上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试卷汇编：函数

2015-2016学年上海市建平中学高三(上)12月月考数学试卷(理科)一.填空题(本大题共14题，每题4分，共56分)1 •若集合A=｛0, m｝，B=｛0, 2｝，A U B=｛0, 1, 2｝，则实数m ___________2.函数. (x>- 1)的反函数为_________________________________G)B={x|log 4 (x+a)v 1｝，若A n B=?,则实数a的取值范围4. 若无穷等比数列｛a n｝的前n项和为S,首项为1,公比为a- 1.5，且-;-7：. --=a,则a=n-*-w -------------------------------5. 直线l过点(3, - 1),且与向量_______________________________ -- 垂直，直线I的点法向式方程为6. 设一个圆锥的侧面展开图是半径为 ____________________ 「—的半圆，则此圆锥的体积为.7. 设f ( x)是(-8, +8)上的奇函数，f (x+2) =- f (x)，当0W x<1 时，f (x) =4x, - 1 -—'■8. 函数f (x) =s in n x+cos n x+|s in n x - cos n x| 对任意x€ R 有f (f ( x) < f ( X2)成立,贝H |x 2 - X1|的最小值为 _______________ .9. 经过P( 0,1)的直线l与两直线l 1:x- 3y+10=0和l2：2x+y - 8=0分别交于P1、P且满足P1P=2PP2,则直线I的方程为___________________10. 在棱长为1的正方体ABC- ABC1D中，点P是正方体棱上的一点(不包括棱的端点)，若满足|PB|+|PD 1|=m的点P的个数为6，贝U m的取值范围是___________________ .11. 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2二，/ A=120 , E、F分别是边AB AC上的点，且卜］飞讣:，—；■- v，其中m n€( 0, 1)，若EF、BC的中点分别为M N且m+2n=1,则| 的最小值是s i n. °」I x12. 已知函数f (x) = 「i' , (x€ R).下列命题：兀孟十兀丄*①函数f (x)既有最大值又有最小值；②函数f (x)的图象是轴对称图形；③函数f (x)在区间［-n , n ］上共有7个零点；④函数f (x)在区间(0, 1)上单调递增.其中真命题是 ________________ .(填写出所有真命题的序号)13 .设数列｛aj是首项为0的递增数列，:':■ 1'•' !■，满足：对于任意的b € ［0 , 1), m. n JEiL 丄f n (x) =b总有两个不同的根，则｛a n｝的通项公式为______________________ .14.对于n€ N,将n表示为n=a°X2 k+a1 X2k-1+a2^2k-2+…+a-/21+a k X20, i=0 时,a i=1,当1< i <k时，a i为0或1,记I (n)为上述表示中a i为0的个数；例如4=1 X 2 2+0X 2 1+0X 2 0,11=1X2 +0X2 +1X2 +1X2，故I (4) =2, I (11) =1 ;则2 +2 + …+2 +2 = ___________ .二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)15 .已知I , m n是空间三条直线，则下列命题正确的是( )A. 若l // m l 〃n,贝U m//nB. 若l 丄m l 丄n,贝U m〃nC. 若点A、B不在直线l上，且到I的距离相等，则直线AB//1D. 若三条直线I , m n两两相交，则直线I , m n共面616.记方程①x2+a i X+仁0，②x 2+a 2X+1=0,③x2+玄咲+1=0,其中a i , a ?, a 3是正实数，当a i , a ?, a 3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是()A .方程①有实根或方程②无实根 B.方程①有实根或方程②有实根 C.方程①无实根或方程②无实根D.方程①无实根或方程②有实根P={ (x , y ) | ( x - cos 0 ) 2+ (y - sin 0 ) 2=4, 0< 0 < n }中的点在平面上运动时18. 定义域为［a , b ］的函数y=f (x )图象的两个端点为(x , y )是f (x )图象上任意一点，其中x=入一+ (1 -入)，入€ ［0 , 1］.若不等式|MN|<k 恒成立，则称函数f (x )在［a , b ］上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数2A. y=xB.三•解答题(本大题共 5题，共12+14+14+16+18=74分)19. 如图，已知矩形 ABCD 是圆柱OO 2的轴截面，N 在上底面的圆周 Q 上，AC BD 相交于点 M(1) 求证：CNL 平面ADN (2)已知圆锥 MO 和圆锥MO 的侧面展开图恰好拼成一个半径为2的圆，直线BC 与平面CAN 所成角 的正切值为 「，求异面直线AB 与DN 所成角的值.A , B,向量： - ■ : I I-, M k 称为该函数的线性近似阀值.下列定义在［1 , 2］上函数中，线性近似阀值最小的是(D. p 二；17.如图是集合D. n +2-* r c20. 设a, b, c 分别为△ ABC 的内角A, B, C 的对边，..'一 二一：_「与「的夹角为'■3(1) 求角C 的大小； (2) 已知21.月数 1 2 3 4污染度603113污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月 开始工厂的污染模式：f (x ) =20|x - 4| (x > 1),-丄-；二-「 '二:卞:■I •：_「■■： 一匚一三:：• 11 :，其中X 表示月数，f (x )、g (x )、h (x )分别表示污染度.(1) 问选用哪个函数模拟比较合理？并说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60?22 .已知函数 f (x ) =a (x+—)— |x —L | (x > 0) a € R.(1) 若a= 一，求y=f (x )的单调区间；2(2) 若关于x 的方程f (x ) =t 有四个不同的解 X 1, X 2, X 3, X 4,求实数a , t 应满足的条件； (3) 在(2)条件下，若X 1, X 2, X 3, X 4成等比数列，求t 用a 表示.23.已知入，卩为常数，且为正整数， 入工1,无穷数列｛a n ｝的各项均为正整数，其前 n 项和为S,对任意的正整数 n , 5=入a n — □.记数列｛a n ｝中任意两不同项的和构成的集合为 A .-sin-S',△ ABC 的面积求a+b 的值.(1)证明：无穷数列｛a n｝为等比数列，并求入的值；(2)若2015€ A,求卩的值；(3)对任意的n€ N*，记集合B=｛x|3卩？2n「1v x V 3卩？2： x € A｝中元素的个数为b n,求数列｛b n｝的通项公式．2015-2016学年上海市建平中学高三(上) 12月月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.填空题(本大题共14题，每题4分，共56分)1. 若集合A={0, m}, B={0, 2}, A U B={0, 1, 2}，则实数m= 1 .【考点】并集及其运算.【专题】集合.【分析】已知中集合A={0, m}, B={0 , 2} , A U B={0, 1 , 2}，根据集合并集运算的定义，可得实数m的值.【解答】解：••• A={0, m}, B={0, 2} , A U B={0, 1, 2},/• m=1•••实数m的值为1.故答案为：1.【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，并集及其运算，属于基础题.2. 函数y="{i“.-[ (x>- 1)的反函数为y=x2- 1 (x》0) . 【考点】反函数.【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用.【分析】由解出x,互换变量x, y即可.【解答】解：T y f (x>- 1) ,• y>0, x=y2- 1,• y=V「J (x>- 1)的反函数为y=x?- 1,(x>0).故答案为y=x2- 1 (x>0).【点评】本题考查了反函数解析式求解，注意自变量的取值是关键.吐八'B={x|log 4 (x+a)v 1}，若A n B=?，则实数a的取值范围是[1 , 2].【考点】对数函数图象与性质的综合应用；交集及其运算.【专题】计算题.【分析】先分别求出集合A和集合B,再由A n B=?,求实数a的取值范围.【解答】:■- ■- - ■: 2解：集合，_ , ={x|x - x - 6 > 0}={x|x > 3 或x v —2},B={x|log4 (x+a)v 1}={x|0 v x+a v 4}={x| - a v x v 4 - a},•/ An B=?,解得1< a w 2.故答案为：[1 , 2].【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，先分别求出集合实数a的取值范围.4.若无穷等比数列｛a n｝的前n项和为S n,首项为1,公比为a - 1.5，且1 -r；=a,贝U a= 28 ----------------------- 【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列.【分析】由已知得--=a,由此能求出a.1亠(盘」1. 5丿【解答】解：•••无穷等比数列｛a n｝的前n项和为S n,首项为1，公比为a- 1.5 ,1 - (a-1. 5) n=a ,解得a=2.故答案为：2.【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.5 .直线I过点(3,- 1),且与向量11 ' ■ 1 ■.垂直，直线I的点法向式方程为 2 (x - 3) -3(y+1) =0 .【考点】直线的点斜式方程.A和集合B,再由A n B=?，求【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆.【分析】先设直线上任一点的坐标M(x, y)，根据法向量的概念，易得丄厶根据向量垂直的条件得点法向式直线方程.【解答】解：设直线上任一点的坐标M(x, y).直线l过点P (3, - 1),且与向量._ L厶垂直，根据法向量的概念，易得：得丄二根据向量垂直的条件得：即2 (x - 3)- 3 (y+1) =0,点法向式直线方程为2 ( x - 3)- 3 (y+1) =0.故答案为：2 ( x - 3)- 3 (y+1) =0;【点评】本题考查两向量垂直的性质，以及用点法向式求直线的方程.6•设一个圆锥的侧面展开图是半径为二的半圆，则此圆锥的体积为3n .【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【专题】计算题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何.【分析】根据已知，求出圆锥的母线，底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案.【解答】解：•••圆锥的侧面展开图是半径为"的勺半圆，•••圆锥的母线1= 二半径「…二•••圆锥的高h=JF _ 十=3，1 9故圆锥的体积V= _ . ：1=3 n ;□故答案为：3 n【点评】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积公式，难度不大，属于基础题.7.设f ( x)是(-8, +8)上的奇函数，f (x+2) =- f (x),当0W x Wl 时，f (x) =4x, '=-1 .【考点】函数奇偶性的性质.【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用.【分析】根据已知可得f (x )是周期为4的周期函数，故 「二丄i =f (-'),结合f (x )是4 4(-a, +m)上的奇函数，f (- ) =- f (),可得答案.Q q【解答】解：T f ( x+2) =- f (x ),/• f ( x+4) =f[ (x+2) +2]= - f (x+2) =f (x ), 即f (x )是周期为4的周期函数，•••「：' =f (-.),4 4又••• f ( x )是(-a, +a)上的奇函数, •f (- -P又由当 O w x wi 时，f (x ) =4x , •f J) =1，-=f (-? =- 1；故答案为：-1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的性质，是解答的关键.8 .函数 f (x ) =sin n x+cos n x+|sin n x - cos n x| 对任意 x € R 有 f (x i )w f ( x ) < f ( X 2)成立,则|x 2 - x i |的最小值为 ■:【考点】正弦函数的图象.【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质.【分析】先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定 |X 2- x i |的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论.若 f ( X i )w f ( x ) w f ( X 2)恒成立，则f ( X 1)为函数的最小值，f ( X 2)为函数的最大值.|X 2 - X i |的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值.由于x=」时，函数取得最大值 2, x= 时，sin n x=cos n x=-—，函数取得最小值, 2q2c 1 a•- |x 2 - X i |的最小值为 二-二=,4 2 4故答案为：I(X )r2S Ln7Txi兀 x,【解答】解：由题意可得,【点评】本题考查三角函数的性质，确定|x 2 -x i|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值是关键，属于中档题.9. 经过P( 0,1)的直线I与两直线l i:x- 3y+10=0和l2：2x+y - 8=0分别交于P、且满足P1P=2PPj，则直线I的方程为y=1 .【考点】待定系数法求直线方程.【专题】分类讨论；分类法；直线与圆.【分析】先讨论可得当直线I的斜率不存在时，不满足条件，设出直线的斜截式方程，结合:三，求出直线的斜率，可得直线的方程.【解答】解：当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为x=0,此时直线1 cI与两直线丨1：x-3y+10=0和丨2：2x+y - 8=0的交点R、B的坐标分别为(0, ) (0, 8),不满足? -故直线I的斜率存在，设直线I的斜率为k,则直线I的方程为：y=kx+1 ,则直线I与两直线l i：x- 3y+10=0和I 2：2x+y - 8=0的交点P i、P2的横坐标分别为7 7•••0-〕严(.「0)，解得：k=0,故直线I的方程为：y=1;故答案为：y=l【点评】本题考查的知识点是直线的方程，直线的交点坐标，分类讨论思想，难度中档.10. 在棱长为1的正方体ABCt> ABC i D中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD i|=m的点P的个数为6，贝U m的取值范围是（二，三].【考点】棱柱的结构特征.【专题】空间位置关系与距离.【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长不大于二能求出m的范围.【解答】解：T |PA|+|PC i|=m > |AC i|= _,••• m>",•••正方体的棱长为1•正方体的面的对角线的长为匚，•••点P的个数为6,2 飞2•m的取值范围是（・!].故答案为：（「，.刁.【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养.11. 如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=2二，/ A=120°, E、F分别是边AB AC上的点，且丘-JT 〒-丄丁其中m n€（0, 1），若EF、BC的中点分别为M N且m+2n=1,则|匸|的最•• •短半轴长b=【考点】平面向量数量积的运算.【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用.【分析】首先将向量用：表示，然后求向量::，整理为关于n的二次函数的形式求最小值.【解答】解：T 出，:，二］丄*..工丨•••匸〔丄m匚一二一甘)=J (1- m) .：；+ (1 - n)「］,•/ m+2 n=1—• 1 —* —*［2n :. ■+ (1- n).］,则「1 LU i虫"畀‘工'■ 「二A? I又AB=AC=2 二，/ A=120 ,•••U' Z=|AB| X |AC| X cos120° =2 J" ' =- 14,•一辽『F」「'J 仝出1；, n€( 0,1).•••当n=；时，7 (7n2-4n+1)有最小值为于是3•••［「：的最小值为二.故答案为：:-.【点评】本题考查平面向量数量积运算，着重考查了平面向量数量积公式、平面向量基本定理的应用，考查二次函数的最值求法等知识，是中档题.sin^T *12 .已知函数f (x) = . (x € R .下列命题:7T +X①函数f (x)既有最大值又有最小值；②函数f (x)的图象是轴对称图形；③函数f (x)在区间［-n , n ］上共有7个零点；④函数f (x)在区间(0, 1)上单调递增.其中真命题是 ①②③ •(填写出所有真命题的序号)【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.【分析】考虑①时用基本不等式进行放缩； 考虑②时，验证f (1 - x ) =f ( x );考虑③时，sin n x=0,故x=k , k 为整数，可得零点的个数；考虑④时，验证 f (0) =f (1) =0,故无单调性； 【解答】解：考虑①：所以，m 亦为f (x )在定义域上的最小值. 故①正确; 考虑②：因为f ( 1 - x ) =f (x )，所以x=为f (x )的对称轴，故②正确； 考虑③：因为 f (x ) =0,即卩 sin n x=0，故 x=k , k 为整数，.••区间［-n , n ］上有-3,- 2,- 1, 0, 1 , 2, 3共7个零点，故③正确; 考虑④:f (0) =f (1) =0,所以f (x )不可能单调递增；故④错误;综上①②③正确， 故答案为：①②③【点评】 本题主要考查函数的有关性质，要分析函数的表达式，进行合理的变形，同时要验证特殊 值.13. 设数列｛a n ｝是首项为0的递增数列,函数f (x )sinJT s _ ________ 1 _____ 1 H x + X 1 2VK Z * J ； 1 2V^C当且仅当x=时取等号，故函数由最大值;取x=-，有 f (-)2 £-1_ - v vn ?+兀黑1+卡£当 x > 10 时，f (x )>当 x v — 9 时，f (x ) >丄1 1兀M 22-11 £ / L，| ->->f ()而f (x )在［-9, 10］上存在最小值，设此最小值为m 则 me f(-」，:':■ 1'•' !■'..」'一「，满足：对于任意的 b € [0 , 1), m. n n 丄f n ( x) =b总有两个不同的根，则｛a n｝的通项公式为..二 .............. I'----- 2 -----------【考点】数列与三角函数的综合.【专题】计算题；等差数列与等比数列.【分析】根据条件确定a n+1- a n=n n ,利用叠加可求得｛a n｝的通项公式.【解答】解：Ta 1=0,当n=1 时,f i (x) =|sin (x- a i) |=|sinx| , x € [0 , a?],又T对任意的b € [0 , 1) , f 1 (x) =b总有两个不同的根，「.a 2= n■'■f 1 (x) =sinx , x € [0 , n ] , a?=n又f? (x) =|sin 丄(x - a?) |=|sin 丄(x - n ) |=|cos -：| , x € [ n , a s]T对任意的b€ [0 , 1) , f 1 (x) =b总有两个不同的根，：a 3=3n…又f 3 (x) =|sin 丄(x- a3)|=|sin 丄(x- 3n ) |=|sin 丄n | , x€ [3 n , a4]3 1 1T对任意的b€ [0 , 1) , f 1 (x) =b总有两个不同的根，：a 4=6n…由此可得a n+1 —a n=n n ,/ 、/ 、 c / 八口(n_1)-- a n=a1+ (a2 - aj + …+ ( a n - a -1) =0+ n + …+ ( n - 1) n = ------------ ■2... …-」」故答案为：.n，J1- '.1n 2【点评】本题考查数列与三角函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，具有一定的综合性，属于中档题.14. 对于n€ N,将n表示为n=a°X2 k+a1 X2k-1+a2^2k-2+…+a- 1X2 ”+a k X20, i=0 时,a i=1,当1< i <k时，a i为0或1,记I (n)为上述表示中a i为0的个数；例如4=1 X2 2+0X2 "+0X20,1 1=1X2 3+0X 2 2+1 X 2 1+1 X 2 °,故I (4) =2, I ( 11) =1;则2I (1 +2I (2 + …+2I (254)+2I (255> = 3280 .【考点】归纳推理.【专题】计算题；动点型；推理和证明.【分析】将n分为128W n W 255, 64< n W 127, 32< n< 63,…n=1 等7种情况，有组合数的性质，分析其中I (n)的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案，【解答】解：255=1 X 2 7+1 X 2 6+1 X 2 5+1 X 2 4+1 X 2 3+1 X 2 2+1 X 2 1 + 1 X 2 0,设128W n W 255,且n为整数；则n=1X2 7+a i X26+a2X2 5+a3X2 4+a4X2 3+a5X22+a6X21+a7X20, a i, a2, a3, a4, a5, a6, a?中7 个数都为0 或1,其中没有一个为1时，有C?0种情况，即有C?0个I (n) =7; 其中有一个为1时，有C71种情况，即有C?1个I (n) =6；其中有2个为1时，有C种情况，即有C?2个I (n) =5;25E综上可得：匚2 1( n)=C7027+C71X2 6+C72X 2 5+C73X 2 4+C74X 2 3+C?3X2 2+C76X 2+1= ( 2+1) 7=3?, r^!2E127同理可得：:2 I (n)=36 ,n-643「21 (n )=31,21⑴=1;贝y 21⑴ +21(2)+ …+21(254)+21 (255)=1+3+32+…+37= ____ =3280;3-1故答案为：3280;255I (n)的含义，及1 21(n)的运算，注意转化思想,【点评】解本题关键在于分析题意，透彻理解炉1圧结合二项式定理与等比数列的前n项和公式进行计算.二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)15 .已知I , m n是空间三条直线，则下列命题正确的是( )A. 若I // m I 〃n,贝U m//nB. 若I丄m I丄n,贝U m〃nC. 若点A、B不在直线I上，且到I的距离相等，则直线AB//1D. 若三条直线I , m n两两相交，则直线I , m, n共面【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】规律型.【分析】由公理4可判断A,利用空间直线之间的位置关系可判断B, C, D的正误，从而得到答案.【解答】解：由公理4可知A正确；若I丄m I丄n贝y m//n或m与n相交或异面，故B错误；若点A B不在直线I上，且到I的距离相等，则直线AB//1或AB与I异面，故C错误；若三条直线I，m n两两相交，且不共点，则直线I，m, n共面，故D错误.故选A.【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，属于基础题.16.记方程①x 2+a i X+仁0，②x2+a2X+1=0，③x 2+玄咲+1=0，其中a i，a?，a3是正实数，当a i，a?，a3成等比数列，下列选项中，当方程③有实根时，能推出的是（）A.方程①有实根或方程②无实根B.方程①有实根或方程②有实根C.方程①无实根或方程②无实根D.方程①无实根或方程②有实根【考点】等比数列的通项公式；二次函数的性质.【专题】分类讨论；方程思想；分析法；等差数列与等比数列.【分析】当方程③有实根时，.- ■>0,又a3>0,解得a3>2.由于a i，a?，a3成等比数列，可得2 ；2x +a i x+仁0,A i= ! 二对于方程②x +a2X+仁0,A 2= - 4 .对△ 2分类讨论即可得出..■； - - -1 ■--.对于方程①【解答】解：当方程③有实根时，-■>0,又a3>0，解得a s>2.、9*^a i, a2, a3成等比数列，「・-._i ..对于方程①x 2+a i X+i=0 ,△ i= 」；对于方程②x 2+a2X+仁0,A 2=），- 4.2假设△ 2< 0,则0v a2V 2,则a i= < 2，可得△ i v 0,因此方程①无实数根；a32假设△ 2>0,则a2>2,则a i= •与2的大小不确定，因此△ i与0大小关系不确定，即方程①可能有a3实数根也可能无实数根.故选：C.【点评】 本题考查了等比数列的通项公式、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨 论方法、推理能力与计算能力，属于中档题.-. 、2 217 .如图是集合 P={ (x , y ) | ( x - cos 0 ) + (y - sin 0 ) =4, 0< 0 < n }中的点在平面上运动时留下的阴影，中间形如“水滴”部分的平面面积为（【考点】圆的标准方程；集合的表示法.【专题】 综合题；转化思想；综合法；直线与圆.【分析】“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形 可得出结论. 【解答】解：如图，“水滴”部分由一个半圆加一个等边三角形 ABC 加两个弓形和 ，「构成,'•“水滴”部分的面积=S 半圆+ SAABC +2S 弓形AmB =；IL(^^-')丄，:.【点评】本题考查集合知识的运用，考查圆的知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.ABC 加两个弓形，、：「和构成，利用公式，即 故选：A.18.定义域为［a , b ］的函数y=f (x )图象的两个端点为 A , B,向量,■/=. :::', M(x , y )是f (x )图象上任意一点，其中x=入'+ (1 -入)一，入€ ［0 , 1］.若不等式|MN|Wk 恒成立，则称函数f (x )在［a , b ］上满足“k 范围线性近似”，其中最小的正实数 k 称为该函数的线性 近似阀值•下列定义在［1 , 2］上函数中，线性近似阀值最小的是(B 2C * 叽D 1 B. \一 C .:， D..‘ ：： 一一j? 3y函数恒成立问题.由已知，先得出 M N 横坐标相等，将问题转化为求函数的最值问题.A . y=x 2【考点】【专题】 新定义. 【分析】 【解答】 解：由题意, M N 横坐标相等，不等式|MN|Wk 对入€ ［0 , 1］恒成立，最小的正实数为|MN|的最大值. ①对于函数y=x 2，由 A B 是其图象上横坐标分别为 a 、b 的两点，贝U A ( 1,1),( 2, 4)「. AB 方程为y -仁(x - 1) ，即 y=3x - 22|MN|=|x -( 3x - 2) |=|(x - ) 2 -丿J,线性近似阀值为,②同样对于函数，由 A (1，2)，( 2，1)，AB 方程为 y= - x+3，|MN|—- x+3 -=3-( x+ )W 3 - 2二，线性近似阀值为 3 - 2二. 理)，B (2，：')，AB方程为2 21-12③同样对于函数.-—-7, A (1,可知|MN| W 1 -，线性近似阀值为④同样对于函数\ 一二，得A (1,。

上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编函数一、填空、选择题1、（宝山区2017届高三上学期期末） 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为2、（崇明县2017届高三第一次模拟）设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩≤，则((1))f f -= ．3、（虹口区2017届高三一模）定义{}()f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{}2.13=，{}44=．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）．①(2)2()f x f x =； ②若12()()f x f x =，则121x x -<； ③任意12,x x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=．.A ①② .B ①③ .C ②③ .D ②④4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知函数()y f x =是奇函数，且当0x ≥时，2()log (1)f x x =+．若函数()y g x =是()y f x =的反函数，则(3)g -= ．5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知)(x g y =与)(x h y =都是定义在),0()0,(+∞-∞Y 上的奇函数，且当0>x 时，⎩⎨⎧>-≤<=.1),1(,10,)(2x x g x x x g ，x k x h 2log )(=（0>x ），若)()(x h x g y -=恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是 【 】A ．]1,21[；B ．]1,21(；C ．]2log ,21(3；D ．]2log ,21[3．6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）函数()1f x 的反函数是_____________．7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有()*f n N ∈，且()()3f f n n =恒成立，则()()20171999f f -=____________．8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）函数x x f 2log 1)(+=（1≥x ）的反函数=-)(1x f.9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和(012)am a <<，不考虑树的粗细．现用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ．设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数()u f a =（单位2m ）的图像大致是……………………（ ）.A ．B ．C ．D ．10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f-= ▲ ．11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(],1-∞，则实数m 的取值范围是____________12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）若函数2()log 1x af x x -=+的反函数的图像过点(2,3)-，则a =________．13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图像经过点)1,4(，则实数=a __________．14、（崇明县2017届高三第一次模拟）下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．tan y x =B ．3xy =C ．13y x =D ．lg y x =15、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知函数()y f x =的反函数为()1y f x -=，则函数()y f x =-与()1y f x -=-的图像（ ）． A ．关于y 轴对称 B ．关于原点对称C ．关于直线0x y +=对称D ．关于直线0x y -=对称16、（普陀区2017届高三上学期质量调研）设∈m R ，若函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则)(x f 的单调递增区间是 .17、（普陀区2017届高三上学期质量调研）方程()()23log 259log 22-+=-xx的解=x .18、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知定义域为R 的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，且11<≤-x 时，21)(x x f -=；函数⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,lg )(x x x x g ，若)()()(x g x f x F -=，则[]10,5-∈x ，函数)(x F 零点的个数是 .19、（奉贤区2017届高三上学期期末）方程1lg )3lg(=+-x x 的解=x ____________ 20、（金山区2017届高三上学期期末）函数()2xf x m =+的反函数为1()y fx -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =二、解答题1、（崇明县2017届高三第一次模拟）设12()2x x af x b+-+=+（,a b 为实常数）．（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．2、（虹口区2017届高三一模）已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域．3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得(2)f t +()(2)f t f =+． （1）判断()32f x x =+是否属于集合M ，并说明理由； （2）若2()lg2af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x M ∈．4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）设集合|)({x f M a =存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有)}()(x f a x f >+．(1) 若22)(x x f x-=，试判断)(x f 是否为1M 中的元素，并说明理由；(2) 若341)(3+-=x x x g ，且a M x g ∈)(，求a 的取值范围； (3) 若),1[),(log )(3+∞∈+=x xkx x h （R ∈k ），且2)(M x h ∈，求)(x h 的最小值．5、（普陀区2017届高三上学期质量调研）已知∈a R ，函数||1)(x a x f += （1）当1=a 时，解不等式x x f 2)(≤；（2）若关于x 的方程02)(=-x x f 在区间[]1,2--上有解，求实数a 的取值范围.6、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知函数2()2(0)f x x ax a =->. (1)当2a =时，解关于x 的不等式3()5f x -<<；(2)对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得在整个区间[0 ()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立. 求出()M a 的解析式；(3)函数()y f x =在[ 2]t t +，的最大值为0，最小值是4-，求实数a 和t 的值.7、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) ． （1）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由； （2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.8、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比（如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）．（注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润()f x 、()g x 表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？参考答案：一、填空、选择题1、解析：1＋log 8a ＝4，log 8a ＝3，化为指数：3a ＝8，所以，a ＝221log y x =+，即：12y x -=，所以反函数为12x y -=2、－23、C4、－75、C6、()()211(1)fx x x -=-≥ 7、548、【解析】∵x ≥1，∴y=1+2log x ≥1，由y=1+2log x ，解得x=2y ﹣1，故f ﹣1（x ）=2x ﹣1（x ≥1）．故答案为：2x ﹣1（x ≥1）． 9、B 10、211、01m <≤ 12、2a =13、【解析】函数a x x f ++=)1(log )(2的反函数的图象经过点（4，1）， 即函数a x x f ++=)1(log )(2的图象经过点（1，4）， ∴4=log 2（1+1）+a ∴4=1+a ， a=3．故答案为：3． 14、C 15、D16、【解析】由题意：函数()11)(32+++=mx x m x f 是偶函数，则mx=0，故得m=0， 那么：f （x ）=23x +1，根据幂函数的性质可知：函数f （x ）的单点增区间为（0，+∞）． 故答案为：（0，+∞）．17、【解析】由题意可知：方程log 2（9x ﹣5）=2+log 2（3x﹣2）化为：log 2（9x ﹣5）=log 24（3x﹣2）即9x ﹣5=4×3x﹣8 解得x=0或x=1；x=0时方程无意义，所以方程的解为x=1． 故答案为1． 18、【解析】定义域为R 的函数y=f （x ）满足f （x+2）=f （x ）， 可得f （x ）的周期为2， F （x ）=f （x ）﹣g （x ），则令F （x ）=0，即f （x ）=g （x ），分别作出y=f （x ）和y=g （x ）的图象， 观察图象在[﹣5，10]的交点个数为14．x ＝0时，函数值均为1，则函数F （x ）零点的个数是15． 故答案为：15．19、5 20、1二、解答题1、解：（1）证明：511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分 （2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分 所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意........................................8分（2）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x，所以112>+x，11210<+<x， 所以21)(21<<-x f .......................................10分 而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x （， 所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f .............14分 1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x 得：75log 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分2、解：（1）由二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[)0,+∞，得0a >且41604ac a-=，解得4ac =．……………………2分Q (1)4f a c =+-，(1)4f a c -=++，0a >且0c >，从而(1)(1)f f -≠，(1)(1)f f -≠-，∴此函数是非奇非偶函数．……………………6分（2）函数的单调递增区间是2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．设1x 、2x 是满足212x x a >≥的任意两个数，从而有21220x x a a->-≥，∴222122()()x x a a ->-．又0a >，∴222122()()a x a x a a->-， 从而22212424()()a x c a x c a a a a-+->-+-， 即22221144ax x c ax x c -+>-+，从而21()()f x f x >，∴函数在2,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增．……………………10分（3）2()4f x ax x c =-+，又0a >，02x a=，[)1,x ∈+∞ 当021x a =≥，即02a <≤时，最小值0()()0g a f x == 当021x a =<，即2a >时，最小值4()(1)44g a f a c a a==+-=+-综上，最小值002()442a g a a a a <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩……………………14分 当02a <≤时，最小值()0g a = 当2a >时，最小值4()4(0,)g a a a=+-∈+∞ 综上()y g a =的值域为[0,)+∞……………………16分3、解：（1）当()32f x x =+时，方程(2)()(2)38310f t f t f t t +=+⇔+=+ ……2分 此方程无解，所以不存在实数t ，使得(2)()(2)f t f t f +=+，故()32f x x =+不属于集合M ． ……………………………4分 （2）由2()lg2af x x =+属于集合M ，可得方程22lglg lg (2)226a a ax x =++++有实解22[(2)2]6(2)a x x ⇔++=+有实解2(6)46(2)0a x ax a ⇔-++-=有实解，………7分若6a =时，上述方程有实解；若6a ≠时，有21624(6)(2)0a a a ∆=---≥，解得1212a -≤+故所求a的取值范围是[1212-+． ……………………………10分 （3）当2()2x f x bx =+时，方程(2)()(2)f x f x f +=+⇔+2222(2)244x x b x bx b ++=+++⇔32440x bx ⨯+-=， ………………12分令()3244x g x bx =⨯+-，则()g x 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，故()g x 在(0,1)内至少有一个零点；当0b <时，(0)10g =-<，11()320bg b =⨯>，故()g x 在1(,0)b内至少有一个零点；故对任意的实数b ，()g x 在R 上都有零点，即方程(2)()(2)f x f x f +=+总有解， 所以对任意实数b ，都有()f x M ∈． ………………………16分 4、解：（1）∵1)0()1(==f f ， ∴1)(M x f ∉. ……………………………4分 （2）由0413341)(41)()()(32233>-++=++--+=-+a a x a ax x a x x a x x g a x g …2分 ∴0)41(12934<--=∆a a a a ， ……………………………3分 故 1>a . ……………………………1分（3）由0)(log ]2)2[(log )()2(33>+-+++=-+xkx x k x x h x h , ………………1分 即：)(log ]2)2[(log 33xkx x k x +>+++∴ 022>+>+++xkx x k x 对任意),1[+∞∈x 都成立∴ 3113)2(2<<-⇒⎩⎨⎧-><⇒⎩⎨⎧->+<k k k xk x x k ……………………………3分 当01≤<-k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当10<<k 时，)1(log )1()(3min k h x h +==； ……………………………1分 当31<≤k 时，)2(log )()(3min k k h x h ==. ……………………………1分 综上：⎪⎩⎪⎨⎧<≤<<-+=.31),2(log ,11),1(log )(33min k k k k x h ……………………………1分5、【解】（1）当1=a 时，||11)(x x f +=，所以x x f 2)(≤x x 2||11≤+⇔……（*）①若0>x ，则（*）变为，0)1)(12(≥-+x x x 021<≤-⇔x 或1≥x ，所以1≥x ；②若0<x ，则（*）变为，0122≥+-xx x 0>⇔x ，所以φ∈x 由①②可得，（*）的解集为[)+∞,1。

（第11题图）CBOFAy xOBAC虹口区2016年高考模拟数学试卷（理合卷）2016.4考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设集合{}2M x x x ==，{}20N x log x =≤，则=N M __________.2．已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b += 3. 在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 4．已知复数z 在复平面上对应的点在曲线2y x=上运动，则z 的最小值等于__________. 5.已知函数()f x 的对应关系如下表：x2-1- 01 2()f x32-15m若函数()f x 不存在反函数，则实数m 的取值集合为___________. 6.在正项等比数列{}n a 中，132341,,3a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++= ___________.7.已知()2sin (0)f x x ωω=>在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则实数ω的最大值为___________.8.若行列式124cos()20116x π+-中的元素4的代数余子式的值等于32，则实数x 的取值集合为____________.9. 若二项式1(2)nx x-展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为__________.10 .已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323， ( 第10题图) 则球O的表面积为___________.11. 如图, 2222+1(0)x yA B a b a b =>>、为椭圆的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，与其交于点 C. 若//AB OC (O 为坐标原点)，则直线AB 的斜 率为___________.12. 若经过抛物线 24y x =焦点的直线 l 与圆22(4)4x y -+= 相切，则直线l 的方程为___________.13.（理） 假设某10张奖券中有一等奖1张，奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖. 现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ 不少于其数学期望E ξ的概率为_________.14. （理）已知对任意的[](,0)(0,),1,1x y ∈-∞⋃+∞∈-，不等式222168210x xy y a x x+----≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15． 3a =“”是“直线2(2)0a a x y -+=和直线310x y ++=平行”的 ( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．（理）已知抛物线21:4C y x =的焦点F 恰好是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点，且两条曲线12C C 与交点的连线过点F ，则椭圆2C 的长轴长等于 ( )（A ）21+ （B ）2 （C ） 222+ （D ）4 17. 在ABC ∆中，a b c 、、分别是内角A B C 、、所对的边，若2224ABC a b c S ∆+-=（其中)ABC S ABC ∆∆表示的面积，且0,AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭则ABC ∆的形状是 ( ) （第16题图） （A ）有一个角为30︒的等腰三角形 （B ）等边三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形18．（理）已知点列(,)()n n n A a b n N *∈均在函数(0,1)x y a a a =>≠的图像上，点列(,0)n B n 满足1.n n n n A B A B +=若数列{}n b 中任意连续三项能构成三角形的三边，则a 的取值范围为（ ）QA DCBP （第20题图）（A ）51510,,22⎛⎫⎛⎫-+⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （B ）5151,11,22⎛⎫⎛⎫-+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（C ）31310,,22⎛⎫⎛⎫-+⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）3131,11,22⎛⎫⎛⎫-+⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤. 19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 在锐角ABC ∆中， 2sin sin sin()sin().44A B B B ππ=++-(1) 求角A 的值；(2) 若12,AB AC ⋅=求ABC ∆的面积.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. （理）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ， 且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离；(2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.已知函数131()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭满足(2)1f -=，其中a 为实常数. （1）求a 的值，并判定函数()f x 的奇偶性；（2）若不等式1()2xf x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭在[]2,3x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.已知直线2y x =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，点(1,0)(,)A M m n 、(0)n ≠（第22题图）P NQxOAMy都在双曲线C 上，直线AM 与y 轴相交于点P ，设坐标原点为O ．(1) 求双曲线C 的方程，并求出点P 的坐标（用m 、n 表示）； (2) 设点M 关于y 轴的对称点为N ，直线AN 与y 轴相交于点Q ．问：在x 轴上是否存在定点T ， 使得TP TQ ⊥？若存在，求出点T 的坐标；若不存 在，请说明理由．(3) 若过点(0,2)D 的直线l 与双曲线C 交于R S 、两点，且OR OS RS +=，试求直线l 的方程．23. (本题满分18分)（理）本题共3个小题，每小题6分.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且2(1)().n n n S a S n N *-=∈（1）求123S S S 、、的值，并求出n S 及数列{}n a 的通项公式；（2）设121(1)(1)(),n n n n b n a a n N +*+=-+⋅∈求数列{}n b 的前n 项和.n T（3）设(1)(),n n c n a n N *=+⋅∈在数列{}n c 中取出(,3)m m N m *∈≥为常数项，按照原来的顺序排成一列，构成等比数列{}n d .若对任意的数列{}n d ，均有123,m d d d d M ++++≤ 试求M 的最小值.虹口区2016年高考模拟数学试卷 参考答案与评分标准2016年4月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．[]0,1 2． 3 3．125 4． 2 5． {}3,2,1,5- 6.92 7. 32 8． 2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭9. 64 10．64π 11．2212. 5102x y ±-=QA D CBP （第20题解答图）z yx 13．（理）23； 14．（理）(,842⎤-∞-⎦；二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. A 16. C 17. D 18. B 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.()2222sin sin sin()sin()sin sin()cos()4444111sin sin(2)sin cos 1242222A B B B B B B B B B B πππππ=++-=+++=++=+=解：因分故由ABC ∆为锐角三角形，得.6A π=……6分 （2）由（1）知3cos ,2A =由已知，有 312cos ,2AB AC cb A bc =⋅=⋅= 故8 3.bc = ……9分从而111sin 832 3.222ABC S bc A ∆=⋅=⋅⋅= ……12分20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.（理）解：(1)以},,{AP AD AB 为正交基底建立空间直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =由(2,1,0),DC =- (0,2,2),DP =- (0,2,0).DA =-则202,2.220n DC x y y x z x n DPy z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n = . ……5分 所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d n×-?=== ……7分 (2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==且(1,1,1).CQ=-- 设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z = 则00000000200,.0n AD y y z x n AQ x z ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî 令01x =，则0(1,0,1)n =-. ……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则00026sin cos ,.332CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===⋅故直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为6sin.3arc ……14分 注：第（1）小题也可用等积法来做.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 解：（1）由1312121(2)log 1,,2133a a f ++-==-=--得解得 1.a =- ……3分于是131()log 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭，其定义域为(,1)(1,).D =-∞-⋃+∞ ……4分 对于任意的(,1)(1,),x ∈-∞-⋃+∞有111133331111()+()log log log log 10,1111x x x x f x f x x x x x +-++-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=⋅== ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭故()f x 为奇函数. ……7分（2）由1()2x f x t ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，得[]1()2,32xt f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭在恒成立.由12111x x x +=+--在(,1)-∞-及(1,)+∞上均递减，且13()log g u u =在(0,)+∞上也递减，故函数()f x 在区间(,1)(1,)-∞-+∞及均单调递增. ……10分由()f x 及12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]2,3均单调递增，知[]1()()2,32xx f x ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在单调递增， ……12分故2min15()(2)(2).24x f ϕϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭因此，实数t 的取值范围为5(,).4-∞- ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分.解：（1）由已知，得11,2,2a a b b a=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩故双曲线C 的方程为 22 1.4y x -= ……3分 (1,)AM m n =-为直线AM 的一个方向向量，∴直线AM 的方程为1,1x y m n -=-它与y 轴的交点为(0,).1nP m- ……5分（2）由条件，得(,),N m n -且(1,)AN m n =--为直线AN 的一个方向向量，故直线AN 的方程为1,1x ym n -=--它与y 轴的交点为(0,).1n Q m+ ……7分 假设在x 轴上存在定点0(,0)T x ，使得TP TQ ⊥,则由0(,),1n TP x m =--0(,),1n TQ x m =--+ 及221,4n m -=得 0(,)1n T P T Q x m ⋅=-⋅- 22222000022(,)40.11(1)14n n n x x x x n m m --=-=-=-=+-+- 故02,x =±即存在定点T ，其坐标为(2,0)或(2,0),-满足题设条件. ……10分(3) 由OR OS RS +=知，以OR OS 、为邻边的平行四边形的对角线的长相等，故此四边形为矩形，从而.OR OS ⊥……12分 由已知，可设直线l 的方程为2,y kx =+并设1122(,),(,),R x y S x y则由222,1,4y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩ 得 22(4)480.k x kx -++= 由2221632(4)16(8)0,k k k ∆=--=->及240,k -≠得2284k k <≠且 （*）由121212122248,,(2)(2),44k x x x x y y k x k x k k +=-==++-- ……14分 得2222121212122228(1)84(2)(1)2()440444k k k OR OS x x y y k x x k x x k k k +-⋅=+=++++=-+==---故22,k =符合约束条件（*）.因此，所求直线l 的方程为2 2.y x =±+ ……16分 23.（理） (本题满分18分) 本题共3个小题，每小题6分. 解：（1）当1n =时， 22111111(1);2S a S S S -==⇒=当2n =时， 222222212(1)();23S a S S S S -==-⇒=当3n =时， 233333323(1)().34S a S S S S -==-⇒= ……2分由此，猜测： ().1n nS n N n *=∈+ 下面用数学归纳法证明：（i ）当1n =时，结论显然成立；（ii ）假设当()n k k N *=∈时，1k kS k =+；则当1n k =+时，由条件，得 21111111(1)().2221k k k k k k k k k k k S a S S S S S k S k k +++++++-==-⇒===-+-+即当1n k =+时，结论也成立.于是，由（i ），（ii ）可知，对任意的,.1n nn N S n *∈=+均有……4分 当1112,.1(1)n n n n n n a S S n n n n --≥=-=-=++时又1111,212a S ===⨯ 于是数列{}n a 的通项公式为:1().(1)n a n N n n *=∈+ ……6分 (2)因 121111111(1)(1)(1)(1)(),(2)22n n n n n n b n a a n n n n ++++=-+⋅=-⋅=-⋅-++……8分 当n 为奇数时， 12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1)?221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---+--+-⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=-+-=+⎢⎥++++⎣⎦分 当n为偶数时，12111111111111(1)()()()()()232435461121111111(1).221222(1)(2)n n T b b b n n n n n n n n ⎡⎤=+++=---+---++---⎢⎥-++⎣⎦⎡⎤=--+=-⎢⎥++++⎣⎦故111,(22(1)(2)11(1)=.22(1)(2)111,(22(1)(2)nnn n n T n n n n n ⎧⎡⎤+⎪⎢⎥++⎡⎤-⎪⎣⎦=-⎨⎢⎥++⎡⎤⎣⎦⎪-⎢⎥⎪++⎣⎦⎩当为奇数)当为偶数)……12分 （3）因1(1),n n c n a n =+⋅=由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,(),q Q q d a N a +*∈<=∈因且 设(,,2,,).vq u v N u u v u *=∈≥且互质 （i ）当1v =时，因11,2q u =≤故 2112312111111(1)12.2222m m m m d d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分（ii ）当1v ≠时，因11111m m m m v d d q a u---==⋅是数列{}n c 中的项，故1().m a v a a N -*''=⋅∈2112311232211232211232211111(1)111111()111111111122323233121()321232(3).223213m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m d d d d d q q q a v v u v u vu u v v u v u vu u m --------------------++++=++++=+++++'≤+++++≤+++++⋅⋅⋅⎡⎤-⎢⎥⎣⎦==-<-≥- 从而综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2m -- ……18分 另解（3）：因1(1),n n c n a n =+⋅=由于数列{}n c 的(3)m m ≥项子列{}n d 构成等比数列，设其公比为,q 则 211231(1).m m d d d d d q q q -++++=++++11,1,().q Q q d a N a +*∈<=∈因且 （i ）当1a =时，因1,2q ≤故 211232111111112.2222m m m m d d d d q q q ---++++=++++≤++++=- ……15分（ii ）当2a ≥时，因11,11a a q a a+≤=+ 故2112311111(1)111312(3).22m m m d d d d q q q a a a aa m --++++=++++<⋅=+-+≤<-≥综合（i ），（ii ），得：在数列{}n c 中的所有(3)m m ≥项等比子数列{}n d 中，其和最大的是：211111.222m - ，，，，故由题意知：M 的最小值为112.2m -- ……18分。

长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届第二学期高三教学质量检测数学试卷（理科） 2016.04.（满分150分，考试时间120分钟）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分．考试时间120分钟．2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并将核对后的条形码贴在指定位置上．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设集合},2||{R ∈<=x x x A ，},034{2R ∈≥+-=x x x x B ，则A B =I _________． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________． 3．设0>a 且1≠a ，若函数2)(1+=-x a x f 的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是___________．4．计算：=++∞→222)1(C P lim n nn n __________． 5．在平面直角坐标系内，直线:l 022=-+y x ，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为___________． 6．已知0sin 2sin =+θθ，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则=θ2tan _____________． 7．设定义在R 上的奇函数)(x f y =，当0>x 时，42)(-=xx f ，则不等式0)(≤x f 的 解集是__________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点)1,1(A ，若线段OA 的垂直平分线过抛物线:C px y 22=（0>p ）的焦点，则抛物线C 的方程为_____________．9．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=ty t x 5521,551（t 为参数）与曲线⎩⎨⎧+=⋅=θθθθcos sin ,cos sin y x （θ为参数）的公共点的坐标为____________．10．记nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12*(N ∈n ）的展开式中第m 项的系数为m b ，若432b b =，则=n ________．11．从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所 构成的三角形的面积，则其数学期望=ξE _________．12．已知各项均为正数的数列}{n a23n n =+L （*N ∈n ），则12231n a a a n +++=+L ___________． 13．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分．甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为____________．14．已知0>a ，函数xax x f -=)(（]2,1[∈x ）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数)(x f 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1||≤MN 恒成立，则a 的最大值是_________________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分． 15．“0sin =α”是“1cos =α”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件16．下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ； （B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π； （D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .17．已知a r ，b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()0c a c b -⋅-=rr r r ，则 ||c r的最大值是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=,153,6sin ,30,|log |)(3x x x x x f π 若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，其中4321x x x x <<<，则4321x x x x 的取值范围是（ ）．（A ）)96,60( （B ）)72,45( （C ）)48,30( （D ）)24,15( 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角 函数值表示）．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数13cos 3cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πωπωωx x x x f （0>ω，R ∈x ），且函数)(x f 的最小正周期为π． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若0)(=B f ，23=⋅BC BA ，且4=+c a ，求b 的值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0>M ，都有M x f ≤)(成立，则称)(x f 是D 上的有界函数，其中M 称为函数)(x f 的上界．（1）设1)(+=x x x f ，判断)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出)(x f 的所有上界M 组成的集合；若不是，也请说明理由；（2）若函数xxa x g 421)(⋅++=在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．A B CA 1B 1C 1D22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．如图，设F 是椭圆14322=+y x 的下焦点，直线4-=kx y （0>k ）与椭圆相交于A 、B 两点，与y 轴交于P 点．（1）若AB PA =，求k 的值；（2）求证：BFO AFP ∠=∠； （3）求△ABF 面积的最大值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知正项数列}{n a ，}{n b 满足：对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ．（1）求证：数列{}nb 是等差数列；（2）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （3）设12111n nS a a a =+++L ，如果对任意*N ∈n ，不等式n n n a baS -<22恒成立，求实数a 的取值范围．二模理科数学参考答案一．填空题1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题19．（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，（2分） 因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分） （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ， 由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ， 所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分） 由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ， 所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分） 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………（8分）21．（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ，即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22.（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分） 因为AB PA =，所以122x x =，代入上式求得556=k 。