1314高数A试卷B

2024数学高考原卷一、若复数z满足(1+i)z=2，则z的实部为：A. 1B. -1C. 2D. -2（答案）A（解析）由(1+i)z=2，得z=2/(1+i)=(2(1-i))/((1+i)(1-i))=1-i，所以z的实部为1。

二、设函数f(x)=x2+2ax+3在区间[-1,2]上是单调函数，则a的取值范围是：A. [-2,1]B. (-∞,-2]∪[1,+∞)C. [-1,2]D. (-∞,-1]∪[2,+∞)（答案）B（解析）函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x=-a，要使函数在区间[-1,2]上单调，则需对称轴x=-a在区间[-1,2]的左侧或右侧，即-a≤-1或-a≥2，解得a≥1或a≤-2。

三、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=6，则a4=：A. 4B. 5C. 6D. 7（答案）C（解析）由等差数列前n项和公式Sn=na1+n(n-1)d/2，代入S3=6，a1=1，解得d=1，所以a4=a1+3d=1+3=4+1=6。

四、若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的夹角为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°（答案）B（解析）向量a与向量b的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)，代入a=(1,2)，b=(2,1)，得cosθ=(12+21)/(sqrt(12+22)*sqrt(22+12))=1，所以θ=45°。

五、已知函数f(x)=lnx-x+1，则f(x)的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3（答案）B（解析）求导得f'(x)=1/x-1，令f'(x)=0，解得x=1，当x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0，且当x趋于0或正无穷时，f(x)均趋于负无穷，所以f(x)只有一个零点。

高等数学B2期末考试试卷A卷（2010—2011第二学期）一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15 分）1、设,则的定义域为。

2、设当与满足时，能使得与轴垂直.3、设则。

4、设幂级数的收敛半径为2，则幂级数的收敛区间为．5、已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为．二、选择题(共 5 小题，每题 3 分，共计15 分）1、下列不等式正确的是（)(A）（B)（C)（D）2、将坐标面上的双曲线绕轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为（)（A）（B）（C）（D)3、下列级数绝对收敛的是( ）（A） (B)（C）（D)4、极坐标系下的累次积分在直角坐标系下可化为（）（A）；（B) ；（C）；（D）。

5、方程的特解可设为（ )（A)，若；（B），若；(C)，若；（D）,若。

三、求与两平面和的交线平行且过点的直线方程. (本题 6 分）四、计算下列各题（共5小题,每题 5 分，共计25 分）1、。

2、设，而,，求。

3、设，其中具有一阶连续偏导数,求。

4、求微分方程的通解。

5、设求。

五、求解下列关于幂级数的问题.（共 2 小题，每题 6 分,共计12 分）1、用比值审敛法判定级数的敛散性。

2、将函数展开成的幂级数.六、将周长为的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时,才可使圆柱体的体积为最大？(本题7 分）七、求解下列关于积分的问题.（共 2 小题,每题7 分,共计14分)1、求二重积分,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。

2、计算由四个平面，，，所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.八、设为连续函数,，证明:.（本题 6 分)。

河南理工大学 第 一 学期《高等数学b-1》期中考试试卷（A 卷）本试卷考试分数占学生总评成绩比例100%(4分)1．函数1sin )(2+=x x x f 在区间),(+∞-∞内是( )． （A ）有界函数（B ）单调增函数 （C ）偶函数（D ）单调减函数等价无穷小(4分)2．当0→x 时，下列与x 同阶但不等价的无穷小量是（ ）．（A ）x x -sin（B ）x x sin 2 （C ）)1ln(x - （D ）1-x e(4分)2．已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则=a ．求极限， ，幂指转化，无穷小等价代换，洛必达法则(4分)3．若极限22arctan lim 2=∞→xx k x ，则=k （ ）． （A ）2（B ）0 （C ）21 （D ）1(4分)1．若531lim e x k x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→，则=k ． (6分)1．计算极限⎪⎭⎫⎝⎛--+→x x x x 2cos 1)1ln(lim 0． 间断点类型判断，导数定义，综合(4分)4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)()(x x x x f x F ，其中函数)(x f 在0=x 处可导，0)0(,0)0(=≠'f f ，则点0=x 是函数)(x F 的（ ）．（A ）连续点（B ）第一类间断点 （C ）第二类间断点（D ）连续点或间断点不能由此确定间断点类型判断，极限，综合(6分)6．讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性． 若有间断点，判断其类型．导数定义(4分)5．设)(x f 可导，|)sin |1)(()(x x f x F +=，若欲使)(x F 在0=x 处可导，则必有（ ）．（A ）0)0(='f （B ）0)0()0(='-f f（C ）0)0()0(='+f f （D ）0)0(=f(4分)3．已知2)3(='f ，则=--→h f h f h 2)3()3(lim 0 ．(8分)1．设函数)(x f 满足下列条件：(1) 对一切x 、R y ∈，恒有)()()(y f x f y x f +=+；(2) )0(f '存在．证明)(x f 在R 上处处可导．求导数：基本导数公式，隐函数，参数方程确定的函数，对数求导法(4分)4．已知函数)(x y y =由方程0162=--++e x xy e y 确定，则=')0(y ．(6分)2．设22ln arctany x x y +=，求dxdy ． (6分)3．已知x x x x y +++=3333，求y '． (6分)5．已知函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2所确定， 求dx dy 及22dx y d ．高阶导数公式，莱布尼兹公式，常用高阶导数公式(4分)6．设2sin)(x x f =，则)()26(πf 的值等于（ ）． （A ）2621- （B ）2621 （C ）262（D ）0泰勒公式，麦克劳林公式，五大公式(4分)6．函数x x f tan )(=的带有佩亚诺余项的3阶麦克劳林公式为．三大中值定理及其应用：证明不等式，证明恒等式，证明中值问题(8分)2．设2e b a e <<<， 证明：)(4ln ln 222a b ea b ->-． 导数应用：单调性，极值，凹凸性，拐点，曲率(6分)4．求函数31292)(23-+-=x x x x f 的极值． (4分)5．椭圆41622=+y x 在点)2,0(处的曲率为 ．水平，铅直，斜渐近线。

13141线代A一、选择题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. C ;2. D ;3. B ;4. A ;5. B .二、填空题(本题5小题, 每小题3分, 共15分)1. c ab 2≠；2.91； 3. 3； 4. 23- ； 5. 5. 三、计算题(本题6小题, 共50分)1. 解: A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------210022170121b a a a (2分)， 由R (A ) = 2知，⎩⎨⎧=-=--0201b a ， ⎩⎨⎧=-=∴21b a ，一个最高阶非零子式3221-． 2．解: 由λλλλ-----=-314020112E A (),)(0212=-+-=λλ 得A 的特征值为.,21321==-=λλλ当11-=λ时, 解 ().0ρρ=+x E A,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+000010101414030111r E A得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011p ρ 对应11-=λ的全部特征向量为)(0111≠k p k ρ当232==λλ时, 解().02ρρ=-x E A,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-000000414111140001142r E A 得基础解系：,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=401 2p ρ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=041 3p ρ对应232==λλ的特征向量为)0,(323322不全为k k p k p k ρρ+3. 解: B= 2(|A |E －2A ) -1 A |A |=12(|A |E －2A ) -1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4100061000101， B=2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410061000101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛400030001 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛20001000514. 解: ),,,(4321ααααρρρρ=A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------71307311100943121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0000110024103121 → ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000110020102001 所以,秩3=A R , (1分)一个最大线性无关组为,,,321αααρρρ(2分)且321422ααααρρρρ++-= 5. 解：aa a a D ++++=43214321432143214321c c c c +++aa a a a a a +++++++432104321043210432101r r i -aa a a 00000000043210+＝)(103+a a 6. 解: 增广矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----==5312410131b ab A B ),(ρ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---120011100131b a(1) 当12-≠=b a ,时, 32=<=)()(B R A R ，此时方程组无解. (2) 当b a ,2≠取任意数时, 3==)()(B R A R ，此时方程组有唯一解. (3) 当12-==b a ,时, 32<==)()(B R A R ，此时方程组有无穷多解.B →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000011100131 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000011103201即⎩⎨⎧+-=+-=1323231x x x x原方程组的通解为)(R c c ∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--013112.四、判断题(本题5小题, 每小题2分, 共10分)1. ×;2. √;3. ×;4. √;5. √.五、证明题(本题2小题, 每小题5分, 共10分)1．证明: (1)由O E A A =++862得E E A A =++962，即E E A E A =++))((33 所以E A 3+可逆，且E A E A 331+=+-)(.(2)由A 为n 阶对称矩阵知，E A E A E A TT T 333+=+=+)()(，故()()()E E A E A E A E A T=++=++333)3(，所以E A 3+是正交矩阵．2． 证明: 3210a a a a ρρρρΘ,,,是n 元非齐次线性方程组b x A ρρ=的解，030201a a a a a a ρρρρρρ---∴,,是对应齐次方程组0ρρ=x A 的解；又,)(3-=n A R 所以0ρρ=x A 的基础解系中含向量个数为3)(=-A R n 个；下证 030201a a a a a a ρρρρρρ---,,线性无关即可.设0033022011ρρρρρρρ=-+-+-)()()(a a k a a k a a k 即00321332211ρρρρρ=++-++a k k k a k a k a k )(又 3210a a a a ρρρρ,,,线性无关， 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-===0000321321)(k k k k k k 有唯一解0321===k k k所以030201a a a a a a ρρρρρρ---,, 线性无关,从而030201a a a a a a ρρρρρρ---,,是其对应的齐次方程组0ρρ=x A 的基础解系。