八函数及其图象一、平面直角坐标系（一）平面直角坐标系如图，在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系．其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面．为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，编号如下图所示．注意：x轴和y轴上的点不属于任何象限．坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的．也就是说坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴、y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．在这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其它区域之间均没有公共点．（二）点的坐标的概念点的坐标用()ba,表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒．平面内点的坐标是有序实数对，当ba≠时，()bb,是两个不同a,和()a 点的坐标．注意：数轴上的点与实数是一一对应的，而对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)和它对应；对于任意的一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的点M和它对应．也就是说，坐标平面的点与有序实数对是一一对应的．（三）不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标有如下特征(如右图所示)：点P(x，y)在第一象限⇔x>0，y>0。
点P(x，y)在第二象限⇔x<0，y>0．点P(x，y)在第三象限⇔x<0，y<0．点P(x，y)在第四象限⇔x>0，y<0．2、坐标轴上的点有如下特征：点P(x，y)在x轴上⇔y为0，x为任意实数．点P(x，y)在y轴上⇔x为0，y为任意实数．点P(x，y)既在x轴上，又在y轴上⇔x、y同时为零，即点P坐标为()0,0．3、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：点P(x，y)在第一、三象限的夹角平分线上⇔x与y相等．点P (x ，y )在第二、四象限的夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数． 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点： 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同．5、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标特征：点P 与点'P 关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数．点P 与点''P 关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点P 与点'''P 关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数．（四） 点到坐标轴及原点的距离点(),P x y 到坐标轴及原点的距离(如图)：(1)点P (x ，y )到x 轴的距离等于|y |；(2)点P (x ，y )到y 轴的距离等于|x |；(3)点P (x ，y )到原点的距离等于22y x +． 二、 函数（一） 函数及其相关概念1、在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量． 注意：变量和常量往往是相对的，相对于某个变化过程．在不同研究过程中，作为变量与常量的身份是可以相互转换的．2、一般的，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数．3、用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式．例如，代数式vt ，2x -1，22-+x x ，x1，3-x 等等都是函数解析式．其中用数学式表示函数的方法叫做解析法．4、使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做函数的自变量的取值范围．5、对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x =a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x =a 时的函数值，简称函数值．注意：(1)当函数是由一个解析式表示时，欲求函数值，实质就是求代数式的值．(2)当已知函数解析式，又给出函数值，欲求相应的自变量的值时，实质就是解方程． (3)当已知函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的取值范围时，实质就是解不等式．（二） 函数的三种表示法及其优缺点1、解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法．解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用解析式表达出来． 2、列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法．如平方表、平方根表等．列表法一目了然，表格中已有自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律． 3、图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法．图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象地把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，例如函数有没有最大值(或最小值)？最大(小)值是多少？函数值是随自变量增大而增大，还是随自变量的增大而减小等等，函数图象是研究函数性质的有力工具．但是，由图象观察只能得到近似的数量关系．三、函数的图象（一）函数图象的概念：1、对于一个函数，如果把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象． 2、由函数解析式画其图象的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连结起来． 3、函数图象上的点的坐标与其解析式之间的关系：由函数图象的定义可知图象上任意一点()y x P ,中的x ，y 是解析方程的一个解，反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数的图象上．4、通常，判定点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，这个点就不在其函数的图象上．反之亦然．注意：两个函数图象的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解．即求交点坐标，就是解方程组． 四、一次函数（一） 正比例函数和一次函数的概念1、一般的，如果b kx y +=(b k ,是常数，0≠k )，那么y 叫做x 的一次函数．2、特别的，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =(k 为常数，0≠k )．这时，y 叫做x 的正比例函数．3、一般情况下，一次函数和正比例函数中自变量的取值范围是全体实数． 注意：若0=k ，则b y =(b 为常数)，这样的函数叫做常函数，它不是一次函数．正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数．用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图所示： （二）正比例函数和一次函数的图象和性质1、一次函数的图象：所有一次函数的图象都是一条直线．一次函数b kx y +=的图象，也称作直线b kx y +=． 2、一次函数、正比例函数图象的主要特征：一次函数b kx y +=的图象是经过点(0，b )的直线；正比例函数kx y =的图象是经过原点(0，0)的直线．注意：点(0，b )是直线b kx y +=与y 轴的交点．当b >0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b <0时，此交点在y 轴的负半轴上；当0=b 时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．3、因为一次函数解析式b kx y +=中的b 决定直线b kx y +=与y 轴交点的位置，所以通常把b 叫做直线b kx y +=在y 轴上的截距．4、正比例函数的性质:一般的，正比例函数kx y =有下列性质：(1)当k >0时，图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； (2)当k <0时，图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 5、一次函数的性质:一般的，一次函数b kx y +=有下列性质： (1)当k >0时，y 随x 的增大而增大； (2)当0<k 时，y 随x 的增大而减小．（三） 两条直线的位置关系设直线1l 和2l 的解析式为11b x k y +=和22b x k y +=，则它们的位置关系可由其系数确定： 相交与2121l l k k ⇔≠；平行与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧≠=；重合与212121l l b b k k ⇔⎩⎨⎧==． （四） 正比例函数和一次函数解析式的确定1、确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =(0≠k )中的常数k ．确定一个一次函数， 需要确定一次函数定义式b kx y +=(0≠k )中的常数k 和b ．解这类问题的一般方法是待定系数法．先设出式子中的未知系数，再根据已知条件列出方程(组)求出未知系数，从而写出这个式子的方法叫做待定系数法．其中的未知数系数也称为待定系数．如正比例函数kx y =中的k ，一次函数b kx y +=中的k 和b ，都是待确定的系数． 2、用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程(组)； ③解方程(组)，求出待定系数；④将求得的待定系数的值代回所设的解析式． 五、二次函数（一）二次函数的概念1、一般的，如果)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，那么，y 叫做x 的二次函数． 注意：(1)任何一个二次函数的解析式，都可以化成)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数的形式，因此，把)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数叫做二次函数的一般式．(2)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程了．(3)二次函数c bx ax y ++=2的结构特征是：等号右边是关于自变量x 的二次多项式． 2、二次函数常用的表达式为：(1)一般式：c bx ax y ++=2(0≠a )．(2)顶点式：k h x a y +-=2)((0≠a )，其中abac k ab h 44,22-=-=．(3)两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标．如果没有交点，则不能这么表示．（二） 二次函数的性质和图象1、二次函数的图象是一条关于ab x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线．2、抛物线的几个主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点．3、画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴；(2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点；4、当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象． 5、当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象． 6、二次函数c bx ax y ++=2的性质：（三）二次函数解析式的确定1、二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：)0,,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数； (2)顶点式：k h x a y +-=2)()0,,,(≠a k h a 是常数；(3)当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次方程02=++c bx ax 有实数根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解公式=++c bx ax 2()()21x x x x a --，二次函数cbx axy ++=2可转化为两根式()()21x x x x a y --=．2、要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件． 3、当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式c bx ax y ++=2，然后列出三元一次方程组求解．4、当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式k h x a y +-=2)(求解．5、当已知抛物线与x 轴有交点且知道交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式()()21x x x x a y --= 求解．注意：求函数解析式的问题，如果是采用顶点式或两根式求解，那么求得的解析式，最后要化为一般式．（四） 二次函数的最值1、如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当ab x 2-=时， ab ac y 442-=最值．2、如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab 2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当ab x 2-=时，abac y 442-=最值；若不在此范围内，则需考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性．如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大；当2x x =时，c bx ax y ++=222最小．六、反比例函数（一） 反比例函数的概念一般的，函数)0(≠=k k xk y 是常数，叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1-=kxy 的形式．自变量x 的取值范围是0≠x 的一切实数，函数y 的取值范围也是一切非零实数．（二）反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．由于反比例函数中自变量0≠x ，函数0≠y ，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．2、反比例函数图象的画法(描点法)： (1)列表：自变量的取值，应以0为中心，沿0的两边取三对(或三对以上)互为相反数的数； (2)描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；(2)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸．注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交．3、反比例函数的性质：(1)描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内” ，也就是说，研究反比例函数的增减性，只能在每个分支所在的象限内讨论，尽管这两个分支的增减情况一样，但笼统的合在一起说就会出现矛盾，就会导致错误．(2)反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k 的符号决定的．反过来，由双曲线所在位置或函数的增减性，也可以推断出k 的符号．如，已知双曲线xk y =在第二、四象限，则可知k <0．（三） 反比例函数解析式的确定确定解析式的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数xk y =中，只有一个待定系数，因此只需要一 对对应值或图象上一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式．（四） 反比例函数中比例系数的几何意义如图，过反比例函数)0(≠=k x k y 图象上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN ，则所得的矩形PMON的面积xy x y PN PM S =⋅=⋅=．xky =， k xy =∴．kS =∴．即过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得的矩形面积为k ．。
