一类变分不等式问题的数值解法

一类变分问题及其应用

（，）＞≥Ｏ， ∈Ｓ。Ｙｘ
证明：令（ＹＭ，，）＝＜，）．（）＞，Ｍ（Ｙ，，，７应用定理１即可得出结论。推论１Ｅ，，Ｖ如定理２，：ＳＣ，，则存在 ∈ＳＹ∈Ｖ）满足式（），（１。
）ｚ关于Ｍ，），是拟凸的，则存在Ｓ，∈ Ｇ） ∈ ｖ满足（，， ≥ ，Ｅｏｖ）Ｓ。
证明：对任意固定的（， ∈ × 令仃，）ｓＳ（Ｙｓｍｎｘｙｚ｝由于是连续的，，）ｓＣ，，（，＝｛ ∈ ：，，，）＝（，，）ｉ ‘ 且关于Ｍ是拟凸的，所以仃，）（，是闭凸集，，： × —Ｓ，仃（，）Ｓｃ是上半连续的，（），ｓ）是紧的，由参考
把它应用到最优化中的非线性最小问题及鞍点问题。关键词：义变分不等式；ａａｈ空间；广Ｂｎｃ田一单调；线性最小问题；点非鞍中图分类号：ｏ２２４文献标识码：Ａ文章编号：０９— ５６２０）１０９１０３１（０６０ — ０２—０３
事实上，如果令（Ｙ＝，＇，）一／，），，（／＝／７／，，则式（）２变为式（）故，（）１，式２是式（）１的推广。
２主要结果
定理１设Ｅ是Ｂｎｃ间，ＣＥ是紧凸集，Ｃ凸闭集，Ｃ是的凸紧子集的全体，ＶＳ－Ｐａａｈ空ＳＣＥ是Ｐ（）：－－，（）Ｃ是上半连续的，：Ｓ×Ｃ×Ｓ一尺是连续函数，Ｖｘ∈Ｓ；，，）且（Ｙ ≥Ｏ对任意固定的（Ｙ，）∈Ｓ×Ｃ，，（

求解一类非对称单调变分不等式的非精确自适应交替方向法

黎景
（湖南大学数学与计量经济学院，沙，１０２长４０８）
摘要本文研究了一类单调非对称变分不等式的非精确自适应交替方向法，明了方法的收敛性．证 ’
关键词变分不等式交替方向法自适应
引入Ｌｎｒｎｅ乘子Ｙ原问题可转化为如下形式的变分不等式：ａｇａｇ，求
ＶＩＩ，（一）ｆ（。三０Ｖ ∈ （Ｆ）Ｉ＇ｒｕ）三，＝
∈ ，得使
（．）１２
其中
＝＝
Ｙ
（
）
扭＝
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝Ｒ × ｙ，＝Ｒ × Ｒ，ｙ
维普资讯
第２卷第３７期２０年９月０７
数学理论与应用
ＭＡＴＨＥＭＡＴｌＣＡＬＴＨＥ０ＲＹＮＤＡＡＰＰＬｌＣＡＴｌ０ＮＳ
Ｖｏ．７ＮＯ３Ｉ２．
Ｓｐ０ｅ．２０７
求解一类非对称单调变分不等式的非精确自适应交替方向法 ’
ＶＩＫ，）（ — 。ｒｘ）三０Ｖ ∈ Ｋ（厂）ｆ（三，＝
（．）１１
这里
Ｋ＝｛ ∈ ＲＪｘ＝ｂ ≥ ０，Ｂ，）Ｂ ∈Ｒ，ｂ∈ Ｒ
且Ｖｆｘ（）可为非对称的．Ｋ。为ＶＩＫ，）的解集．（厂
Ｋｅｗｏｄｓｖｒｔｏａｎｑａｉｅａｔｒａｉｇｄｒｃｉｎｍｅｈｄｓｌ－ａａｔｅｙｒａｉｉｎｌｉｅｕｌｉｓｌｅｎｔｉｅｔｔｏｅｆｄｐｉａｔｎｏｖ

自反Banach空间中一类广义集值强非线性变分不等式问题

第３２卷第４期
２００８年８月
南昌大学学报（科版）理
ＪｕｎｌｆａｃａｇＵｉｅｉ（ａｕａＳｉｃ）ｏｒａｏｎｈｎｎｖｒｔＮｔｒｌｃｎｅＮｓｙｅ
Ｖｏ．２Ｎｏ．１３４Ａｕ．０ｇ２０８
＋）一）ＯＶＫ，， ∈ （．）０２
（Ｎ（・，）一Ｎ（。，，Ｕｇ（）２一Ｙ）ｇ（）一）（ｇｕ一（）・ｌ／一（）Ｉ（）ｇ）Ｉ（，ｇｇ１）
定义１３４．［］一２称为卵一单调的，ｐ如果
ｎ
ＣＫ，Ｃ｛１２ … ，，ｃＵＧ）有Ｏ，，｝（。
．
（，，（， “ ／ “ ／）Ｎ（（）一一））一．ｃ
引理１１．
（ＫＭ定理）ＦＫ设为实Ｂｎｃａａｈ
１预备知识
定义１１¨ 设ｘ为实Ｂｎｃ．ａａｈ空问，是Ｘ
２００３年，ｈ，ａｇＨａｇ和Ｋｍ¨ 在自反Ｂ — ＣｏＦｎ，ｕｎｉａｎｃａｈ空间中引进并研究了以下所谓广义集值强非
的对偶空间，为中非空闭凸子集， Ⅳ：
Ｘ一
是单值映射，［，。一［，。是实函数，：０＋。）０＋。）ｇ： — 为线性有界算子，集值映射Ｆ：２称为一关于 Ⅳ（・，的第一变元是一ｇ单调的，・）如果对任意 “ ∈Ｋ，ｕ ∈Ｆ，， ∈Ｆ，ｖ有

变分不等原理的优化解法及应用

１摩擦约束形变理论的变分不等原理及优化解法
对于满足本构方程、方程、几何位移边界条件的摩擦约束形变理论，势能泛函如下其
仃ｆ（）— Ａ＋ＨｒｄＪ＝ＡｏＶＪＶ — Ｆｅｄｌ — ｄ
ｖｖｒｒ．ｒ．
维普资讯 http://www来自第２卷ｌ第１期
南昌水专学报
ＪｕａｆＮｎｈｎｏｌｇｆＷａｅｎｅｖｎｙａｄＨｙｒｅｅｔｃＰｗｒｏｒｌａｃａｇＣｌｅｏｔｒＣｏｓｒａｃｄｏｌｒｏｅｎｏｅｎｃｉ
对泛函式（）分，１变有
３／０，／＿＞
（）２
式中（）为应变能密度，
为体力密度在方向的分量，为接触边界位移的切向分量，为接触边界位移的法向分量，
收稿日期：０１２— １２０ —１０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（９６０２，昌水专科研基盎资助项目（Ｚ０１０）１７２０）南Ｓ２０ — １作者简介：辉（９９一）男．孙１５，江西瑚口人，教授，主要从事固体力学、材料加工工程及计算机应用研究
Ⅱ 』（ｄ』ｌ — ｄ，＝＾ｇｄＪＦ）ｒ
Ｖ
（）３
应力偏量、能量函数为０
２
一＝： — ＝
（）４
Ａ）（＝为了求问题的近似解，所给问题，针对设定近似速度场
＝；＝
变分不等原理指出，足实际情况的速度场必使式（）极小值．满３取

一类广义隐拟向量变分不等式解的存在性问题

１，］映射Ｏ＜（＋）），，在０ｔｒｘ（一），一，，＞处是上半连续的，其
本文研究的广义隐拟向量变分不等式问ＧＶＩ：题（ＩＱ）
收稿日期：０７—１３２００— １
中（（＋），ｒｘ（ — ），ｙ＞＝｛，— ＞ｓ（＋，）＜ＹＩ ∈ｒｘ（一）｝ｓ，根据以上定义可以得到下面引理．
向量变分不等式问题是由ＦＧａｅｓ于１８年在有限维空．ｉｓｎｉ９０
不久前ＧＭＬ和ｓＨＫｍ．．ｅｅ．．ｕ提出隐向量变分不等式（ＶＩ，ＩＶ）随后周密、何诣然在此基础上提出广义隐拟向量变分不等式问ＧＶＩ，题（ＩＱ）在广义伪单调性下讨论了解的存在问题．本文将在广义弱Ｃ一伪单调性下，利ＧＶＩ，
中图分类号：１８０７文献标识码：Ａ文章编号：６１３５２０）６— ０９－３１７ —５６（０８ｏ０００
１引言与预备知识
求
Ｇ，ｘ使得对任意的ＹｅＧ，ｓ∈ ，ｘ存在满足
（，，）隹一ｉｔｓＹｎｘＣ间的情形中提出，，．．ｈｎＧＭＣｅ在无限维空间中其后ＧＹＣｅ和．ｈｎ以下给出证明结论的主要定义和引理．讨论了这一问题．最近十几年来，向量变分不等式问题（Ｖ）ＶＩ和定义１１设Ｆ一２是一个多值映射：．如果对任意的，广义变分不等式问题（ＶＩ引起了广泛的关注，ＧＶ）它们与向量平Ｙ∈Ｘ和 ∈［，］有ａ（）＋（一ａＦｙ（＋（一０１，Ｆｘ１）（）ｃＦ１衡有着紧密的联系，并且在向量值最优化问题等多方面得到应））一，ｙＰ其中ＰＹ中的一个尖锥，Ｆ称为Ｐ一凸的．是则用一．定义１设一２‘ 是一个多．２㈤值映射：

一类变分不等式的有限元逼近

（）ｚ形式为
（：口ｚ：ｓｚ０一ｚ ÷ｌ一一（ｏ＋）（）ｌ一）
÷：一ｓ一＋ ∈ 口）：）ｚ（＋（，（４）
（）中０ ∈ 固定，。口，。ｓ∈ 为非负常数。４式。Ｒ口，：ｓ，Ｒ：问题（）式的变分不等式有着广泛的应用。１形如在摩擦问题、弹性非线性物质问题，由二相Ｓｅｎｔａｆ问题的隐式时问离散化导出的空问问题等方面。
ｌ＾｝ｌ，＋｝ｌ｝一Ｍｏ一“ １Ｍ一Ｍ１ｆＭＭｌｏ， ≤ Ｉ１｝
一
表示三角形单元的面积，（表示在单元７ｌｌ７１。）１
１
Ｕｌ＋１ｌ
ｌ一
ｌ＋。Ｕ一ｌ（６ｌｌ。１）
ａＭＭ（，，一Ｍ＝（ＭＭ）一，，一Ｍ）≤
，使得
由引理４，
ｌｌ，｝｝ “。 “ 一“。
（７１）
凸泛函由标量凸函数生成，
ｆ
，
；ｆ。ＩＩｘｄ
（ａ（３）
１问题的有限元逼近
对每个正参数ｈ，我们给出区域的拟一致三
＝ｍｉｚ０和ｎ｛）
，
ｚ＋＝ｍａ｛，）ｚ ∈ Ｒ，ｘｚ０，
，逐项来进
３
行估计。由Ｃｕｈ —ｃｗａ不等式，ａｅｙＳｈａｚ
ｎＵ（ｈ一“ “ 一“ ，，）一 “ ，一“ ≤ ）
∑ 了ｆ。）ｈ。）１ ∑Ｕ７１（

一类变分不等式和非扩张映像不动点问题的一个迭代算法

Ｅ— ａｉ：ｓｏｆ＠ｇａｌｃｒｍｌｕｙｎｇｕｍｉ．ｏｎ
基金项目：国家自然科学基金（０７００１７１５）资助
Ｎ．ｏ４
由此推出
商美娟等：一类变分不等式和非扩张映像不动点问题的一个迭代算法
１２１７
ｌｌＡｘ—ＡｌｒｌｌＶ，ｙＩｌｘ一ＩｘＹ∈Ｃ，．
文章编号：０３３９（０００ —１６１１０—９８２１）４１２ —２
１引言
变分不等式概念由Ｓａｐｃｈ在１６年提出［１ｔｍａｃｉａ９４１五十年来在理论和应用方面取得了】
丰富的成果，包括解的迭代算法和理论结果的快速发展，在纯粹数学与应用数学的各个分支均有重要的应用．设日是Ｈｉｅｔ空间，其内积和范数分别表示为（・和ｌ１设Ｃ是日的非空闭凸ｌｒｂ．）１１，．．集，Ａ：Ｃ— Ｈ是一个映射．经典的变分不等式问题Ｖ（，是求一点ｕ∈Ｃ使得ＩＣＡ）
黝
数学物理学报
２１，０４：１６１３００３Ａ（）１２ — １７
ｈｔ：ａｔｍ．ｉａ．ｔ／ｃｓｐｃｎｐ／ａｗｍ．ｃ
一
类变分不等式和非扩张映像不动点问题的个迭代算法
一，
商美娟
苏永福
秦小龙
（天津工业大学理学院数学系天津３０６；石家庄学院数学系石家庄００３）０１０５０５
摘要：该文提出了关于含松弛强制映像变分不等式和不动点问题解的一个投影迭代算法，所得

一类非线性变分不等式解的强收敛定理

井冈山大学学报（自然科学版）
３
２（一
一一，）
以下是定义了｛），用数学归纳法证明
Ｆ（）ＩＫ（））ｎ，ＶＳｎＦ（ｕ，ｃＴｎ＝０１，。，２… ，
此外，＝（Ｌｘ）由（一Ｔ，，），满足七Ｌｓｉ一ｉｃｔｐｈｚ
张映射，使得
ＦＳＮＩ（， ≠ （）Ｖ（ｕＴ，Ｋ）１
则算法（）Ａ生成的序列｛，｛，｛）））Ｚ强收敛到ｎ
（ｎ７（。｝州）（
证明显然ＣＪ，，Ｑ，闭凸集，任意，＝Ｏ１，是ｚ，２… ，
我们给出以下的算法：迭代算法（：Ａ）
＋ＰＱＸ，ｌ＝ｑｎ
，．
．Ｉ一，一（ｙ，一１ｌｙｌ２ｔｘ，－，ｆ一，ｌ，，，）
Ｉ－１２，，＝，＋（一）．１
一
Ｖ，＝０１２，．？，， …
ｌＩ一一一＋『ｌ－，ｘ
别表示上的范数与内积，尸Ｈ）示Ｈ中非空，ｆ表闭凸子集全体。设单值映射ｍ：－Ｈ，ＫＨ，Ｈ－｝Ｔ：
（ — ｖｆ１≥ ，Ｖ，Ｋ．ＴＴ，，０ｕ ∈ ｕｚ）一Ｖ
定义２映射Ｔ：ＫＨ称为ｋＬｐｃｉ连续－ｉｓｈｔｚ
则称ｚ “ 是在Ｋ上的投影，记为Ｚ（）称为＝ “，
Ｈ到Ｋ上的投影。易知为Ｈ剑Ｋ上的非扩张映
射，ｘ∈Ｋ，同时对任意ｘ∈Ｈ１Ｙ∈Ｋ有如一等价条件：

偏微分方程中常用的不等式及其证明

偏微分方程中常用的不等式及其证明偏微分方程是数学中的一个重要分支，在解决许多物理和工程实际问题中起着至关重要的作用。

然而，由于偏微分方程的复杂性，往往不容易得出精确的解决方案。

因此，为了实现偏微分方程的可能性，常常需要以不等式的方式对其进行限制。

本文旨在讨论偏微分方程中常用的不等式及其证明。

【偏微分方程中常用的不等式】1、拉格朗日不等式:是一类变分不等式，用于限制偏微分方程的解。

它同时也是一类特殊的变分技术。

它的形式为：∑(λi*f(x))+λ*g(x)≥0,其中，λi是未知常数，f(x)和g(x)分别是需要求解的偏微分方程的积分形式。

2、弗罗维茨不等式:是一类数学不等式，用于限制微分方程的解。

它的形式为：a(x) * f(x) + b(x) * g(x) 0，其中，a(x)和b(x)是待估计的连续函数，f(x)和g(x)分别代表要求解的偏微分方程的积分形式。

【证明】1、拉格朗日不等式：对于拉格朗日不等式，我们可以用变分法证明它的正确性。

我们假设给定的微分方程的解u(x)为极值，由于v(x)=u(x)+λ*g(x)，其中λ是一个未知常数，因此可以得到J(u,)=∫(u(x)^2+λ*g(x))dx=0.令Δx=x2-x1，可得ΔJ=∑λi*(f(xi+1)-f(xi))+λ*(g(x2)-g(x1))≥0.因此，我们可以得出拉格朗日不等式的正确性。

2、弗罗维茨不等式：对于弗罗维茨不等式，我们可以使用泛函分析的方法来证明它的正确性。

由于u(x)是给定微分方程的解，根据泛函分析原理，可得 S(u,)=∫(a(x)*f(x)+b(x)*g(x))dx≥0.令Δx=x2-x1，则ΔS=∑[a(xi)*(f(x2)-f(x1))+b(xi)*(g(x2)-g(x1))]≥0.因此，我们可以得出弗罗维茨不等式的正确性。

【结论】从上述内容可以看出，偏微分方程中常用的不等式及其证明，变分法和泛函分析的方法是有效的。

Banach空间中一类非线性向量拟变分不等式

ｉｌ＝
续性与一类不动点问题的等价性．为了叙述方便，下面给出
一
些基本概念．
若Ｇａｈ＝（，）ＫＥｙ（）ｒｐＦ｛ｘＹ ∈ ｘ：∈Ｆｘ为闭的，）则称ＦＫ：一２
１基本概念
设Ｅ，Ｆ为实Ｂｎｃａａｈ空间，（Ｆ为Ｅ到Ｆ的有界线ＬＥ，）性算子全体，ＫＣＥ为非空闭凸集，ｔｘ为ｔＸ处的值，＜，＞在ｔ（Ｆ， ∈Ｅ，ｕ・ＬＥ，） ∈ＬＥ，）Ｘ２ｘ为（Ｆ的非空子集全体，：一２ＤｃＫ为凸锥值映象，Ｋ－２Ｍ：－￣，－，为非空闭凸集值映象．面给出下
及应用。
１
例如集值映象 ‘Ｒ２即（ｘ＝，】Ｖｘｐ — “ Ｐ（卜ｘｘ， ∈Ｒ（：）
为非负实数）易知０ ‘ 为ｐ的本质不动点．定义１设Ｘ，．４Ｙ为拓扑空间，：一２， ∈Ｘ称Ｆ在ＦｘＸ．ｏ
存在性问题．３４５６发，了集值映象的弱放松由文【，，，引人
－伪单调映象以及本质不动点研究了非线性向量拟变ｑ一分不等式问题，建立了相应存在性定理以及讨论解的连并
定义１２设Ｅ为一线性空间，．Ｋ为Ｅ的非空子集．若Ｆｌ２．：Ｅ如果对任意ｘ∈Ｋ，＝，，）有ｃ｛ｌ２… ，】ｉ（ｌ … ｎ，ｏｘ，，ｎｃｉＸＹＦｘ，（１则称Ｆ为一个ＫＭ映射．ｉＫ
０引言
变分不等式理论及应用研究是近代非线性分析理论即应用研究的重要方向，向量变分不等式由Ｇａｎｓｉ，］ｉｅｓ［２ｎ１在１８９０年引入，它与向量最优化及多目标规划等有紧密的联系．最近许多作者提出了广义单调映象，如伪单调映象，放松单调映象，拟单调映象等．ｅｍ［］Ｖｒａ３在放松单调算子下研究了一类变分不等式问题．ａｇＨｕｎ；］Ｆｎ，ａ￣４引进了放［松－０单调算子研究了自反Ｂｎｃ间中变分不等式并ｑｔ一ａａｈ空得到了一些存在性结果．ａ，ｈｕＮ［］了放松 — ＢｉＺｏ，ｉ引进５伪