高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大小值与导数练习含解析新人教A版选修1_1

第三章 导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D.答案：D2．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( )A ．无最值B ．有极值C ．有最大值D ．有最小值解析：f ′(x )＝2＋sin x ＞0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．答案：A3．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B ．1C ．不存在D ．0 解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0， 令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.所以f (x )在x ＝1时取最小值f (1)＝12－ln 1＝12. 答案：A4．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(0，1)C ．(－1，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：因为f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又因为x ∈(0，1)，所以 0＜a ＜1.答案：B5．已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )＜g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a ) 解析：令u (x )＝f (x )－g (x )，则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＜0，所以 u (x )在[a ，b ]上为减函数，所以 u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．答案：A二、填空题6．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1，3])的值域为________． 解析：f ′(x )＝－1（x ＋1）2＋1＝x 2＋2x （x ＋1）2，所以在[1，3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1，3]上单调递增，所以f (x )的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32，故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，134 7．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________．解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32.答案：328．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1，1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1，1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1.因为f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，所以 f (x )max ＝a ＝2.所以 f (x )min ＝－52＋a ＝－12.答案：－12三、解答题9．设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R，t >0)．(1)若f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )<－2t ＋m 对t ∈(0，2)恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R，t >0)，所以当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1，即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t 变化时g ′(t )，g (t )的变化情况如下表：所以对t ∈(0，max h (t )<－2t －m 对t ∈(0，2)恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0，2)恒成立，只需g (t )max ＝1－m <0，所以m >1.故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在区间[－2，2]上的最小值． 解：(1)因为f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以 函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为在(－1，3)上f ′(x )＞0，所以 f (x )在[－1，2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，且f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以 f (2)＞f (－2)．所以 f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，所以 a ＝－2.所以 f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.所以 f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f (x )最小值为－7.B 级 能力提升1．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |达到最小值时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析：由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t ＞0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝ 2（t ＋22）（t －22）t. 当0＜t ＜22时，y ′＜0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减； 当t ＞22时，y ′＞0，可知y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增． 故当t ＝22时，|MN |有最小值． 答案：D2．若函数f (x )＝ax 3＋x 在实数集上有极值，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ax 3＋x ，所以f ′(x )＝3ax 2＋1，当a ≥0时，f ′(x )＝3ax 2＋1>0在实数集上恒成立，此时函数f (x )＝ax 3＋x 在实数集上不存在极值．当a <0时，令f ′(x )＝3ax 2＋1＝0，得x＝± －13a ，由f′(x)<0得x<－－13a或x> －13a；由f′(x)>0得－－13a<x< －13a，此时函数f(x)＝ax3＋x在实数集上存在极值．综上可知，a的取值范围为a<0. 答案：a<03．设函数f(x)＝x－x2＋3ln x．证明：f(x)≤2x－2.证明：f(x)的定义域为(0，＋∞)，设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x则g′(x)＝－1－2x＋3x ＝－（x－1）（2x＋3）x.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝－32(舍去)．当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝0，所以f(x)－(2x－2)≤0.所以f(x)≤2x－2.。

函数
f(x)=
1 ������
在(0,+∞)内连续,但没有最大值与最小值.
(2)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最大值和
最小值是一个整体性概念.函数的最值是比较某个闭区间内的函数
值得出的;函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的.
(3)函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线, 求a,b的值; (2)当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求 k的取值范围. 解:(1)f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b,
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反思 解决本题时,可以综合地运用求解函数的最大(小)值的方法 确定参数a,c的值.解题的关键在于对函数中的参数a进行讨论,确定
12
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1.一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的 曲线,那么它必有最大值和最小值.
归纳总结 1.一个函数在闭区间上连续,一定有最大值和最小值, 但不一定有极值.如f(x)=x,x∈[a,b].

3.3.3 函数的最大(小)值与导数 问题导学 一、求函数的最值 活动与探究1 (1)函数y＝x－sin x，则当x∈[0，π]时，函数的最大值为__________． (2)求函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]的最值． 迁移与应用

已知函数f(x)＝1－xx＋ln x，求f(x)在12，2上的最大值和最小值．

求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的全部实根x0，且x0∈[a，b]； (3)求最值，有两种方式：①是将f(x0)的值与f(a)，f(b)比较，确定f(x)的最大值与最小值；②是判断各分区间上的单调性，然后求出最值． 二、含参数的最值问题 活动与探究2

1．设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax．

(1)若f(x)在23，＋∞上存在单调递增区间，求a的取值范围； (2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值． 2．已知函数f(x)＝(x－k)ex． (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值． 迁移与应用 已知f(x)＝xln x，求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值．

求解含参数函数的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的全部实根，同时，根据参数的范围，判断f′(x)＝0的根是否在区间[a，b]内； (3)根据参数的取值范围，确定函数的极大值、极小值； (4)将函数的极值与端点处的函数值进行比较，求出函数的最大值、最小值． 三、函数最值的应用 活动与探究3 设函数f(x)＝x＋ax2＋bln x，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2． (1)求a，b的值； (2)证明：f(x)≤2x－2． 迁移与应用 求方程x3－6x2＋9x－4＝0的根的个数．

3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、基础过关1.函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是 ( )A.f (2)，f (3)B.f (3)，f (5)C.f (2)，f (5)D.f (5)，f (3)2.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A.－2B.0C.2D.4 3.函数y ＝ln xx的最大值为( )A.e －1B.eC.e 2D.103 4.函数y ＝4xx 2＋1在定义域内( )A.有最大值2，无最小值B.无最大值，有最小值－2C.有最大值2，最小值－2D.无最值5.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于 ( )A.－32B.12C.－12D.12或－326.函数f (x )＝x e x 的最小值为________.7.已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________. 二、能力提升8.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A.1B.12C.52D.229.已知函数f (x )＝e x－2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________.10.已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值.11.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围. 12.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行. (1)求a ，b ；(2)求函数f(x)在[0，t] (t>0)内的最大值和最小值.三、探究与拓展13.已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.答案1.B2.C3.A4.C5.C6.－1e7.[－4，－2] 8.D 9.(－∞，2ln 2－2]10.解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x －2 (－2，0) 0 (0,2) 2f ′(x )＋ 0 － 0 f (x )－40＋a↗极大值a↘－8＋a∴当x ＝－2时，f (x )min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3. 当x ＝0时，f (x )最大值为3. 11.解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－6x －9.x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值c ＋5↘极小值c －27↗而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54， 要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； 当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围.12.解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0f ′1＝－3即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2).f′(x)↗由f(x)＝f(0)，解得x＝0，或x＝3.因此根据f(x)图象，当0<t≤2时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2；当2<t≤3时，f(x)的最大值为f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2；当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2.13.解(1)f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1，f(x)与f′(x)↘所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－e k－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.。