中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第五节二次函数的图象及性质精练试题
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第五节 二次函数的图象及性质
1．(2016益阳中考)关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是( D )
A．开口向上
B．与x轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线x＝1
D．当x>1时，y随x的增大而减小
2．(2016福州中考)已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m＋1)在同一个函数图象上，这个函数图象可以是( C
)
,A) ,B) ,C) ,D)
3．(2016贺州中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为( B
)
,A) ,B)
,C) ,D)
4．(2015天津中考)已知抛物线y＝－16x2＋32x＋6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，若D为AB的中点，则CD的长为( D )
A.154 B.92 C.132 D.152
5．(2016原创)若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( D )
A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5
C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5
6．(2016南宁中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和正比例函数y＝23x的图象如图所示，则方程ax2＋b－23x＋c＝0(a≠0)的两根之和( A )
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
,(第6题图)) ,(第7题图))
7．(2016常德中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＜0；②c＞0；③a＋c＜b；④b2－4ac＞0，其中正确的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
8．(2015菏泽中考)二次函数y＝3x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y＝3x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为__23__．
9．(2016龙东中考)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的表达式；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
解：(1)y＝x2＋4x＋3，y＝－x－1；
(2)x≤－4或x≥－1.
10．(2015绍兴中考)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y＝x2＋1，则原抛物线的表达式不可能是( B )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋6x＋5
C．y＝x2＋4x＋4 D．y＝x2＋8x＋17
11．(2016原创)如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，则下列说法：①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.
其中正确的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
(第11题图) (第12题图)
12．(2016咸宁中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：
①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．(2016随州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a＋b＝0；②9a＋c＞3b；③8a＋7b＋2c＞0；④若点A(－3，y1)、点B－12，y2、点C72，y3在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；⑤若方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜－1＜5＜x2.其中正确的结论有( B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
14．(2015安顺中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋52与直线AB交于点A(－1，0)，B(4，52)．点D是抛物线A，B两点中间部分上的一个动点(不与点A，B重合)，直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标．
解：(1)y＝－12x2＋2x＋52；(2)设直线AB为：y＝kx＋b，则有－k＋b＝0，4k＋b＝52.解得k＝12，b＝12.∴y＝12x＋12.则：D(m，－12m2＋2m＋52)，C(m，12m＋12)，CD＝(－12m2＋2m＋52)－(12m＋12)＝－12m2＋32m＋2.∴S＝12(m＋1)·CD＋12(4－m)·CD＝12×5×CD＝12×5×(－12m2＋32m＋2)＝－54m2＋154m＋5＝－54(m－32)2＋12516.∵－54＜0，∴当m＝32时，S有最大值．当m＝32时，12m＋12＝12×32＋12＝54.∴点C(32，54)．
15．(2017中考预测)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
解：(1)依题意得：－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，c＝3，解得a＝－1，b＝－2，c＝3，∴抛物线表达式为y＝－x2－2x＋3，∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，∴B点坐标为(－3，0)，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n得－3m＋n＝0，n＝3，解得m＝1，n＝3，∴直线y＝mx＋n的表达式为y＝x＋3；(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入直线y＝x＋3得，y＝2，∴M(－1，2)．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M点的坐标为(－1，2)；(3)设点P坐标为(－1，t)，又B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10；①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2即：18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2即：18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2即：4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝3＋172，t2＝3－172，综上所述，P点的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或(－1，3＋172)或(－1，3－172)．
16．(兰州中考)如图，抛物线y＝－12x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
解：(1)y＝－12x2＋32x＋2；(2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得△PCD是以CD为腰的等腰三角形，P132，4，P232，52或32，－52；(3)当y＝0时，－12x2＋32x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝4.∴B(4，0)．可求直线BC的表达式是y＝－12x＋2，如图，过点C作CM⊥EF于点M，设Ea，－12a＋2，则Fa，－12a2＋32a＋2，即EF＝－12a2＋32a＋2
－－12a＋2＝－12a2＋2a(0≤a≤4)，∴S四边形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF＝12×52×2＋12－12a2＋2a[a＋(4－a)]＝－a2＋4a＋52＝－(a－2)2＋132，∴当a＝2时，S四边形CDEF有最大值32.把a＝2代入y＝－12a＋2中，得y＝1，∴当点E的坐标为(2，1)时，四边形CDBF的面积有最大值132.
