小学数学圆柱和圆锥专项讲义(知识点+例题+作业)

小学数学圆柱和圆锥专项讲义（知识点+例题+作业）一、重要知识点和概念圆柱[][]2d s S r ch π⎡⎢⎡⎢⎢⎢→⎢⎢↔⎢⎢→⎢⎢⎢⎢⎣⎢∍→=⎢⎣⎡⎢⎢⎢→=⨯⎢=⎢⎢⊃⎣底面侧面侧面定义：上下两个面叫做底面。

上下两底面间的距离叫做圆柱的高圆柱两底面之间的距离处处相等底面圆柱有无数条高并且都相等。

：上、下两底面面积相等（展开图）圆柱的侧面积展开图是一个长方形这个长方形的长就是圆柱的底面周长宽等于圆柱的高s 底面周长高侧面即s 圆柱的底面周长与高相等时侧面展开是正方形⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1⎡⎢⎢⊃⎢⎢⎣（）求圆柱形物体的是地面积就是求圆柱形物体的底面积 （2）求制作通风管需要的铁皮面积就是求圆柱形物体的侧面积 （3）求作一个无盖的水桶所需的铁皮面积就是求侧面积与一个底面积的和 （4）求制作油桶所用的铁皮面积就是求油桶的表面积要用侧面积加上两个底面积V s h →=←体积计算：长方体的体积公式 圆锥：(⎡⎡⎢⎢∍⎢⎢⎢⎢⎣⎢→⎢⎢⎢⎣底面：圆锥只有一个底面，底面是个圆。

面）侧面：侧面展开是一个扇形，扇形的弧长是圆锥的底面周长，扇形的面积是圆锥的侧面积。

（点）顶点：圆锥只有一个顶点从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥高，圆锥只有一条高。

→体积：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。

13v sh →=圆柱和圆锥V ↔（）113324⎡⇔⎢⎢⎢⎢⇔⎢⎢⎢⎢→⎢⎢⎢⎢→⎢⎢⎣（）圆锥体积等于和它等底等高的圆柱体积的 圆柱体积等于和它等底等高的圆锥体积的倍。

2（2）圆锥体积比和它等底等高的圆柱体积少3 圆柱体积比和它等底等高的圆锥体积大倍。

（3）如果圆柱和圆锥的体积相等底面积也相等 圆锥的高是圆锥的3倍。

（）如果圆柱和圆锥的体积相等，高也相等 圆锥的底面积是圆柱的3倍。

二、例题与解析例1， 压路机的滚筒长1.5米，底面半径0.6米，以每分钟滚动15周计算，把25434平方米的地基压完一遍，需要多少小时？分析与解：压路机的滚筒在地面滚动一周，压过的路面面积等于滚筒的侧面积，可以先算出每分钟压过的路面面积，再除总面积，就可以求出所需时间。

每分钟压过的面积为：20.6 1.51527ππ⨯⨯⨯=（平方米）压完全部地基所需时间：2543427300π÷=（分钟） 3005=分小时答：压完全部地基需要5小时。

总结：本题为已知圆柱底面半径高求侧面积2S r h π=侧 例2， 一个圆柱形油桶的高是10分米，它的侧面展开，得到一个长25.12分米的长方形，这个油桶能装油多少升？分析与解：求能装油多少升就是求油桶的容积，现在只知道高度缺少底面积，因为侧面展开是一个长25.12分米的长方形。

说明圆柱的底面周长就是25.12分米，这样就可以求出油桶的底面积，再计算出容积。

225.12 3.1424 3.14410502.4502.4502.4÷÷=⨯⨯==（分米） （立方分米）立方分米升答：这个油桶能装油502.4升。

总结：本题为已知圆柱的高，底面周长求体积。

练习1，一个圆柱的高是5厘米，侧面展开是一个长为31.4厘米的长方形，这个圆柱的体积是多少立方厘米？练习2，下图是一块长方形铁皮，图中的阴影部分和两个圆，刚好能做成一个油桶（接头处忽略不记），求这个油桶的容积。

例3， 用一块长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮作底，怎样做才能使这个圆柱形容器的容积最大？分析与解：要回答上述问题实际上应从两方面考虑。

（1） 以长方形的长作圆柱的高，宽作圆柱的底面周长。

（2） 以长方形的宽作圆柱的高，长作圆柱的底面周长。

比较两种情况下圆柱形容器的体积即可确定方案。

如果用长方形的长为高，则圆柱形容器的底面半径为10202ππ÷=（厘米） 此时容器的容积为210300030πππ⨯⨯=（）（立方厘米） 如果以长方形的宽为高，则圆柱形容器的底面半径为15302ππ÷=（厘米） 此时容器的容积为215450020πππ⨯⨯=（）（立方厘米） 答：用长方形的长作圆柱形容器的底面周长，宽作圆柱形容器的高时圆柱形容器的容积大。

总结：用长方形的长作圆柱的底面周长，宽作圆柱的高，围成的圆柱体积大。

例4， 两个相同的圆锥容器中各盛一些水。

（如下图）水深都是圆锥高的一半，那么甲容器中的水的体积是乙容器中水的几倍？分析与解：由图可知，甲容器上部分高的容积等于乙容器中水的体积，但是题中没有给出任何数据，所以无法计算出甲、乙容器中水的体积，这时不妨设字母代替。

设容器底面半径为R ，则甲容器中水面半径为12R ，设圆锥的高为h ，甲容器上部空的容积（即乙容器中水的体积为）2211132224h R R h ππ=（） 甲容器容积为：213R h π。

甲容器中水的体积为22211732424R h R h R h πππ-= 甲、乙容器中水体积相比为227247124R hR h ππ= 答：甲容器中水的体积是乙容器中的7倍。

总结：具有相同母线的两个圆锥体积比等于高的比的立方。

例5， 一个圆柱和一个圆锥的体积和高都相等，已知圆柱的底面周长是12.56米，圆锥的底面积是多少平方米？分析与解：因为圆柱和圆锥的体积和高分别相等时，圆锥的底面积是圆柱的3倍，所以可以先求出圆柱的底面积，再求出圆锥的底面积。

12.56 3.142212.5612.56337.68÷÷=⨯=⨯=2（米） 3.142（平方米） （平方米）答：圆锥的底面积是37.68平方米。

总结：圆柱和圆锥的体积和高分别相等时圆锥的底面积是圆柱的3倍。

例6， 求下图钢材的体积分析与解：直接用公式计算无法求出它的体积，可以再取一段与它一样的圆钢拼成一个圆柱体，如下图，求出圆柱体积后在除以2即可求出这段圆钢的体积。

2243.142015 3.142352219.8⨯⨯+÷=⨯⨯÷=（）（）22（立方厘米） 答：圆钢的体积是219.8立方厘米。

例7， 如下图，一个酒瓶里面深30厘米，底面内直径是10厘米，瓶里酒深15厘米，把酒精塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒精25厘米，酒精容积是多少毫升？分析与解：直接求酒精的容积是不可能的，酒瓶中酒的体积是不变的，当瓶子正放时，酒深15厘米，则酒的体积是：210153752ππ⨯⨯=（）（立方厘米）其体积为21051252ππ⨯⨯=（）（立方厘米） 两瓶相加就是酒瓶的容积2101552ππ⨯⨯+⨯⨯（）（）=2520=1570（立方厘米） 答：酒瓶的容积是1570毫升。

总结：例6、例7为求不规则几何体，一般要割补或分解成规则图形求其体积。

例8， 有一个少数民族爱戴帽子，如图，帽顶部分是圆柱形，用黑布做,帽檐部分是一个环行，用白布做帽顶的半径高和帽檐的宽都是a 厘米，黑布和白布哪种用的多？分析与解：帽顶部分相当于圆柱的侧面积与一个底面积之和，帽檐部分是一个环形的面积，分别计算后再进行比较即可。

帽顶表面积为22223aa a πππ+= 帽檐部分面积为：2223a a a a πππ+-=（） 可见两种布用的同样多，答：黑布和白布一样多。

总结：本题为求不规则图形表面积一般分割（补成）一个规则图形再求其表面积。

三、作业（一）圆柱体作业1， 一个圆柱体的侧面积是50.24平方厘米，高和地面半径相等，这个圆柱体的表面积是多少平方厘米？2， 一只有底无盖的圆柱形水桶，高为6.28分米，将它的侧面展开，正好是正方形，求这只水桶的表面积（得数保留两位小数）。

3， 用一块长60厘米，宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮作底，用长方形铁皮的哪边为高时做成的水桶容积大？比用另一边为高时容积大多少（结果中保留π）4， 一个长方形的长是5厘米，宽是2厘米，以其中的一条边为轴旋转一周可以得到一个圆柱，圆柱体积最大是多少立方厘米？5，求下图钢材的体积（单位厘米）：6，一个酒精瓶的瓶身成圆柱形，已知它的容积为188.4立方厘米，当瓶子正放时瓶内酒精的液面高为6厘米，瓶子倒放时空余部分的高为2厘米，瓶内酒精的体积是多少立方厘米？7,一个圆柱体，如果高增加1厘米，则侧面积增加6.28平方厘米，如果该圆柱体高10厘米，体积是多少立方厘米？8，一个圆柱体的高和底面周长相等，如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，求这个圆柱的表面积。

9，一种机器零件（如下图）下面是一个棱长为40厘米的正方体，上面是圆柱体的一半，求该零件的表面积和体积。

10，一个圆柱的表面积是150.72平方厘米，底面半径是2厘米，求它的体积。

10 ，一根圆柱形木材长2米，把它截成相等的4段后，表面积增加了18.84平方厘米，截成后每段圆木的体积是多少立方厘米？11，底面直径是20厘米的圆钢，将其截成两段同样的圆钢，两段表面积的和为7536平方厘米，原来圆钢的体积是多少立方厘米？12，一个圆柱体的侧面积是100平方厘米，体积是200立方厘米，底面积是多少平方厘米？13，把一段圆柱体木料沿着直径往下切成两块，已知圆柱的底面直径是10厘米，高为15厘米，求半个柱体的表面积。

14，把一个圆柱得底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米，已知圆柱高20厘米，求圆柱的体积15，把一个正方体削成一个体积最大的圆柱体，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。

（二）圆锥作业题1、一个圆柱削成最大的圆锥后，削去部分的体积比圆锥体积多30立方厘米，求原来圆柱的体积。

2、圆锥的高和底面半径等于正方体的棱长，已知正方体的体积是30立方厘米，求圆锥的体积是多少立方厘米？3、在墙角有一堆沙，如下图所示，沙堆顶点在两墙角交界线上，沙堆是底面半径为2米的扇形，沙堆高0.6米，求沙堆的体积。

4、把一个正方体削成一个体积最大的圆锥体后，这个圆锥的体积是正方体体积的几分之几？5、甲、乙两木块都是正方体，甲的体积比乙的体积达36立方厘米，现分别将两木块都各自加工成最大的圆锥形，大圆锥体比小圆锥体的体积大多少里立方厘米？6、一个长方体木块，长55厘米，宽40厘米，高30厘米，将其加工成一个最大的圆锥形木块，圆锥形木块的体积是多少立方厘米？7、一个长和宽都是10厘米，高为31.4厘米的长方体块锻道成底面半径是10厘米的圆锥体后，圆锥体高是多少厘米？8、底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高10厘米，底面半径12厘米的圆形铅锤浸没在水中，当铅锤在水中取出后，容器中的水下降了几厘米？9、有一个倒圆锥形的容器，他的底面半径是5厘米，高是10厘米，容器内放一些石子，石子的体积为196立方厘米，在容器内倒满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度。