专题1——利用定积分定义求极限(1)
专题1——利用定积分定义求极限
对于满足如下条件的极限，可以考虑采用利用定积分定义求极限的方法：
① 是n →∞时的极限
② 极限运算中含有连加符号1n
i =∑
在定积分的定义中，我们把区间[,]a b 平均分成n 个小区间（定积分的定义中是任意分割区间[,]a b ，我们当然可以平均分割），那么每个小区间的长度为
b a
n
-（即定义中的i x ∆），这n 个小区间分别为[,]b a a a n -+
，[,2]b a b a
a a n n
--++，[2,3]b a b a a a n n --++，……，[(2),(1)]b a b a a n a n n n --+-+-，[(1),]b a a n b n
-+-，在
定义中每个小区间上任意取的i ξ我们一致取为每个小区间的右端点i b a
a i n
ξ-=+（也
可以取左端点(1)i b a
a i n ξ-=+-），那么定义中的1()n
i i i f x ξ=∆∑就变为
1()n
i b a b a f a i n n =--+∑
，那么1lim ()()n b a n i b a b a
f a i
f x dx n n →∞=--+=∑⎰。（取左端点时1
lim ((1)
)()n
b a n i b a b a
f a i f x dx n n
→∞
=--+-=∑⎰）
注意：定积分的定义中0λ→表示的意思是把区间分割为无线个小区间（n →∞也表示把区间分割成无数个小区间，但是在任意分割的前提下，不能用n →∞来表示把区间分割成无数个小区间，这里的原因我是理解的，但是不好表述，你清楚结论就行了），当分割方式为均等分割时，n →∞就表示把区间分割成无数个小区间，所以这里是1lim ()()n
b a n i b a b a f a i f x dx n n →∞
=--+=∑
⎰，而不是01
lim ()()n b a i b a b a
f a i f x dx n n λ→=--+=∑⎰。
如()f x 在区间[0,1]上的积分可以表示为1
1
1()lim ()n n i i
f x dx f n n →∞==∑⎰——i ξ取每个小区间
的右端点，或者1
1
11
()lim ()n n i i f x dx f n n →∞=-=∑⎰——i ξ取每个小区间的左端点。
举例：求3
41lim n
n i i n
→∞
=∑
分析：函数3
()f x x =在区间[0,1]上的定积分的定义可以表示为1
3
3
011lim ()n
n i i
x dx n
n →∞==⋅∑⎰（这里i ξ取的是每个小区间的右端点），即3
1
3
340111lim ()lim n
n
n n i i i i x dx n n n
→∞→∞===⋅=∑∑⎰。所以
3413
10401
1lim |44n
n i i x x dx n →∞====∑⎰
对于这个考点的考法应该不会很深（这个方法经常在数学竞赛中用到），给出的极限应该可以化为某个函数在区间[0,1]上的定积分，基于此，遇到这类题时，一定要把给
出的极限化为如下形式：1111lim ()lim ()n
n
n n i i i i
f f n
n n n →∞→∞==⋅=∑∑或者
11
1111lim ()lim ()n
n
n n i i i i f f n n n n →∞→∞==--⋅=∑∑，只要化为以上的几种形式，那么给出的极限就是函数()f x 在区间[0,1]上的积分，即
1
1111
111111
()lim ()lim ()lim ()lim ()n
n n n
n n n n i i i i i i i i f x dx f f f f n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞====--=⋅==⋅=∑∑∑∑⎰
