对数及其运算

对数与对数运算法则1、对数定义:例子：2’ =8,则 ^log 28 2、对数运算法则：(1)对数恒等式：alogay=y(2 )对数的积、商、幕对数log aMNlog aM log aNgjaMgN ，log aM = ： log aM(3)换底公式：l o a gN l o a ^b对数换底公式的推论及其应用(1)1 (a 0,b0且 a =1,b -1) olog b a(2) log a n b n=(a 0, b0 且 a = 1,n -0) o(3)log n b m=(a 0, b 0 且 a =1,m n = 0) o(4) log m N(a 0 且 a 1, m =0)o一、积商幕的对数运算 例1•若a > 0, a * 1 x >y >0,n € N*则下列各式：①(log a X )n 二 nlOg a X ②(log a X )n = log a X n ③ log a ^Hog a -④ |o g a x = log a? X log a y y⑤ /og a x =-log a x ⑥log aX= log a V X ⑦ log a x = log a n x n⑧ log —― = - log-一yn nax+y x_y其中成立有 ____________________ 。

例2•用log a x , log a y , log a z 表示下列各式:(1) logxyz(3) log"yz例3•计算： (1) lg 5100(2) log a (x 3y 5)75(2) Iog 2(42 )(4)跟进练习：求下列各式的值： (1)(lg5)2 lg2lg5 lg2跟进练习:二、课堂练习： A 组1、求下列各式的值:(1) log 216 ； (2) log 3 27 ； 1(3)log 216(4) log* ;(5)log丄1000; (6) lg1；(2) lg2lg50-lg5lg20+lg25二、换底公式及其推论的应用 例题4. (1)求log 89」og 27 32的值(2)计算l0g52 l0g4981的值log 25 3 log 7 ^4(1)1 log 26 lg 8 lg27125(2) Iog48 —log^+log 至194(3)lg 25 lg2 *lg50, 1.1.1(4) g 怎・log38・log59例5.( 1)求证:log x y log y z^log x z(2)已知 Ig2 =a,lg3 =b ,用a,b 表示lg-、45的值310(7) Ig 0.001 ； 1 (8) Ig10J; (9) In —；e(10) 3Iog312 ； (11) 2Iog2 64 ；(12) 4Iog264B 组4、Ig 5 Ig 20 ；6、lgO.015 ；8、Iog 2(43、32)；9、log 77.49 ；1、求值Ig2、(Ig 5)2 Ig2 Ig501、Iog 5l6 log ie 5；2、27Iog 36 log^^3、log s lO Tog 5250；, 「 , 15、Iog 8 7 Iog 8 7；27、Iog 3(81 27 )；。

对数的性质与运算对数是数学中常用的一种运算工具，它在科学、工程和计算机等领域被广泛应用。

对数有许多独特的性质和运算规则，下面将对这些内容进行介绍。

一、对数的定义对数可以理解为指数的逆运算。

设 a 和 x 是正数，且a ≠ 1，那么以a 为底的 x 的对数表示为logₐx，满足 a 的 x 次幂等于 x，即a^logₐx = x。

其中，a 称为底数，x 称为真数。

二、对数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自身为底数的对数均为 0。

2. logₐa = 1：任何数以自身为底数的对数均为 1。

3. logₐ(a × b) = logₐa + logₐb：两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。

4. logₐ(a / b) = logₐa - logₐb：两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。

5. logₐaⁿ = n × logₐa：一个数的 n 次幂的对数等于该数的对数乘以 n。

6. logₐa = 1 / logₐa：等式左右两边互为倒数。

三、对数的运算1. 对数的乘法：logₐ(a × b) = logₐa + logₐb。

对数的乘法规则表明，两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。

例如：log₂2 + log₂3 = log₂(2 × 3) = log₂6。

2. 对数的除法：logₐ(a / b) = logₐa - logₐb。

对数的除法规则表明，两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。

例如：log₃8 - log₃2 = log₃(8 / 2) = log₃4。

3. 对数的幂：logₐaⁿ = n × logₐa。

对数的幂规则表明，一个数的n 次幂的对数等于该数的对数乘以n。

例如：log₄(2³) = 3 × log₄2。

4. 对数的换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。

换底公式是用于将对数的底数从一个给定的底数转换为另一个给定的底数。

第3讲：对数及其运算【复习要求】1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化；2、初步学会换底公式的基本运用；3、掌握积、商、幂的对数性质。

会用计算器求对数。

【知识要点】1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。

2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=；3、对数恒等式：N aNa =log （0,01N a a >>≠且）。

4、换底公式及衍生性质：()1 log log log m a m NN a= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)()2a b b a log 1log =，()3c c b a b a log log log =⋅， ()4b nm b a ma n log log =5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； log log log aa a MM N N=-； log log n a a M n M =；1log log a a M n=【基础训练】1、如果2(0,1)a b b b =>≠，则有 （ D ） （A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521log 3log 3m =+，则有 （ B ） （A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 112m -（用m 表示）4、计算：（1）lg 4lg9++= 2 （2）223412223log (8log 16)log log +-= 605、若2log 1a <，则正数a 的取值范围是 02a <<【典型例题】类型1、对数与指数的互换例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.例2、（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.类型2、对数的四则运算例3、若*01,0,a a x y n N ≠∈＞，＞＞，则下列各式：①(log )log n a a x n x =；②(log )log n n a a x x =；③1loglog a a x x =-；④log log log a a a x x yy=； 1log a x n =；⑥log log a a xn =log log nn a a x x =；⑧log log a a x y x y x y x y-+=-+-；其中成立的有_____________；答案：③⑥⑦⑧例4、化简与求值： （1）log log a bb ca⋅；（2）2log -； （3）222lg5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++⨯+ （4答案（1）c ；（2）12；（3）3；（4）12【补充练习】计算（1）2log =32（2）33lg 2lg 53lg 2lg5++= 1 例5、若[][]345435log log (log )log log (log )0a b ==，则ab=__________； 答案：435;55a a b b==⇒= 例6、已知函数()f x 满足“当4x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4x ＜时，()(1)f x f x =+”，则2(2log 3)f +=_________； 答案：124例7、（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .例8、已知lg lg 2lg(2)a b a b +=-，求4log ab的值； 答案：先求出：a b =（舍）或4a b =，从而4log 1ab=类型3、对数的恒等式与换底公式的应用例9、若83log 3,log 5p q ==，则lg 5=________； 答案：3333log 5113log 8log 2lg 53log 1013pqp p pq=⇒=⇒==+； 例10、已知18log 9a =，185b=，试将36log 45用,a b 表示；【解】方法一、利用指数对数互换转化为指数式：189;1854518a b a b+==⇒=令36log 45x =从而181836451836()1833xa bx x a b ++⇒==⇒=⋅=亦即218189x a b x +=⋅(18)1818a x a b ax a b +++=⋅=22a b x ax a b x a+⇒=++⇒=-；方法二、换成对数式，然后利用换底公式，换成18为底的对数计算问题； 方法三、化成10为底的形式；方法二略简单例11、若78log 2,log 14k =求的值。

4.3.2 对数的运算1．对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)． 2．换底公式若a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1， 则有log a b ＝log c blog c a．1．计算log 84＋log 82等于( ) A ．log 86 B ．8 C ．6D ．1D 解析：log 84＋log 82＝log 88＝1. 2．计算log 510－log 52等于( ) A ．log 58 B ．lg 5 C ．1D ．2 C 解析：log 510－log 52＝log 55＝1. 3．计算2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4 C 解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 4．计算log 23·log 32＝________． 1 解析：log 23·log 32＝lg 3lg 2×lg 2lg 3＝1. 5．计算log 225·log 322·log 59＝________． 6 解析：原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.【例1】(1)若lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 45lg 12＝( ) A.a ＋2b 2a ＋b B.1－a ＋2b 2a ＋bC.1－b ＋2a 2a ＋bD.1－a ＋2b a ＋2b(2)计算：lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________．(1)B (2)－1 解析：(1)lg 45lg 12＝lg 5＋lg 9lg 3＋lg 4＝1－lg 2＋2lg 3lg 3＋2lg 2＝1－a ＋2b2a ＋b .(2)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.【例2】计算：(1)log 345－log 35； (2)log 2(23×45)；(3)lg 27＋lg 8－lg 1 000lg 1.2；(4)log 29·log 38.解：(1)log 345－log 35＝log 3455＝log 39＝log 332＝2.(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(213) ＝13log 22＝13. (3)原式＝lg （27×8）－lg 1032lg 1210＝lg （332×23÷1032）lg 1210＝lg⎝⎛⎭⎫3×41032lg 1210＝32lg1210lg 1210＝32.(4)log 29·log 38＝log 232·log 323 ＝2log 23·3log 32＝6log 23·1log 23＝6.利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理；②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于化简的原则进行． (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．提醒：对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值过程中，要注意公式的正用和逆用．计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.解：(1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12（lg 2＋lg 9－lg 10）lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.【例3】已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645. 解：因为18b ＝5，所以log 185＝b . (方法一)log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（9×5）log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a.(方法二)因为lg 9lg 18＝log 189＝a ， 所以lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18， 所以log 3645＝lg 45lg 36＝lg （9×5）lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． (2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．1．已知2x ＝3y ＝a ，且1x ＋1y ＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6D 解析：因为2x ＝3y ＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝±6.又a ＞0，所以a ＝ 6. 2．求值：(1)log 23·log 35·log 516； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解：(1)原式＝lg 3lg 2·lg 5lg 3·lg 16lg 5＝lg 16lg 2＝4lg 2lg 2＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.探究题1 若log 23＝a ，log 25＝b ，则用a ，b 表示log 415＝________． a ＋b 2 解析：log 415＝log 215log 24＝log 23＋log 252＝a ＋b2.探究题2 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值．解：∵3a ＝5b ＝c ， ∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴1a ＝log c 3，1b＝log c 5， ∴1a ＋1b ＝logc 3＋log c 5＝log c 15＝2. 得c 2＝15， 即c ＝15.解决对数的运算问题，主要依据是对数的运算性质．常用方法有： (1)将真数化为“底数”；(2)将同底数的对数的和、差、倍合并； (3)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p 的值； (2)证明：1z －1x ＝12y.解析：设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k ＞0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .(1)由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32. (2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y .对数的运算练习(30分钟60分)1.(5分)计算：log153－log62＋log155－log63＝()A．－2B．0C．1 D．2B解析：原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.2．(5分)设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.baB.a＋baC．ab D．a＋bB解析：∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a＋ba.3．(5分)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是() A．logab•logcb＝logcaB．logab•logca＝logcbC．loga(bc)＝logab•logacD．loga(b＋c)＝logab＋logacB解析：由logab•logcb＝lg blg a•lg blg c≠logca，故A错；由logab•logca＝lg blg a•lg alg c ＝lg blg c＝logcb；loga(bc)＝logab＋logac，故C，D错．故选B.4．(5分)如果lg x＝lg a＋3lg b－5lg c，那么()A．x＝ab3c5 B．x＝3ab5cC．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3A解析：lg a＋3lg b－5lg c＝lg a＋lg b3－lg c5＝lgab3c5，由lg x＝lgab3c5，可得x＝ab3c5. 5．(5分)log2 4等于()A.12B.14C．2 D．4D解析：log2 4＝log2 (2)4＝4.6．(5分)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则用a，b表示lg 15为()A．b－a＋1B．b(a－1)C．b－a－1D．b(1－a)A解析：lg 15＝lg(3×5)＝lg 3＋lg 5＝lg 3＋lg 102＝lg 3＋1－lg 2＝b－a＋1.7.(5分)方程lg x＋lg(x＋3)＝1的解是x＝________．2解析：原方程可化为lg(x2＋3x)＝1，∴x>0，x＋3>0，x2＋3x－10＝0，解得x＝2.8.(5分)若3x＝4y＝36，则2x＋1y＝________．1解析：3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴2x＝log63，2y＝log64，即1y＝log62，故2x＋1y＝log63＋log62＝1.9.(5分)已知log23＝a，log37＝b，则log1456＝________(用a，b表示)．3＋ab1＋ab解析：由log23＝a，log37＝b，得log27＝ab，则log1456＝log256log214＝log28＋log27log22＋log27＝3＋log271＋log27＝3＋ab1＋ab. 10.(15分)计算．(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.解：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－23＝－32.。

对数与对数运算说课稿（精选5篇）以下是网友分享的关于对数与对数运算说课稿的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一§2.2.1对数与对数运算说课稿大家好，我是。

，我今天的讲课内容是对数与对数的运算。

我将从以下5个方面来进行今天的说课，第一是教学内容分析，第二是学生的学情分析，第三是教学方法的策略，第四是教学过程的设计，第五的教学反思。

一、教学内容分析对数与对数的运算是人教版高中教材必修一第二章第二节第一课时的内容。

本节课是第一课时，主要讲的就是认识对数和对数的一些基本运算性质。

本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法。

在上节课，我们学习了指数函数以及指数函数的性质，是本节课学习对数与对数的运算的基础，而下节课，我们又将学习对数函数与对数函数的性质，这节课恰好为下节课的学习做了一个铺垫。

二、学生学情分析接下来我将从认知、能力、情感三个方面来进行学生的学情分析。

首先是认知，该阶段的高中生已经学习了指数及指数函数的性质，具备了学习对数的基础知识；在能力方面，高一的学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但是大多数同学还缺乏类比迁移的能力；而在情感方面，大多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，但是还有部分的学生还是需要老师来加以引导的。

三、教学方法的策略根据教材的要求以及本阶段学生的具体学习情况，我制定了一下的教学目标。

首先是知识与技能，理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值；接着是过程与方法，通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力；最后是情感态度与价值观，通过对问题转化过程的引导，培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。

基于以上的分析，我制定了本节课的重难点。

本节课的教学重点是对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算法则及其推导和应用；本节课的难点是对数概念的理解和对数运算法则的探究和证明；本节课我所采用的教学方法是探究式教学法，分为以下几个环节：教师创设问题情境，启发式地讲授，讲练结合，引导学生思考，最后鼓励学生自主探究学习。

第16讲 对数及其运算1. 对数的定义：如果()0,1b a N a a =>≠，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a N .其中a 叫做底数，N 叫做真数.点拨：对数的底数a 是不为1的正实数；真数N 一定为正数.2. 指数式与对数式的互化式：log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>结论： （1）()010,1log 10a a a a =>≠⇒=； （2）()10,1log 1a a a a a a =>≠⇒=； （3）零和负数没有对数.课堂练习：1.口答：2log 2= ； 2log 1 ； 2log 16 ； 21log 2。

2.指数式4b a =（0,1b b >≠）的对数式是（ ）A 4log a b =B 4log b a =C log 4a b =D log 4b a = 3.已知n m a a ==3log ,2log 求n m a +2的值例1：求下列各式中x 的值。

（1）4log 2x =-； （2）3log 272x =； （3）121log 16x =。

课堂练习：求下列各式中的x ：①．3log 272x = ②.22log 3x =-③.271log 9x = ④.12log 16x =3. 对数恒等式：（1）()log 0,1,0a N a N a a N =>≠>；（2）()log 0,1,b a a b a a b R =>≠∈ 例2．求下列各式的值：①．2log 32 ②.2log 31()4课堂练习：③.33log9 ④.23log 3log 44⋅例3．求下列各式的值①．lg10= ； ②.lg100= ； ③.lg 0.01= 。

4. 对数的运算法则：设0,1,0,0a a M N >≠>>则：(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈5.对数的换底公式：log log log m a m NN a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).6. 常用对数：以10为底数的对数叫做常用对数，记作lg N ，即10lg log N N =()0N >。

对数函数及其运算2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算1) 对数的定义如果 $a=N(a>0$ 且 $a\neq 1)$，则 $x$ 叫做以 $a$ 为底$N$ 的对数，记作 $x=log_aN$，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。

负数和零没有对数。

对数式与指数式的互化：$x=log_aN \Leftrightarrowa=N(a>0,a\neq 1,N>0)$。

2) 几个重要的对数恒等式log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=b$。

3) 常用对数与自然对数常用对数：$lgN$，即 $log_{10}N$；自然对数：$lnN$，即 $log_eN$（其中$e=2.…$）。

4) 对数的运算性质如果 $a>0,a\neq 1,M>0,N>0$，那么：加法：$log_aM+log_aN=log_a(MN)$。

减法：$log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N})$。

数乘：$nlog_aM=log_a(M^n)$，其中 $n\in R$。

log_aN=N^a$。

log_{ab}M=\frac{log_aM}{log_ab}$，其中 $b\neq 0,n\in R$。

5) 换底公式：$log_aN=\frac{log_bN}{log_ba}$。

2.2.2 对数函数及其性质1) 对数函数函数名称：对数函数。

定义：函数 $y=log_ax(a>1,a\neq 1)$ 叫做对数函数。

图象：图象过定点 $(1,0)$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。

定义域：$(0,+\infty)$。

值域：$(-\infty,+\infty)$。

过定点：图象过定点 $(1,0)$。

奇偶性：非奇非偶。

单调性：在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，在 $(0,1)$ 上是减函数。

函数值的变化情况：当 $x>1$ 时，$y=log_ax>0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。

4.2.1 对数与对数的运算知识点一、对数的定义如果N a x =0(>a 且)1≠a ，那么数x 叫做______________________，记作___________，其中a 叫做________，N 叫做________．（1）通常将以10为底的对数叫做常用对数，log 10N 可简记为_________． （2）以无理数e )71828.2(⋅⋅⋅为底的对数称为自然对数，log e N 简记为________．知识点二、基本性质（1）真数N 为 (负数和零无对数)；（2）1的对数为 ，即 ；（3）底数的对数为_________，即 ；知识点三、对数恒等式 （1） ；（2）xa a log ＝ 0(>a 且)1≠a ．知识点四、对数的运算法则（1）()MN a log ＝______________； （2）N Malog ＝________________；（3）na M log ＝ (n ∈R)；（4）换底公式：Na log ＝ 0(>a ，1≠a ，0>m ，1≠m ，)0>N ．知识点五、两个常用的推论（1）1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ；（2）b mnb a na m log log =(a ，0>b 且均不为)1．01log =a 1log =a a N a Na =log一、对数的概念例1、求下列各式中的x 的值． （1）32log 8-=x （2）91log 27=x（3）1)12(log -=-x（4）1)(lg log 3=x （5）0)lg(ln =x （6）4123log =x【举一反三】1、已知m a =2log ，n a =3log ，则=+n m a 2 ．2、计算：=-)5log 9(log 21224 ；=+51log 5log 33)3(3．3、下列各式：（1）0)10lg(lg =；（2）0)lg(ln =e ；（3）若x lg 10=，则10=x ；（5）若21log 25=x ，则5±=x ；其中正确的是 ．例2、在)5(log )2(a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A ．25<>a a 或B ．52<<aC ．5332<<<<a a 或D ．43<<a【举一反三】对数式)6(log 2)2(2++---x x x x 中x 的取值范围是 ．二、对数的运算性质及其应用 例3、计算下列各式的值 （1）)381(log 3（2）)lg(lg 2)lg(lg 2100a a +（3）27log 313log 2121log 666+- （4）4log ]18log 2log )3log 1[(66626÷⋅+-（5）)347(log )91(1023)32(14log 3lg 33log 46log 1323--++-+-++【举一反三】1、如果c b a x lg 5lg 3lg lg -+=，那么（ ） A ．c b a x 53-+=B ．cabx 53=C ．53cab x =D ．53c b a x -+=2、已知)2lg(2lg lg b a b a -=+，则ba4log 的值为 ．3、计算=⋅+2lg 50lg )5(lg 2 ；=+⋅+25lg 50lg 2lg )2(lg 2 ．4、计算下列各题 （1）41log 85log 25log 222+- （2）8.1lg 10lg 3lg 2lg -+（3）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+（4）142log 2112log 487log 222--+（5）)11(log )122(log 21222--++-+x x x x三、 换底公式及其应用例4、求值：)3log 3)(log 2log 2(log 8493++．【举一反三】计算： （1）4log 5log 6log 5677⋅⋅（2）32log 3log 9log 6428⋅例5、已知a =7log 14，b =5log 14，用a ，b 表示28log 35．【举一反三】已知a =9log 18，518=b ，用a ，b 表示45log 36．例6、已知)1(213log 3log >>=+b a a b b a ，求224b a b a ++的值．例7、设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==，求证： zy x 1211=+．例8、已知λ====n a a a b b b nlog log log 2121，求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n．【课后巩固】 一、选择题1．如果log 7［log 3（log 2x ）］＝0，那么21-x 等于（ ）A ．31B ．321C ．221D ．3312．化简)0(525)(log ≠-a a 化简得结果是（ ）A ．－aB ．a 2C ．｜a ｜D ．a3．已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且log M b=x ，则log M a=（ ）A ．1－xB ．1＋xC ．1xD ．x －14．计算=++5lg 2lg 35lg 2lg 33（ ）A ．1B ．3C ．2D ．05．已知23834xy ==，l o g ，则x y +2的值为（ ） A ．3 B ．8 C ．4D ．log 486．设方程(lgx)2－lgx 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于（ ）A ．1B ．－2C ．－103D ．－47．已知函数f(x)＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f(－1)≈1.62，则f(1)≈（ ）A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.388．已知)(x f 满足：当4≥x 时，x x f )21()(=；当4<x 时，)1()(+=x f x f ．则=+)3log 2(2f （ ）A ．241 B ．121 C ．81D ．839．设0>a ，若对于任意的a x [∈，]2a ，都有a y [∈，]2a ，且3log log =+y x a a ，则（ ）A ．21≤<aB ．2≥aC ．32≤≤a2{，}310．设1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x （ ）A ．25B ．3C ．27 D ．4二、填空题11．计算log 2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+的值是 ． 12．若10010≤≤x ，则｜3－lg x ｜－4)x lg(x lg 42+-= ． 13．已知)0(9432>=a a ，则=a 32log ． 14．计算=+--22529)25.0(lg log )12(lg log 53．15．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a 的值是 ． 三、解答题16．已知z y x 643==， （1）求y x 2的值；（2）求证：xz y 1121-=．17．已知m a =18log ，n a =24log ，求5.1log a 的值．18．（1）设正数a ，b ，c 满足222c b a =+，求证：1)1(log )1(log 22=-++++bca a cb ． （2）设024log 21=-⋅-y y y ，1log 5log 5-=⋅x x x ，试问：是否存在一个正整数p ，使得y xP -=1。

对数公式运算法则1 对数公式运算法则对数公式运算法则是高中数学中常用的一种运算方式，用来求解不同指数值「底数」以及「指数」的结果，且其运算速度快，既可以求出大数也可以求出小数，对于计算机和工程师解决计算问题有很大的帮助。

1.1 基本公式及其运算对数公式用以下几种主要方式表达：（1）反比例关系: a^x/a^y = a^(x-y)（2）指数展开：a^x * a^y= a^(x+y)（3）乘方等于次方：(a^x)^y = a^(xy)（4）乘法律：(ab)^x=a^xb^x（5）除法律：(a^x/b^x)=a^xb^-x1.2 求对数的应用在实际运算过程中，我们常常会遇到求对数的需求，例如计算机里用以下公式可以求出它们之间的关系：（1）反比例关系：loga(a^x/a^y)=loga(a^(x-y))=x-y（2）指数展开：loga(a^x*a^y)=loga(a^(x+y))=x+y（3）乘方等于次方：loga((a^x)^y)=loga(a^(xy))=xy（4）乘法律：loga((ab)^x)=loga(a^xb^x)=xloga(a)+xlogb（5）除法律：loga(a^x/b^x)=loga(a^xb^-x)=xloga(a)-xlogb 1.3 其它应用除此之外，我们还可以用对数公式运算法则来解决复杂的几何问题，比如求解平面坐标图形的中心距离，利用对数公式运算法则，可以简便求解复杂的几何问题，而不用去做一些繁复的尺寸计算。

同时，对数公式还在统计学中用来解决常见的概率问题，比如求解事件概率的比值或者位置，并且通过对数公式进行变换，可以将原先无限的累加转化为有限次数的累加，这样就可以减少计算量，而把比较复杂的概率问题转化为简单的形式，并使决策者可以实现准确快速的抉择。

因此，可见对数公式有多种应用，不仅是数学知识的基础，也给人们的计算带来了极大的便利。