新课标2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用__最值问题课时作业新人教B版必修5

课题均值不等式课时一课时课型新授教学重点1、均值定理的推导2、均值定理的应用依据：2017年高考大纲分析：均值定理得应用教学难点均值定理在实际问题川的应用依据：学生刚接触到均值定理，实际问题屮均值定理及•其变形应用比较抽象自主学习目标一•知识冃标：1、能熟•记均值定理的内容并会推导2・能应用均值。

定理求最值二、能力目标：应用均值定理求最值时，通过构造和一定积一定让学生学会自主探索。

理由：均值-定理的推导及其应用是本节课的重点。

教具多媒体课件、教材，教辅教学教学内容教师行为学生行为设计意图时间环节1.课前3分钟1、教辅第67页《预习自测》课前导学1-52、目标解读检查，评价总结小考结果。

1.小考：《「预习测评》课前导读及1-52.提出自主学习困惑明确本节课学习目标，准备学习。

3分钟2.承接结果1、教材第71页练习A组第1,2,3题和练习B3O2、教辅第67页：课前导学。

3、学生提出的困惑.1.巡视检查学纶预习习题完成情况，进行及时评价。

2.补充学生出现的漏洞。

3.解决「学生的问题，并达成共识。

1、学生自己展示预习习题完成情况。

2、其余”学生互相补充并学牛对所展示习题进行评价。

3、质疑、解答。

验收学生自主学习的结果，并解决学生自主学习中遇到的困惑。

13分钟3.做、议讲、评均值定理：均值定理:如果a,b是正实数而5啤2当且仅当a二b吋“二”成立1、展示课件2、让学生熟记均值定理的内容并抽查记忆情况。

1、独立完成课熟记定理的内容便于应用3分钟思考1:均值定理成立的条件是什么？思考2：均值定理“当且仅当时取等号的含义是什么” ？O思考3：完成教材7, & 9?让学牛.注意应用均值定理求最值时必需满足三个条件。

1、学纶先独立完成课后习题，然后以小组为单位统一答案。

2、小组讨论并展示自己组所写的答案。

3、•其他组给予评价（主要是找错，纠错）在具体问题中，探索量与量Z 间的关系，挖掘内在规律、发现数学的本质。

均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。

当且仅当a=b=c时，等号成立。

3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。

当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。

x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。

(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

3．2 均值不等式 (二)[学习目标] 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．[知识链接]1．已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.2．已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值. 由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . [预习导引]1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值； (4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2[2x ＋－2x 2]2＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈(0，32)．∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2 x －4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立． 所以x ＋4x －2的最小值为6. (4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(1x ＋9y )(x ＋y )＝y x＋9xy＋10≥2y x ·9xy＋10＝6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2x －y －＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号，故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.规律方法 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪演练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x ·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0. ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－[43－x ＋(3－x )]＋3≤－243－x－x＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x ， ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋x －＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2x －16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18. 方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )(8x ＋2y )＝8y x ＋2xy＋10≥28y x·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.要点二 均值不等式在实际问题中的应用例2 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)．(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元． 规律方法 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪演练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天的支付的总费用最少？解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨．由题意可知，面粉的保管等其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．∴该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．例3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年巴西里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数． (2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)解 (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32(3－2t ＋1)＋3. 当销售x (万件)时，年销售收入为 150%[32(3－2t ＋1)＋3]＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋ (t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋＝50－(t ＋12＋32t ＋1)≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42万元， ∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．规律方法 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．跟踪演练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于(v20)2千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ， 则t ＝400＋v202v＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v 400， 即v ＝100千米/时等号成立，此时t ＝8小时.1．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6 D ．8 答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a ＋b＝28＝4 2.2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝x －2＋1x －＝12[(x －2)＋1x －2]≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C. 4．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 答案 4解析 由x ＋2y ＋2xy ＝8， 得x ＋2y ＋(2x ＋y 2)2≥8，即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， 解得x ＋2y ≥4.1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可． (2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。

2 1 ∴f(x)≤2＝1，当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时等号成立．
(1)应用均值不等式需注意三个必要条件：即一正、二定、三 相等． 在具体的题目中， “正数”条件往往易从题设中获得解决， “相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设 计为一个难点， 它需要一定的灵活性和变形技巧． 因此， “定值” 条件决定着均值不等式应用的可行性，这是解题成败的关键． (2)常用构造定值条件的技巧变换： ①加项变换；②拆项变换；③统一变元；④平方后利用基本 不等式．
x y 当且仅当 4· y＝x，即 y＝2x 时等号成立．
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、 三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定 值，和有最小值． 2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考 虑用函数单调性求解． 3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数 量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既 要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.
教 学 教 法 分 析 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 课 资 源
第 2 课时 均值不等式的应用
●三维目标 1．知识与技能 巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法 能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观 通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态 度，勇于提出问题、分析问题的习惯．
【解】
a 由题意知，12＝11＋ ，解得 a＝9. 11－2
9 所以函数 f(x)＝x＋ . x －2 9 9 又 f(x)＝x＋ ＝x－2＋ ＋2 x－2 x－2 ≥2 9 x－2× ＋2＝8(x＞2)． x－2