关于丢番图方程x 3+1=129 y 2

Ｇｅ ｅ ａ ． １ ｎｒｌ Ｎｏ ６
文 苹编 号 ：０ ８７ ２ （ ０ ８０ －０ ３ ０ １ ０ — ８ ６２ ０ ） ３０ １ －３
关 于 丢 番 图方 程 ｘ －１＝１ ９Ｙ ３Ｉ － ２ ２
刘 杰
（ 明职业技 术学院，福建 三 明 ３ ５ ０ ） 三 ６００
摘
要 ：本丈应用递归 数列、同 余式证明了 丢番图方程 ＋ ＝ ２ ｙ 仅有三个整数解： ， ＝ １ ）８，６） １ １９￣ ｊ （ ０ （ ±３ ， ， ，０ ） ．
± ｘ＋ １９ ＝ （ ９ １ （ Ｙ ４ ２ ） ± １ ＋ ４ ５Βιβλιοθήκη ）ｕ ＋ （ Ｖ）
＝± １９ １ 、 ）１ ８５ ４４ 厂 ） （ ∈ｚ） （Ｏ （５ ＋ ４厂 『 （ ５ ＋１８ 、 “ ｎ ６ 『 １）
其中 １９ ４ 歹 ５＋１ 是方程 Ｘ ＿１９ 。 － 的最小整数解 ，６ ５＋ ４４ 歹是 ｐ ｌ ｚ ２Ｙ ＝ ３ １８ ５ １８ ｅ 方程 Ｕ 一１９ 的基 ｌ ２ ＝１ Ｖ 本解． 于是±Ｘ。 ｕ ３ Ｙ ＝２ ， ＝２． ｖ 容易验证 以下关系式成立：
Ｏ１６ ５ 文献标识码 ： Ａ
关键词 ：丢番 图方程 ；整数解 ；递 归数列 ；平方剩余 中图分类号 ：
１ 引言
关于丢番 图方程 ｘ±１ （ Ｏ， Ｄ无 ６ ＋ 素因数时， 。 ＝ＤＹ Ｄ＞ ） 当 ｋ１ 其全部整数解 已由柯召、孙琦、曹珍富 等人得到，但当 Ｄ有 ６ ＋ ｋ ｌ素因数时， 方程求解较为困难，１９ ９ ９年倪谷炎在关于不定方程 ｘ＋ ＝ ｙ 一文 ３ｌＤ 中指出， ０ Ｄ １０ 当 ＜ ＜ ０ 不含平方 因子且被 ６ ＋ 形素数整除时，只有当 Ｄ＝７ １， ５３ ， ８５ ， ５８ ｋｌ ， ４３ ， ７３ ， ７６ ，６时有非 平凡整数解． 后由罗明， 杨丽芬， 段辉明等求出了当 Ｄ ７ １ ，５ ３ ， ６ ＝ ，４ ３ ， ８ ８ 等的全部解． 当 Ｄ １０情形 ，则 而 ＞０ 较少研究，特别当 Ｄ既含有 ３ ６ ＋ 形因数时更少研究，本文研究丢番 图方程 ｘ＋ － ２ ｙ， 及 ｋｌ ｌ １ ９ 其中 １９既 ２ 含有 ６＋ 因子， ｋｌ 又含有 ３因子时不定方程整数解问题， 明了丢番图方程 ｘ＋ ＝ ２ ｙ 的全部整数解为（ ， 证 ａ ｌ １９ － １
１９ 使得 ｕ不能是一个整数 ，故原方程无整数解； ２ｕ，
（ ）对于方程（ ： ＋ｌ Ｕ， ＋１ １９ Ｙ Ｕ ．由后式化为： ２ —１ ＿ ２（ｖ ＝ ３ 把前式 ｘ Ⅱ ３ Ｘ － Ｘ一ｘ ＝ ２ ｖ， ＝ Ｖ ） （ ｘ ） １９２） － ， ２ ＝
Ｕ２
＿
１ 代入得（ ｕ一 ）一２（ｖ －．由于 ３ ￣２， ２ ３ １９ ）＝ ３ ２ ［ １９ 所以 Ｘ －２Ｙ ＝－ 的全部解 由一个结合类得到： ２ ２１９ ３
２０ ０ ８年第 ３期 （ 总第 ６ 期 ） １
漳州师 范学院学报 （ 自然科学 版） Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｈ ｎ ｚ ｏ ｒ ｌ ｉ ｒｉ Ｎ ｔＳ ｉ ｏ ｒ ａ ａ ｇｈ ｕＮｏｍａ Ｕｎｖ ｓ ｙ（ ａ． ｃ ） ｏＺ ｅ ｔ ．
Ｎｏ ３ ２ ０ ． ． ０ ８年
（ ） Ｉ Ｘ＋１ ２ ｕ ， ＝１ ９ Ｘ 一Ｘ＋１ Ｙ＝Ｕ ； ：ｖ ， Ｖ （） ２
（Ｉ ｘ＋１ ｘ 一 ４１ ２ ｖ ， Ｉ） ＝Ｕ ， ｘ． ＝１９ Ｙ＝ｕ ； － ｖ
（－ Ｘ＋１ Ｘ 一Ｘ＋ｌ＝４ ｖ ， Ｉ） Ｉ Ｉ ＝３Ｕ ， ３ Ｙ＝Ｂ ； Ｖ
（） ３
（） ４
（ Ｘ＋１ ３Ｕ ， Ⅳ） ＝４ Ｘ 一ｘ＋１ Ｖ ， ＝３ Ｙ＝ｕ ； ｖ
（ ｘ Ｖ） ＋１ ８ ｕ ， ＝３ ７ Ｘ 一ｘ＋１＝３ｖ ， Ｙ＝３ ｖ ｕ； （ ｘ＋１＝３ Ｘ 一Ｘ＋１ ８ ｖ ， Ⅵ） ｕ ， ＝３ ７ Ｙ＝３ ｖ ｕ： （Ｉ Ｘ＋１：９ Ｘ 一Ｘ＋１＝１ ９ Ｙ＝３ ｖ Ｖ） Ｉ ｕ ， ２ｖ， ｕ；
收稿 日期： ０ ８０ ．７ ２ ０ ．４１
作者简介 ： 刘
杰 （９ ３） １７ － ，男 ，福建 省宁化县 人，讲师，硕 士
ｌ ４
漳州师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２０ ０ ８缸
得１ ｘ １ ２ ＝ 』 一—ｖ ａ ２
．
ｘ－１ ＋２、：ｂ， ，
、
其中（， ） １—） ． ，） ３ 一 ）或 （３１． ａｂ ＝（，３或（１３或（ １ ＿ ， ＿ ，） 所以４ ＝ ± ， Ｘ 或 ０ 此时代入前一式Ｘ ＝ ｘ ２ ２ 得 ＝１ ， ＋１
Ｏ，８ ， ６ ） ）（０ ± ３ ．
引理 １ｘ ３４１ ２ ｙ＝ 仅有整数解（ ｙ （ ，１ （ ， ， ，）（ ，） — ｘ ） ± ±） ＋ ）（ ｏ － ｏ ，＝ ２ ，７ １ ，ｉ ．
引理 ２ ４ ３ ｘ＿ｙ ＝１仅 有整 数解 （ ｙ＝１１，－ ，１，１一 ）（１１ ． ｘ，）（，）（１一）（， １，－ ，）
（ ） Ⅷ ｘ＋１ ２ ｕ ， ＝１ ９ Ｘ 一ｘ＋１＝９ Ｙ ３ ｖ ｖ ， ｕ ；
（） ５
（） ６ （） ７ （） ８
（） ９
下面 分别对 ８种情 形进 行讨 论 ：
（ ） Ｉ ｘ＋１ ２ ｕ ， ２ ｘ＋１ ２Ｙ＝Ｕ ． ＝１ ９ ２ Ｘ — ＝ｖ， Ｖ
解 ｘ一Ｘ＋１ ｖ，即（ ｘ一１ 。 ２） ＝ ， ＝ ２ ）一（ｖ 。
２ 主要 结 果
定理 ：不 定方程 ｘ ＋１ ２ ｙ ＝１ ９ （） １
仅 有整 数解 ：Ｘ， ＝（ ， ，８ ±６ ． （ Ｙ） －１０）（Ｏ， ３）
证明：因为 （ ＋１ Ｘ 一＋ ） １ ３， ３ ２ ， 以不定方程 （）有下列 ８种分解 ： Ｘ ， 。ｘ １＝ 或 又 ９ 所 Ｉ １ １