第六篇 不等式A
第1讲 不等关系与不等式
[最新考纲]
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．
2．了解不等式(组)的实际背景．
3．掌握不等式的性质及应用.
知 识 梳 理
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；
(2)作商法 ab＞1⇔a＞ba∈R，b＞0，ab＝1⇔a＝ba∈R，b＞0，ab＜1⇔a＜ba∈R，b＞0.
2．不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．
辨 析 感 悟
1．对两个实数大小的比较的认识
(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．(√)
(2)若ab＞1.则a＞b.(×)
2．对不等式性质的理解
(3)在一个不等式的两边同乘以一个非零实数，不等式仍然成立．(×)
(4)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)
(5)(2014·丽水模拟改编)设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1a”成立的既不充分也不必要条件．(√)
(6)(2013·北京卷改编)若a＞b，则1a＜1b.(×)
若a＞b，则a2＞b2.(×)
若a＞b，则a3＞b3.(√)
[感悟·提升]
两个防范 一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c的符号等都需注意，如(2)、(3)、(4)．
二是利用特值法判断两个式子大小时，错误的关系式，只需取特值举反例即可，而正确的关系式，则需推理论证．如(6)中当a＝1，b＝－2时，1a＜1b不成立；当a＝－1，b＝－2时，a2＞b2不成立.
第四节 基本不等式
1．基本不等式
(1)了解基本不等式的证明过程．
(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
2．不等式的综合应用
会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．
知识点 基本不等式
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．
(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．
那么当x＝y时，x＋y有最小值2P.(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．
那么当x＝y时，xy有最大值S24.(简记：“和定积最大”)
易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．
必记结论 活用几个重要的不等式：
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．
(4)a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)．
(5)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
[自测练习] 1．下列不等式中正确的是( )
A．若a∈R，则a2＋9>6a
B．若a，b∈R，则a＋bab≥2
C．若a，b>0，则2lga＋b2≥lg a＋lg b
D．若x∈R，则x2＋1x2＋1>1
解析：∵a>0，b>0，∴a＋b2≥ab.
∴2lga＋b2≥2lg ab＝lg (ab)＝lg a＋lg B.
答案：C
2．已知f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
公众号：惟微小筑
第4讲 根本不等式
[最|新考纲]
1．了解根本不等式的证明过程．
2．会用根本不等式解决简单的最|大(小)值问题.
知 识 梳 理
1．根本不等式：ab≤a＋b2
(1)根本不等式成立的条件：a>0 ,b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中a＋b2称为正数a ,b的算术平均数 ,ab称为正数a ,b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a ,b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤a＋b22(a ,b∈R) ,当且仅当a＝b时取等号．
(3)a2＋b22≥a＋b22(a ,b∈R) ,当且仅当a＝b时取等号．
(4)ba＋ab≥2(a ,b同号) ,当且仅当a＝b时取等号．
3．利用根本不等式求最|值
x＞0 ,y＞0 ,那么
(1)如果积xy是定值p ,那么当且仅当x＝y时 ,x＋y有最|小值是2p(简记：积定和最|小)．
(2)如果和x＋y是定值s ,那么当且仅当x＝y时 ,xy有最|大值是s24(简记：和定积最|大)．
辨 析 感 悟
1．对根本不等式的认识
(1)当a≥0 ,b≥0时 ,a＋b2≥ab.(√)
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．(×)
2．对几个重要不等式的认识 公众号：惟微小筑
(3)(a＋b)2≥4ab(a ,b∈R)．(√)
(4)2aba＋b＝21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.(×)
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a ,b ,c∈R)．(√)
3．利用根本不等式确定最|值
(6)函数y＝sin x＋4sin x ,x∈0
π2的最|小值为4.(×)
(7)(2021·福州模拟改编)假设x＞－3 ,那么x＋4x＋3的最|小值为1.(√)
(8)(2021·四川卷改编)函数f(x)＝4x＋ax(x＞0 ,a＞0)在x＝3时取得最|小值 ,那么a＝36.(√)
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一、选择题
1．若a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是( )
A．18 B．6
C．23 D．243
解析： 3a＋3b≥23a·3b＝23a＋b＝6.
答案： B
2．已知f(x)＝x＋1x－2(x＜0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
解析： ∵x＜0，∴－x＞0，
∴x＋1x－2＝－－x＋1－x－2≤－2－x·1－x－2＝－4，
当且仅当－x＝1－x，即x＝－1时等号成立．
答案： C
3．已知x＞1，y＞1，且14ln x，14，ln y成等比数列，则xy( )
A．有最大值e B．有最大值e
C．有最小值e D．有最小值e
解析： ∵x＞1，y＞1，且14ln x，14，ln y成等比数列，
∴ln x·ln y＝14≤ln x＋ln y22，
∴ln x＋ln y≥1⇒xy≥e.
答案： C
4．函数y＝x2＋2x－1(x＞1)的最小值是( )
A．23＋2 B．23－2
C．23 D．2
解析： ∵x＞1，∴x－1＞0，
∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋2x＋2x－1
＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1
＝x－12＋2x－1＋3x－1
＝x－1＋3x－1＋2
≥2·x－1·3x－1＋2＝23＋2，
当且仅当x－1＝3x－1，即x＝1＋3时，取等号．
答案： A
5．(2011·北京东城联考)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )
A．50 B．253
C．503 D．100
解析： 设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.
于是S＝xy≤x2＋y22＝50，当且仅当x＝y时等号成立．
答案： A
