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高中数学 圆锥曲线的统一定义

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高中数学 圆锥曲线的统一定义 教材：苏教版《选修2-1》2.5（Page 51 —52） 江苏省泰州中学 宋健 一． 教材分析： 《圆锥曲线的统一定义》是选修2-1（苏教版）2.5节的内容。教材对本章总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。本节从抛物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更高的形式上揭示圆锥曲线之间内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。 二．目标分析：

鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识和技能： 通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。 （二）过程与方法 通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用； （三）情感与价值观 通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。 三．教法分析：

教学重点：圆锥曲线统一定义的推导 教学难点：如何设出定直线方程（准线方程） 教学手段：多媒体辅助教学 教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导

四．过程实录： 温故而知新 师：我们知道，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(lF不在l上)的距离的比等于常数1的动点P的轨迹是抛物线． 边说边在黑板上画出定点和定直线（如图）.

根据此定义，适当改变条件，你能提出哪些有意义的问题？ （等待1分钟） 设计意图：由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步解决本节的学习障碍。

生: (多名同学合作) 1. 若定点F在定直线l上，轨迹会是什么呢？

2. 平面内到两个定点F1、F2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？

d P F PF

d=常数1 3. 平面内到两条定直线l1、l2的距离相等的点的轨迹会是什么呢？ 4. 平面内到一个定点F和一条定直线l的(F不在l上)距离不相等的点的轨迹会是什么呢？ 师：这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题，比如，将条件中的“在平面内”去掉，点的轨迹会是什么呢？这些问题请同学们课后研究一下，并与你的同伴互相交流各自的探究结果. 这节课我们一起来研究，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么曲线？ 动手试一试

师：（打开几何画板）当常数不等于1时，我们来看看它们的图像.

师生合作：学生说常数的数值，老师用几何画板画出对应的图像. （学生有点想法了） 师：让常数自由变化，学生观察轨迹的变化（一分钟） （学生的想法越来越清晰）

ldPFd = 1.90PF = 6.57厘米d = 3.47厘米常数 = 1.90抛物线改变常数的大小常数FP

ldPFd = 0.81PF = 6.57厘米d = 8.09厘米常数 = 0.81抛物线改变常数的大小常数FP 设计意图：以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验探索的问题情境，让学生观察，为猜想的形成提供足够的感性认识基础.

师：通过刚才的观察，你看出了些什么？常数与对应的图形有什么样的关联？ 生：可以看到当这个常数在（0,1）之间时，轨迹像椭圆，当这个常数大于1时，轨迹像双曲线。 师：一边肯定学生的回答一边板书. 合作探究 师：那么，当这个常数在（0，1）之间时，轨迹是不是椭圆，当这个常数大于1时，轨迹是不是双曲线呢？我们先研究这个常数在（0，1）之间时的情况. 前面已经研究过椭圆，如果这个轨迹是椭圆的话，这个定点会是椭圆的什么，这个常数又是椭圆的什么量？ 生：定点是椭圆的焦点，常数应该是椭圆的离心率. 师：怎么说明轨迹是椭圆呢？ 生：一是回到定义，也可以看看满足条件的动点P的轨迹方程，如果它是椭圆的标准方程，就可以证明猜想成立. 设计意图：一步步把学生思维从感性引向理性.

ldPFd = 1.00PF = 6.57厘米d = 6.57厘米常数 = 1.00抛物线改变常数的大小常数FPd P 师：那么，怎样建系来研究P点的轨迹呢？ 生：以过点F且垂直于定直线的直线为x轴，取O点，使 点F的坐标为(,0)c，建立直角坐标系（如图），点P的坐标设

为(,)xy，常数为ca(0)ac. 师：很好，定直线的方程应该是什么呢？ （学生思考，并尝试计算）

生：P可以取特殊点（比如右顶点），可以求出定直线的方程为2axc.

师：太棒了，有时研究特殊情形，会有意想不到的效果。 问题就变为：已知平面内点(,)Pxy到定点(,0)Fc的距离与它到定直线2:alxc的距离的比是常数ca(0)ac，求点P的轨迹． （学生先在稿纸上尝试后回答，老师板书）

解：根据题意可得222()||xcyPFcadaxc （*）

化简得22222222()()acxayaac 令222acb，上式可化为22221(0)xyabab，这是椭圆的标准方程． 设计意图：让学生尝试问题解决的快乐，增强自信心。

小有成绩 结论1：当点P(x，y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线2:alxc的距离的比是常数ca时，点P的轨迹是以焦点为(,0),(,0)cc，长轴、短轴分别为2,2ab的椭圆，方程为22221(0)xyabab，其中222bac。这个常数就是椭圆的离心率e． 师：我们来一起进一步认识一下（*）式： （1）将（*）式变形，cPFdeda，说明，求椭圆上的点到焦点的距离，可以先转化为求此点到定直线l的距离；又由PFde，求椭圆上的点到定直线l的距离，可以转化为求此点到焦点的距离；

进一步：（*）式可变形为：222()()caPFxcyxaexac，从而，椭圆上的点到焦点的距离可由此点的横坐标求出； （2）在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子： 222()acxaxcy-=-+，

将其变形为222()xcycaaxc-+=-，原来，“到定点距离与到定直线距离之比为定值”早就蕴 涵在其中。 再进一步

师：如果我们将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？ 学生思考，并很快类比得到

结论2：当点P到定点(,0)Fc的距离和它到定直线2:alxc的距离的比是常数(0)ccaa时，这个点的轨迹是双曲线，方程

为22221xyab（其中222bca），这个常数就是双曲线的离心率． 设计意图：双曲线的类似命题由学生思考、发现，从而为引导学生建立圆锥曲线的统一定义奠定基础.

（教师引导学生共同来发现规律） 渐入佳境 师:结论1、结论2，联想到抛物线的定义，你有什么想法？ （学生讨论） 生：圆锥曲线可以统一定义为：（老师板书） 平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹． 当01e时，它表示椭圆； 当1e时，它表示双曲线； 当1e时，它表示抛物线． 师：e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．

小试牛刀

师：下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨： （1）椭圆和双曲线有几条准线? （2）准线方程分别是什么？ 生：根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点

12(,0),(,0)FcFc对应的准线方程分别为22,aaxxcc．

2axc 2a

xc

2axc 2a

xc

师：如图，哪些线段的比是常数e？ 生：21=PFQFePAQC.

生(补充)：还有12=PFQFePBQD. 师：(强调对应性)，左顶点对应左准线，右顶点对应右准线.

M y x d F2 F1

o

F2 F1

x

y P

Q A B

C D 设计意图：对于焦点在y轴上的圆锥曲线的准线方程，由对称性，学生在遇到这类问题时会很快解决问题，没有必要单独介绍。

师：今天我们一起学习了一些新知识，我有些迫不及待的想用这些知识了。 小菜一碟

1．求下列曲线的焦点坐标和准线方程

生：自主完成 师：巡视释疑，提醒学生注意将方程先变成标准形式，对于焦点在y轴上的曲线的焦点坐标和准线方程，可类比焦点在y轴上的曲线的焦点坐标和准线方程。 设计意图：通过解题后的反思，增强学生的反思意识，有利于总结方法规律.

慢慢品尝 2．中心在原点，准线方程为4y=?，离心率为21的椭圆方程是 生：自主完成 师：巡视释疑，先定方程形式（焦点位置），再解出基本量. 设计意图：学生自主完成，有利于学生对基础知识的掌握和增强学好本课内容的信心。

饕餮美食

3．已知 椭圆2212516xy+=上一点P到左焦点的距离为345， （1）求P点到右准线的距离. （2）求P点的坐标。 生：尝试解决，并提出了两种解法 师：总结这两种解法，强调转化思想和对应性

设计意图：1、2两题是与准线方程有关的问题，巩固重点；2、3两题以椭圆作为背景，这是因为江苏高考对椭圆的要求较高，

对双曲线、抛物线的要求较低。 回味余香

师：这节课你有什么收获？ （留时间让学生畅谈在本节课中的体验、收获。） 生：回顾、总结，互相补充 师：通过本节课的学习，圆锥曲线在多方面达到和谐统一：方程(二次)、图形(平面截圆锥面所得)、统一定义、性质(焦点、准线、离心率、对称性等)、研究方法(内容、工具思想).

设计意图：圆锥曲线在多方面达到统一，对思想的提升，需要老师点出。

大显身手 布置课外作业：课本51P

习题2.5第１题（填在课本上）

课本51P习题2.5第2题． 设计意图：回顾反思本课时所学知识，梳理巩固所学内容. 强化基本方法与技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质，发现和

弥补教学中的遗漏和不足。 五、板书设计：

课题：§1.2.3 诱导公式

22(1)24xy22(2)24yx2

(3)0xy

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圆锥曲线的统一定义3

圆锥曲线的统一定义3

已知P为双曲线 1右支上的一点,F1 , F2 16 9 分别为左、右焦点，若PF1 : PF2 3 : 2，试求点
P( x0 , y0 )的坐标。
2 2
y 2.已知双曲线x 1左、右焦点分别为F1 , F2， 3 双曲线左支上的一点P到左准线的距离为d，且 d,PF1 , PF2成等比数列，试求点P( x0 , y0 )的坐标.
y P F2 x
2
F1 P
o
P
A
（思考题）P为抛物线 y 4x上的一动点， 记点P到准线的距离为 d1 ，到直线 x 2 y 12 0 的距离为 d2 ，则 d1 d2 的最小值是___ 11 5
2
5
y
E G D O P
x
F
椭圆
求|PA|+|PB|的 最大值与最小值。
P A F1
x y 1 4 3
2 2
上运动。
|PA|+|PB| =|PA|+(2a-|PF1|) =|PA|+4-|PF1| =|PA|-|PF1|+4
· · ·
· B ·
10若|PA|>|PF1| 则|PA|+|PB| | AF1 | 4 1 4 5
20若|PA|<|PF1| 则|PA|+|PB| | AF1 | 4 1 4 3
x 2 例2、 已知双曲线 y 1 F1，F2 4
为左、右焦点，点A(3,-1)，在双曲线上 求一点P，使 （1） PA PF2 取得最小值; （2） 5 PA 2 5 PF2 取得最小值.
一、复习回顾
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常 数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
圆锥曲线的统一定义 (2)

圆锥曲线的统一定义 (2)

§2.5圆锥曲线的统一定义教学目的： 1、知识与技能:掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念 2.过程与方法类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。

3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,探究能力，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成 教学难点：圆锥曲线方程的推导 教学过程： 一.情境设置复习回顾1、抛物线的定义：探究与思考:1≠dPF呢 2、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子： 将其变形为:你能解释这个式子的几何意义吗？二、知识建构例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:=的距离的比是常数 ca (a>c>0),求P 的轨迹.变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2:= 的距离的比是常数 ca(c>a>0),求P 的轨迹.222)(y c x a cx a +-=-a c x c a y c x =-+-222)(圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 思考1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？3、题中的|MF|=ed 的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？准线: 定义式:)0(12222>>=+b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b y a x例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦点的位置→确定a,c,p 的值,得出焦点坐标与准线方程. 例3已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.辨析：点P 与定点F （2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1/2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

圆锥曲线的一个统一性质

圆锥曲线的一个统一性质

圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。

它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。

圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。

椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。

这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。

圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。

圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。

圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。

这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。

圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。

圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。

这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。

总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。

这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。

圆锥曲线基础知识梳理

圆锥曲线基础知识梳理

圆锥曲线知识要点梳理知识点一：圆锥曲线的统一定义椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线。

定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率。

①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；②e=1时轨迹是抛物线；③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质1．椭圆：(1)定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；(3)椭圆的的简单几何性质:范围：，，焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝，2．双曲线(1)定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫双曲线的焦点．(2)标准方程当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.(3)双曲线的简单几何性质范围：，；焦点，顶点，实轴长=，虚轴长=，焦距＝；离心率是，准线方程是；渐近线：.3．抛物线(1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)标准方程四种形式：，，，。

(3)抛物线标准方程的几何性质范围：，，对称性：关于x轴对称顶点：坐标原点离心率：.知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系1．直线Ax+By+C＝0和椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆后化简为一元二次方程，其判别式为Δ。

(1)若Δ＞0，则直线和椭圆相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和椭圆相切，有一个切点(或一个公共点)；(3)若Δ＜0，则直线和椭圆相离，无公共点．2．直线Ax+By+C＝0和双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程后化简方程①若为一元一次方程，则直线和双曲线的渐近线平行，直线和双曲线只有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)；(2)若Δ＝0，则直线和双曲线相切，有一个切点；(3)若Δ＜0，则直线和双曲线相离，无公共点．注意：如说直线和双曲线有一个公共点，则要考虑两种情况：一个切点和一个交点3．直线Ax+By+C＝0和抛物线y2＝2px(p＞0)的位置关系：将直线方程代入抛物线方程后化简后方程：①若为一元一次方程，则直线和抛物线的对称轴平行，直线和抛物线有一个交点，但不相切不是切点；②若为一元二次方程，则(1)若Δ＞0，则直线和抛物线相交，有两个交点(或两个公共点)； (2)若Δ＝0，则直线和抛物线相切，有一个切点； (3)若Δ＜0，则直线和抛物线相离，无公共点。