© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
第５卷第２期 ２００２年５月 扬州大学学报（１９然科学版） Ｊ＇ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＹＡＮＧＺＨＯＵ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（ＮＡＴＵＲＡｌ ＳＣＩＥＮＣＥ ＥＤＩＴＩＯＮ） Ｖ０１ ５ Ｎｏ．２ Ｍａｙ ２００２
二阶非线性微分方程的Ｓｔｕｒｍ
比较定理与振动性
程崇高
（１．黄冈师范学院数学系．湖北黄州．４粥０００ 周正新
２扬州大学理学院数学系，江苏扬州．２２５００２
摘要：建立了更广义的Ｐｉｃｏｎｅ恒等式，并用其研究了二阶非线性微分系统解的振动性质，同时给出相应 的Ｓｔｕｒｍ型比较定理，推广了现有的相关结论．
关键词：非线性微分方程 微分恒等式；零点
中围法分类号：０１７５ １４ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７—８２４Ｘ（２００２）０２一ｏｏｉ ７一ｏ４
著名的Ｐ［ｃｏｎｅ恒等式在研究二阶线性方程解的零点比较时起到了特别关键的作用，因此不少研
究者 对Ｐｉｃｏｎｅ恒等式的推广做了多方面的工作，并成功地将其运用于解的导数的零点比较、解的
零点与其导数的零点比较、某些非线性方程解的零电比较等．在本文中，我们首先给出一个微分恒等
式，在此基础上进一步得到二阶非线性方程的Ｐｉｃｏｎｅ恒等式，然后用它们探讨一类二阶非线性方程
的振动性质．证明了相应的Ｓｔｕｒｍ型比较定理．
考虑二阶非线性方程
［，Ｊｌ０，２－， ）・ ］ ＋ｒ Ｌ０， ）・ 一口ｌ０） ０， ， ）＝ｈ Ｌ（ ， ， ）， （１）
： ０，Ｙ，＿ｙ ）・Ｙ ］ ＋ （￡，＿ｙ）・Ｙ ＋ｑ２０） （ ，Ｙ，Ｙ ）＝ ２（ｆ，Ｙ，Ｙ ）， （２）
这里，Ｊ ， ，， ， ，ｈ ，ｈ ＥＣ［Ｒ ×Ｒ ］’ｒ＿＇ｒ＾Ｅｃ Ｒ ×Ｒ］， ，吼ＥＣＥＲ ］；Ｐ ，Ｐ２，ｒ ， 对各变量分别
有一阶连续偏导数；Ｐ。＞０，Ｐ ＞０，其中Ｒ ＝（０，十。。）．此外，文中涉及方程的解都可以延拓到Ｒ
上．
如果 （ ）的零点集是无界的，则称方程（１ｊ的非平凡解ｚ（ ）是振动的，否则称 （ｆ）是非振动的；
第２２卷第６期 ２００８年ｌ２月 江苏科技大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖ０１．２２ Ｎｏ．６ ＤｅＣ．２ｏｏ８
一类非线性波动方程的整体吸引子
陈静 ，丁丹平
（１．江苏科技大学数理学院，江苏镇江２１２００３） （２．江苏大学理学院，江苏镇江２１２０１３）
摘要：为了更好地了解非线性波动方程解的性态，研究了一类含有混合导数项的非线性波动方程的整体吸引子的存 在性问题：在引用Ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉ测度的定义并对其基本性质进行讨论的基础上，通过渐近先验估计，证明了解半群 ｛Ｓ（ｔ）｝ 在Ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉ测度下的渐进光滑性，从而得到了这类含有混合导数项的非线性波动方程在 （１＂２）×Ｌ２（ｎ）上 的整体吸引子的存在性定理． 关键词：吸引子；波动方程；先验估计
中图分类号：Ｏ１７５．２５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—４８０７（２００８）Ｏ６—００９１—０４
Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｏｒｓ ｆｏｒ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ＣＨＥＮ Ｊｉｎｇ ，ＤＩＮＧ Ｄａｎｐｉｎｇ （１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｚｈｅ￣ｉａｎｇ Ｊｉａｎｇｓｕ ２１２００３，Ｃｈｉｎａ） （２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａ￣ｅｍａｔｉｅｓ，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｊｉａｎｇ Ｊｉａｎｇｓｕ ２１２０１３，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｉｎｄｉｎｇ ｏｕｔ ｍｏｒｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｃｏｎ－ ｓｉｄｅｒｓ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ａｔｔｒａｃｔｏｒ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｖｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｍｉｘｅｄ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｑｕｏｔｉｅｎｔ
烟台师范学院学报（自然科学版） Ｙａｎｔａｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｊｏｕｒｎａｌ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
一类二阶非线性微分方程的振动性
孙元功 ，程 龙
（１．曲阜师范大学数学系．山东曲阜２７３１６５；２．济宁广播电视大学，山东济宁２７２０３７）
摘要：利用一个基本不等式，研究了一类既非超线性又非次线性的二阶微分方程 （ ）＋ 口（ｆ）Ｉ （ｆ）Ｉ ｓｇｎ （ｆ）＋６（ｆ）ｌ （ｆ）ｌ ｓｇｎ （ｆ）一Ｏ的振动性，其中口（ｆ），６（ｆ）允许变号，Ｏ＜ ＜１， ｙ＞１． 关键词：二阶；非线性微分方程；振动；充分条件 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４—４９３０（２００２）０３—０１６１—０３
考虑二阶非线性微分方程
（ｆ）＋日（￡）ｌ （￡）ｌ ｓｇｎｘ（ｔ）＋６（ｆ）ｌ （￡）Ｊ ｓｇｎｘ（ｔ）一０， （１）
其中ｆ∈Ｒ十一Ｅｏ，∞），ａ，ｂ：Ｒ十一尺为连续函数且允许变号，０＜ ＜１， ＞１．如同一些 文献，本文仅局限于研究方程（１）的定义于实半轴ＥＴ，∞）上的非平凡解．方程（１）的一个
解称为振动的，如果它有任意大的零点；方程（１）称为振动的，如果它的任意一个定义于 ＥＴ，∞）上的解均是振动的．
对于方程（１）的特殊形式，即Ｅｍｄｅｎ—Ｆｏｗｌｅｒ方程 ”（ｆ）＋ａ（￡）１ （￡）１￣ｓｇｎｘ（￡）一０， （２）
”（￡）＋ｂ（ｔ）ｉ （￡）｝ ｓｇｎｘ（ｔ）＝０， （３）
文献［１—５］已进行了大量的研究，但是，对于较为一般的方程（１），至今尚未有人研究过．
本文借助于一个基本的不等式
＋ ≥ “ Ｙ ， （４）
其中 ，Ｙ≥０，Ｐ，ｇ＞１且１／ｐ＋１／ｑ一１，给出了方程（１）振动的一个充分条件．
设存在一个区间 ，６］（二＝Ｒ ，使得当ｔ Ｅ ，６］时，日（￡）≥０，６（￡）≥０．下面首先证明
一个引理，这个引理本身也是有意义的， 引理 设 为方程（１）的一个解，使得 （￡）＞０，ｆ∈ ，６］．则对任意的 ＞１，
一类二维KdV方程的整体吸引子、维数估计及其惯性流形的开题报告
一、研究背景
随着计算机技术的快速发展和大规模计算的广泛应用，对于动力学系统整体吸引子和惯性流形的研究也越来越受到关注。而二维Korteweg-de Vries方程是一类重要的非线性偏微分方程，其解具有许多物理意义和应用价值。近年来，对于二维KdV方程的整体吸引子和惯性流形的研究也成为了非常热门的课题。
二、研究目的
本研究旨在研究一类二维KdV方程的整体吸引子、维数估计及其惯性流形的性质，通过数值模拟和理论分析探究其演化规律和变化特征，进一步认识动力学系统的本质。
三、研究内容和方法
1.建立一类二维KdV方程的模型，给出该方程的整体吸引子的存在性证明。
2.研究该方程的吸引子的拓扑结构，给出吸引子的维数估计结果。
3.采用数值模拟的方法，对该方程的演化规律进行分析和验证，探讨演化过程中存在的各种动态现象。
4.研究该系统的惯性流形的存在性和性质，给出惯性流形的估计结果。同时，研究惯性流形所包含的动态特征以及与吸引子的关系。
四、研究意义
通过本研究的开展，能够进一步认识动力学系统的基本性质和数学特征，探讨其在应用中的意义和价值。同时，这一研究也能够为其他相关领域的研究提供重要的参考。 五、研究难点和研究前景
本研究中的难点主要包括：如何给出整体吸引子的存在性证明和吸引子的维数估计结果，以及如何分析和验证演化过程中存在的各种动态现象。
未来的研究将从以下方面进行拓展：对于该方程的其他性质和动态特征进行探究，例如局部分析、边界条件、渐近行为等，以及对于其他类似方程的整体吸引子和惯性流形的研究。
