2.11有理数的乘方(同步测试题)

2.11 有理数的乘方1．有理数乘方的概念 (1)乘方的意义：一般地，n 个相同的因数a 相乘：，记作a n ，即＝a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数，a n 读作a 的n 次方(或a 的n 次幂)．(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面： ①注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；②注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如54×54×54×54×54×54应记作⎝ ⎛⎭⎪⎫546，不能记作564；③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a 就是a 1，只是指数1通常省略不写；④a n 与－a n 的区别：ⅰ.a n 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．ⅱ.－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数．如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同．⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算⎝ ⎛⎭⎪⎫124时，应将它转化为计算12×12×12×12的积．【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？ (1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)； (2)25×25×25×25；(3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )．分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．解：(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)＝(－8.3)5； (2)25×25×25×25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫254；(3)a ×a ×a ×…×a (2 011个a )＝a 2 011.警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．2．乘方运算的符号法则(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质： ①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的偶次幂相等；互为相反数的奇次幂互为相反数．如0n ＝0(n 是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a )2n ＝a 2n ，(－a )2n ＋1＝－a 2n ＋1(n 是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a 2n ≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算： (1)(－3)2；(2)1.53；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434；(4)(－1)11；(5)(－1)2；(6)(－1)2n ；(7)(－1)2n －1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．解：(1)(－3)2＝3×3＝9； (2)1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－434＝43×43×43×43＝25681； (4)(－1)11＝－1； (5)(－1)2＝1； (6)(－1)2n ＝1； (7)(－1)2n －1＝－1.3．有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果．因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘．在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．【例3－1】计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；(2)(－2)2＝4；(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．【例3－2】计算(－0.25)10×412的值．分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．解：(－0.25)10×412＝(0.25)10×412＝[(0.25)10×410]×42＝(0.25×4)10×42＝1×16＝16.4.有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．【例4】 “兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条？若拉n 次呢？(请把探索的结果填入下表中)分析：第一次拉出21＝2根，第二次拉出22＝4根，第三次拉出23＝8根，所以第n 次拉出2n 根．解：拉面的根数与拉面的次数n 有关系，拉面的根数＝2n .5．与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n 的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n或⎝ ⎛⎭⎪⎫12n求解．【例5－1】 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．(1)对折2次后，厚度为多少毫米？ (2)对折20次后，厚度为多少毫米？分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)． (2)(220×0.1)毫米．【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长？分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．解：第7次后剩下的小棒有⎝ ⎛⎭⎪⎫127×1＝1128(米)．。

人教版2020-2021年初一数学上册同步练习：有理数的乘方【含答案】一、单选题1．地球的半径约为6370000m ，用科学记数法表示正确的是（ ）A ．463710m ⨯B ．563.710m ⨯C ．66.3710m ⨯D ．76.3710m ⨯ 【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【详解】6370000的小数点向左移动6位得到6.37，所以6370000m 用科学记数法表示为6.37×106m ，故选C ．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2． 32可表示为（ ）A ．3×2B ．2×2×2C ．3×3D ．3+3 【答案】C【解析】直接利用有理数乘方的意义分析得出答案．【详解】32可表示为：3×3．故选：C ．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，正确把握有理数的乘方定义是解题关键．3．如果等式5(25)1x x +-=，则等式成立的x 的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由于任何非0数的0次幂等于1和1的任何指数为1，所以分两种情况讨论．【详解】当x +5=0时，x =−5；当2x −5=1时，x =3.∴x 的值为3，−5，故式成立的x 的个数为2.故选：B.【点睛】考查零指数幂以及有理数的乘方，注意分类讨论，不要漏解.4．计算300299(2)(2)-+-所得的结果是( ) A ．–2B ．2C ．2992-D ．2992 【答案】D【解析】把()2992-作为一个公因式提出来，即可解答．【详解】原式()()()29929929921212.2=⨯-+=--=-⨯故选：D. 【点睛】本题考查有理数的乘方运算，提取公因式是解题的关键.5．下列各式中结果为负数的是（ ）A ．（﹣5）2B ．﹣|﹣5|C ．52D ．|﹣5|【答案】B【解析】利用乘方的意义，绝对值的代数意义计算得到结果，即可作出判断．【详解】解：A 、原式＝25，不符合题意；B 、原式＝﹣5，符合题意；C 、原式＝25，不符合题意；D 、原式＝5，不符合题意，故选：B ．【点睛】此题考查了有理数的乘方，正数与负数，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．下列计算正确的是 （ ）A ．（－3）－（－5）=－8B ．（－3）＋（－5）=＋8C ．（－3）3=－9D ．－32=－9 【答案】D【解析】根据有理数减法法则，有理数加法法则，有理数乘方进行计算，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、（-3）-（-5）=（-3）+（+5）=2，故本选项错误；B 、（-3）+（-5）=-（3+5）=-8，故本选项错误；C 、（-3）3=（-3）×（-3）×（-3）=-27，故本选项错误；D 、-32=-3×3=-9，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的运算，理解有理数加减、乘方的含义，根据含义灵活运用是解题的关键．7．下列算式中，结果与34相等的是 ( )A ．444⨯⨯B ．3333⨯⨯⨯C ．34⨯D ．3333+++【答案】B【解析】根据乘方的定义去展开即可．【详解】34中3是底数，4是指数，表示4个3相乘，即34=3×3×3×3.故选:B.【点睛】考查有理数乘方，关键是理解乘方的含义，乘方表示几个相同因数的积的简便运算.8．小明的身高约为1.60米，这个近似数是( )A ．精确到0.01B ．精确到0.1C ．精确到十分位D ．精确到百位 【答案】A【解析】根据近似数的精确度求解．【详解】小明的身高约为1.60米，这个近似数精确到了百分位或0.01.【点睛】考查近似数，近似数的末尾数字在哪一位，这个近似数就精确到什么位.9． 2018年10月24日，历时9年总投资1000亿元以上，全长55公里的港珠澳大桥建成通车。

有理数的乘方同步测试卷一.选择题（本大题共8小题，共24分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列数据中，是准确数的是( )A. 上海科技馆的建筑面积约98000平方米B. “小巨人”姚明身高2.26米C. 我国的“神舟十三号”飞船有3个舱D. 截至2022年年底中国国内生产总值(GDP)为1210207亿元2. 下列各数是用科学记数法表示的是( )A. 0.1×105B. 10.3×106C. 12×108 D. −7.13×1063. 计算[−5−(−11)]÷(32×4)的结果为( )A. 16B. 1C. −83D. −12834. 某市决定为全市中小学教室安装空调，今年预计投入资金126000000元，其中126000000用科学记数法可表示为( )A. 12.6×107B. 1.26×108C. 1.26×109D. 0.126×10105. 下列四个数中，是负数的是( )A. −(−5)3B. (−2)2C. |−3|3D. −426. 下列各数： ①−12; ②−(−1)2; ③−13; ④−(−1)4中结果等于−1的是( )A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④7. 计算2×(−1)3+4的结果为( )A. 5B. 2C. −1D. −38. 近似数1.50所表示的准确数n的范围是( )A. 1.45≤n<1.55B. 1.45<n<1.55C. 1.495≤n<1.505D. 1.495<n<1.505二.填空题（本大题共8小题，共24分）9. 规定“∗”表示一种运算，且a∗b=3a−2ab，则3∗2=．10. 由四舍五入得到的近似数93.60万精确到位．11. 一种电子计算机每秒可做4×107次计算，也就是说它每秒可做万次计算．12. 太阳半径大约是696000千米，用科学记数法表示为千米，精确到万位的近似数为千米．13. 已知|x|=3，y2=16，xy<0，则x−y的值为．14. 试用“+”“−”号将+3，−8，−10，+12四个数连接起来，使其运算结果最小，这个最小值是．15. 琪琪领取了一笔1500元的稿费，按规定，超过800元的部分，要按20%的税率缴纳个人所得税.琪琪缴纳个人所得税后可领取元.16. 定义新运算：对于任意实数a,b，都有a⊕b=a(a−b)+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×(2−5)+1=2×(−3)+1=−5，则3⊕(−2)=；[(−2)⊕3]−[2⊕(−1)]的值为．三.计算题（本大题共1小题，共8分）17. 计算下列各题：(1)(79−56+718)×2×32−74÷(−1.75)；(2)23−18−(−13)+(−38)；(3)−13×23−0.34×27+13×(−13)−57×0.34．四.解答题（本大题共8小题，共64分。

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有理数的乘方测试一、填空题1。

算式（－3）×（－3）×(－3）×(－3)用幂的形式可表示为 ，其值为 .2.在今年的“两会”上，温家宝总理在政府工作报告中提出,要在5年之内,在全国逐步取消农业税，减轻农民负担。

目前我国农民每年交纳的农业税约为300亿远，用科学记数法表示为(结果保留3个有效数字） 。

3。

计算332)3()31()1(-⨯---的结果为 . 4.圆周率=3。

141592653…，如果取近似数3。

142,它精确到 位，有效数字是 。

5。

用计算器计算：(1）542= 。

（2）3216520.3-⨯-+=（） 。

二、选择题1。

下列语句中的各数不是近似数的是（ ）。

A.印度洋海啸死亡和失踪总人数已超28万人B.生物圈中已知的绿色植物，大约有30万种C 。

光明学校有1148人D.我国人均森林面积不到世界的14公顷 2．用四舍五入法按要求对0.05019取近似值，其中错误的是( ）A ．0。

1（精确到0。

1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0。

05（保留两个有效数字）D ．0。

0502（精确到0.0001)3．下列各组数中,数值相等的是( )A ．33)2(2--和B ．22)2(2--和C ．2332--和D ．1010)1(1--和三、1.计算：（1）323-； （2）()524--；（3）()()2332---； （4）－(－2)3(－0。