⊂[xn,yn], n=1,2,… 又bn+1-an+1
nlim(yn-xn)=0. ∴{[xn,yn]}为闭区间套，由区间套定理，
存在唯一一点ξ，使得ξ∈[xn,yn]⊂(an,bn), n=1,2,…
设数ξ’∈(an,bn), n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤bn-an, n=1,2,…，则
|ξ-ξ’|≤nlim(bn-an)=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.
仅供个人参考
不得用于商业用途 §2 实数完备性的基本定理
实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性。实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本节主要介绍7个较直观并且容易理解的基本定理，同时给出它们的等价证明。我们将在附录中建立严格的实数理论和这些基本定理两两之间的等价性证明。
2.1 实数基本定理的陈述
1. 确界存在原理
定理1.2.1 非空有上界数集必有上确界(非空有下界数集必有下确界)
2. 单调有界原理
定理2.1.8 单调有界数列必收敛
3. Cantor闭区间套准则
定义2.1(区间套) 设} ] , [ {nnba是一闭区间序列. 若满足条件
(1) 对n , 有 ] , [11nnba] , [nnba, 即 nnnnbbaa11, 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;
(2) ,0nnab )(n. 即当n时区间长度趋于零。
则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套。
简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套”
区间列。
区间套还可表达为
, 1221bbbaaann,0nnab
)(n。
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列} {na和 } {nb, 其中} {na递增, } {nb递减。
例2.1 } ] 1 , 1 [ {nn和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {nnn、
} ] 1 , 0 ( {n和 } ] 11 , 1 [ {nn都不是。
定理2.1(Cantor区间套准则) 设} ] , [ {nnba是一闭区间套。 则存在唯一的点，使对n 有] , [nnba。
1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区 间 套 定 理 若 {[an , bn ]}
[an , bn ], n 1,2, 。 是一个区间套 , 则 存 在 唯 一 一 点 ，使得
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设[a,b] 是一个闭区间， 为[a,b] 上的一个开覆盖，则在中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列{an }收敛 对任给的正数 ，总存在某一个自然数 N ，使得
m, n N 时，都有| am an | 。
一.确界原理
1. 确界原理证明单调有界定理
证 不妨设{ an}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ an }有上确界,记
a = sup{ an}.下面证明a 就是{ an} 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定义,存在数列{ an }中某一项aN ,使得a - ε> aN .又由{ an}的递增性,当n≥ N
时有a - ε < aN ≤ an.
另一方面,由于a 是{ an}的一个上界,故对一切an 都有an ≤ a < a + ε.所以当n≥ N 时有
a - ε < an < a + ε,
这就证得 an = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.
2. 确界原理证明区间套定理
证明：１ 设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足：
１） ∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；
２） ｂｎ－ａｎ ＝
我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）
存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ 有上确界，设supＳ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，
