二次函数中的三角形问题一

学习过程一、复习预习根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．2、常见题目类型(1)几何类(三角形、四边形、圆等)一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。

(2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。

(3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。

二次函数的应用：1、应用类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值：这类问题常见有面积、利润销售量的最大（小）值，一般这类问题的解题方法是：先表示出二次函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。

2、应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题:这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式求出顶点坐标。

3、应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；这类型的题目关键是要求出二次函数解析式，再根据解析式求出顶点坐标。

二、知识讲解考点/易错点1三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

考点/易错点2求作等腰三角形、直角三角形的方法：图一两圆一线图解图二两线一圆图解总结：（1）通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A、B点重合）即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。

考点/易错点3等腰三角形、直角三角形可能的情况：(1)当所求三角形是等腰三角形时，可以是三角形任意两边相等，即：AB=AC 、AB=BC 、AC=BC 如图；(2)当所求三角形是直角三角形时，可以是三角形任意的内角为直角,即：∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°，如图所示；考点/易错点4二次函数中三角形的存在性问题解题思路：（1）先分类，罗列线段的长度，如果是等腰三角形则分别令三边两两相等去求解；如果是直角三角形则分别令每个内角等腰90°去分类讨论；（2）再画图；（3）后计算。

三、例题精析【例题1】【题干】（扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)P（1，2）；(3)M（1，）（1，-）（1，1）（1，0）．【解析】解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：∴抛物线的解析式：y=-x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y=-x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x=-=1，设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），则：MA2=m2+4，MC2=（3-m）2+1=m2-6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2-6m+10，得：m=1；②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，- ）（1，1）（1，0）．【例题2】【题干】（攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=x2+2x-3；(2)P的坐标为（-，- ）；(3)（0，）或（0，-）或（0，-1）或（0，-3）．【解析】解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），将C点坐标（0，-3）代入，得：a （0+3）（0-1）=-3，解得 a=1，则y=（x+3）（x-1）=x 2+2x-3，所以抛物线的解析式为：y=x 2+2x-3；（2）过点P 作x 轴的垂线，交AC 于点N ．设直线AC 的解析式为y=kx+m ，由题意，得，解得∴直线AC 的解析式为：y=-x-3． 设P 点坐标为（x ，x 2+2x-3），则点N∴PN=PE-NE=-（x 2+2x-3）+（-x-3）=-x 2-3x ．∵S △PAC =S △PAN +S △PCN ，S=PN •OA=×3（-x 2-3x ）=- （x+）2+，∴当x=- 时，S 有最大值，此时点P 的坐标为（- ，- ）；（3）在y 轴上是存在点M ，能够使得△ADM 是直角三角形．理由如下：∵y=x 2+2x-3=y=（x+1）2-4，∴顶点D的坐标为（-1，-4），∵A（-3，0），∴AD2=（-1+3）2+（-4-0）2=20．设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t-0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t-0）2，解得t=- ，所以点M的坐标为（0，- ）；③当M为直角顶点时，如图3③，即（0+3）2+（t-0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=-1或-3，所以点M的坐标为（0，-1）或（0，-3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，- ）或（0，-1）或（0，-3）．【例题3】【题干】（东营）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2-ax-2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)点B的坐标为（3，1）；(2)y=x2-x-2；(3)P1（-1，-1），P2（-2，1）.【解析】解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2-ax-2过点B（3，1），∴1=9a-3a-2，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），Array∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（-1，-1），经检验点P1在抛物线y=x2-x-2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（-2，1），经检验P2（-2，1）也在抛物线y=x2-x-2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2-x-2上；故符合条件的点有P1（-1，-1），P2（-2，1）两点．四、课堂运用【基础】1.（曲靖模拟）如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点C（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标．（2）在上面所求二次函数的对称轴上存在一点P（2，-2），连接OP，找出x轴上所有点M的坐标，使得△OPM是等腰三角形．【答案】(1)y=x2-4x-5，B（5，0）；(2)M的坐标是（4，0）、（2，0）、（-2，0）、（2，0）.【解析】解：（1）根据题意，得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2-4x-5，当y=0时，x2-4x-5=0，解得：x1=5，x2=-1，∵点A的坐标是（-1，0），∴B（5，0），答：该二次函数的解析式是y=x2-4x-5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）．（2）令y=0，得二次函数y=x2-4x-5的图象与x轴的另一个交点坐标B（5，0），由于P（2，-2），符合条件的坐标有共有4个，分别是M1（4，0）M2（2，0）M3（-2，0）M4（2，0），答：x轴上所有点M的坐标是（4，0）、（2，0）、（-2，0）、（2，0），使得△OPM是等腰三角形．2. （德宏州）已知二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标；（3）如果某个一次函数图象经过坐标原点O和该二次函数图象的顶点M．问在这个一次函数图象上是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b=-4，c=3 ；(2)B（3，0），C（1，0）；(3)P的坐标是（，-）或（2，-1）或（3，-）或（1，-）.【解析】解：（1）二次函数y=x2+bx+c图象的对称轴是直线x=2，且过点A（0，3），代入得：- =2，3=c，解得：b=-4，c=3，答：b=-4，c=3．（2）把b=-4，c=3代入得：y=x2-4x+3，当y=0时，x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1，B（3，0），C（1，0），答：二次函数图象与x轴的交点B、C的坐标分别是（3，0），（1，0）．（3）存在：理由是：y=x2-4x+3，=（x-2）2-1，顶点坐标是（2，-1），设一次函数的解析式是y=kx+b，把（0，0），（2，-1）代入得：，解得：，∴y=- x，设P点的坐标是（x，-x），取BC的中点M，以M为圆心，以BM为半径画弧交直线于Q、H，则Q、H符合条件，由勾股定理得；（x-2）2+(-x−0)2=12，解得：x1=-x，x2=2，∴Q（，-），H（2，-1）；过B作BF⊥X轴交直线于F，把x=3代入y=-x得：y=-，∴F（3，- ），过C作CE⊥X轴交直线于E，同法可求：E（1，- ），∴P的坐标是（，-）或（2，-1）或（3，-）或（1，-）.答：存在，P的坐标是（，-）或（2，-1）或（3，-）或（1，-）．3. （淮安）如图．已知二次函数y=-x2+bx+3的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴交于点B．（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P．使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】y=-x2+x+3，B（0，3）；(2)P的坐标为（，0）.【解析】解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有：0=-16+4b+3得：b=所以二次函数的关系式为：y=-x2+x+3．当x=0时，y=3∴点B的坐标为（0，3）．（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP，设BP=AP=x，则OP=4-x，在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4-x）2解得：x=∴OP=4-=所以点P的坐标为：（，0）综上可得点P的坐标为（，0）．【巩固】1.（贵阳）如图，经过点A（0，-6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，【答案】(1)（2，-8）；(2)3＜m＜8；(3)3＜m＜;m=.【解析】解：（1）将A（0，-6），B（-2，0）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴y=x2-2x-6，∴顶点坐标为（2，-8）；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y1=（x-2+1）2-8+m，∴P（1，-8+m），在抛物线y=x2-2x-6中易得C（6，0），∴直线AC为y2=x-6，当x=1时，y2=-5，∴-5＜-8+m＜0，解得：3＜m＜8；（3）∵A（0，-6），B（-2，0），∴线段AB的中点坐标为（-1，-3），直线AB的解析式为y=-3x-6，∴过AB的中点且与AB垂直的直线的解析式为：y=x- ，∴直线y=x- 与y=（x-1）2-8+m有交点，联立方程，求的判别式为：△=64-12（6m-29）≥0解得：m≤∴①当3＜m＜时，存在两个Q点，可作出两个等腰三角形；②当m=时，存在一个点Q，可作出一个等腰三角形；③当＜m＜8时，Q点不存在，不能作出等腰三角形．2.（贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=-1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．【答案】(1)y=x2；(2)见解析；(3)P的坐标为（2，3）或（-2，3）．【解析】（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O，∴设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，）代入y=ax2得：a=，∴二次函数的解析式为y=x2；（2）证明：∵点P在抛物线y=x2上，∴可设点P的坐标为（x，x2），过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=x2-1，PB=x，∴Rt△BPF中，PF==x2+1，∵PM⊥直线y=-1，∴PM=x2+1，∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥y轴，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴x2+1=4，解得：x=±2，∴x2=×12=3，∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（-2，3）．【拔高】1. （江宁区二模）如图，在直角坐标系中，已知点A（-1，0）、B（0，2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．（1）点C的坐标为_________________；（2）若二次函数y=x2-ax-2的图象经过点C．①求二次函数y=x2-ax-2的关系式；②当-1≤x≤4时，直接写出函数值y对应的取值范围；③在此二次函数的图象上是否存在点P（点C除外），使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)（-3，1）；(2)y=x2+x-2；≤y≤8；．【解析】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，∵旋转角为90°，∴∠BAO+∠CAD=180°-90°=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CAD=∠ABO，在△ABO和△CAD中，∵，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=AO+AD=1+2=3，∴点C的坐标为（-3，1）；（2）①∵二次函数y=x2-ax-2的图象经过点C（-3，1），∴×（-3）2-（-3）a-2=1，解得a=-，故二次函数的关系式为y=x2+x-2；②∵y=x2+x-2=（x+）2-，∴当-1≤x≤4时，x=-时取得最小值y=- ，x=4时，取得最大值y=（4+）2- =8，所以，函数值y的取值范围为：-≤y≤8；③（i）当A为直角顶点时，延长CA至点P1，使AP1=AC=AB，则△ABP1是以AB为直角边的等腰直角三角形，过点P1作P1E⊥x轴，∵AP1=AC，∠EAP1=∠DAC，∠P1EA=∠CDA=90°，∴△EP1A≌△DCA，∴AE=AD=2，EP1=CD=1，∴可求得P1的坐标为（1，-1），经检验点P1在二次函数的图象上；（ii）当B点为直角顶点时，过点B作直线L⊥BA，在直线L上分别取BP2=BP3=AB，得到以AB为直角边的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，作P2F⊥y轴，同理可证△BP2F≌△ABO，则P2F=BO=2，BF=OA=1，可得点P2的坐标为（2，1），经检验P2点在二次函数的图象上，同理可得点P3的坐标为（-2，3），经检验P3点不在二次函数的图象上．综上所述：二次函数的图象上存在点P1（1，-1），P2（2，1）两点，使得△ABP1和△ABP2是以AB为直角边的等腰直角三角形．2. （重庆）如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x 轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．【答案】(1)A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；(2)3+；(3)Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，- ），Q4（1，）. 【解析】解：（1）由抛物线的解析式y=-x2+2x+3，∴C（0，3），令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=3或x=-1；∴A（-1，0），B（3，0）．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得，∴直线BC的解析式为：y=-x+3．设P（x，-x+3），则M（x，-x2+2x+3），∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x．∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM•（xP-xC）+PM•（xB-xP）=PM•（xB-xC）=PM．∴S△BCM=（-x2+3x）=-（x-）2+．∴当x=时，△BCM的面积最大．此时P（，），∴PN=ON=，∴BN=OB-ON=3-=．在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=．C△BCN=BN+PN+PB=3+．∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+．（3）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4∴抛物线的对称轴为直线x=1．在Rt△CNO中，OC=3，ON=，由勾股定理得：CN=．设点D为CN中点，则D（，），CD=ND=．如解答图，△CNQ为直角三角形，①若点Q为直角顶点．作Rt△CNO的外接圆⊙D，与对称轴交于Q1、Q2两点，由圆周角定理可知，Q1、Q2两点符合题意．连接Q1D，则Q1D=CD=ND=．过点D（，）作对称轴的垂线，垂足为E，则E（1，），Q1E=Q2E，DE=1-=．在Rt△Q1DE中，由勾股定理得：Q1E==∴Q1（1，，Q2（1，）；②若点N为直角顶点．过点N作NF⊥CN，交对称轴于点Q3，交y轴于点F．易证Rt△NFO∽Rt△CNO，则=，即＝，解得OF=．∴F（0，-），又∵N（，0），∴可求得直线FN的解析式为：y=x-．当x=1时，y=-，∴Q3（1，-）；③当点C为直角顶点时．过点C作Q4C⊥CN，交对称轴于点Q4．∵Q4C∥FN，∴可设直线Q4C的解析式为：y=x+b，∵点C（0，3）在该直线上，∴b=3．∴直线Q4C的解析式为：y=x+3，当x=1时，y=，∴Q4（1，）．综上所述，满足条件的点Q有4个，其坐标分别为：Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，- ），Q4（1，）．课程小结。